高一数学必修一

1、本章内容2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第二章 小结知识要点自我检测题复习参考题1. 指数幂的运算负指数:分数指数:同底数幂相乘除:幂的乘方:积的乘方:.1kkaa .nmnmaa amanam+n.nmnmaaa (am)namn.(ab)nanbn.返回目录2. 指数函数解析式:图象特点:y ax (a0, 且a1).xyO1yax(0a1)3. 指数函数的性质定义域:值域:0a1, 负指数幂小于1, 正指数幂大于1.0a1, (, +)上是增函数.4. 对数运算对数式与指数式的互化:常用对数:aN = b N logab.自然对数:1 的对数等 0,底的对数等于 1.以10

2、为底, log10a lga.以 e2.71828为底, logealna.两个特殊对数值:5. 对数的运算性质换底公式:(1) loga(MN) logaM + logaN.(3) logaMn nlogaM (nR).(2) loga logaM logaN.NM.logloglogabbcca 6. 对数函数解析式:图象特点:y logax (a0, 且a1).xyo1ylogaxa1xyo1ylogax0a17. 对数函数的性质定义域:值域:单调性:(0, +).(, +).底数、真数同大于1, 或同小于1, 对数值为正.0a1, (0, +)上是增函数.底数、真数一个大于1, 一个小

3、于1, 对数值为负.8. 幂函数解析式:几种幂函数的图象特点:y xa (a为常数).xyoyx11xyoyx211xyoyx311xyo21xy 11xyoyx1119. 幂函数的性质定义域值域单调性过定点yxa奇偶性(1, 1)(1, 1) (, 0)(0, +)(, +)0, +)0, +)(, 0)减(, +)增yx1yx2yx3yx21xy (1, 1)(1, 1)(1, 1)(, +)(, +) (, 0)(0, +)0, +)(, +)(, +)(0, +)减0, +)增(, 0减0, +)增(, +)增奇非奇偶奇偶奇10. 反函数 由于习惯用 x 表示自变量, 所以将变换后函数

4、中的字母 x, y 相交换得将一个函数 yf(x) 中的 y 表示成 x 的函数xg(y),我们把 xg(y) 叫做 yf(x) 的反函数.yg(x).指数函数与对数函数互为反函数. 如果两函数互为反函数, 则它们的图象关于直线 yx 即称.返回目录A 组1. 求下列各式的值:(1) (2) (3) (4);12121;) 4964 (21 ;1000043 .) 27125 (32 解:(1)21221)11(121 11.(2)212221)78() 4964 ( 2122)87( .87 43443)10(10000 (3)310 .10001 (4)323332) 35 () 2712

5、5 ( 2235 .259 2. 化简下列各式: (1) (2) (a22+a2)(a2a2).;2121212121212121babababa + + + + 解:(1)原式 )()()()(21212121221212121212122121babababababa+ + + + + + + babbaababbaa + + + + + + 2121212122.)( 2baba + + (2)原式 )()(1121 + + aaaaaa11 + + aaaa.1122+ + aa3. (1) 已知 lg2a, lg3b, 试用 a、b 表示 log125; (2) 已知 log23a,

6、 log37b, 试用 a、b 表示 log1456.解:(1)12lg5lg5log12 )34lg(210lg 3lg4lg2lg10lg+ + 3lg2lg22lg1+ + .21baa+ + 3. (1) 已知 lg2a, lg3b, 试用 a、b 表示 log125; (2) 已知 log23a, log37b, 试用 a、b 表示 log1456.解:(2)由 log23a, ,2log3log33a ,12log3a )414(log56log 1414 4log114+ + 14log4log133+ + 7log2log2log21333+ + + baa+ + + 121.

7、121ab+ + + 4. 求下列函数的定义域: (1) (2);8121 xy.) 21 (1xy 解:(1)要使函数有定义, 只需2x10,即,21 x函数的定义域为.21| xRx(2)要使函数有定义, 需, 0) 21 (1 x, 1) 21 ( x x0.函数的定义域为 x|x0.5. 求下列函数的定义域: (1) (2) yloga(2x) (a0, 且a1); (3) yloga(1x)2 (a0, 且a1).;)23(log13 xy解:(1)要使函数有定义, 需 , 0)23(log0233 xx , 132 xx原函数的定义域为). , 1 () 1 ,32( + +(2)

8、要使函数有意义, 需2x0,得 x2,原函数的定义域为 x|x0, 且a1); (3) yloga(1x)2 (a0, 且a1).;)23(log13 xy解:(3)要使函数有定义, 需(1x)20,即 1x0,原函数的定义域为 xR|x1.得 x1,6. 比较下列各组中两个值的大小: (1) log67, log76; (2) log3p, log20.8.解:(1)log67log661,log76log76.(2)31, p 1,log3p0,又 21, 0.81,log20.8log20.8.7. 已知 f(x)3x, 求证: (1) f(x)f(y)f(x+y); (2) f(x)f

9、(y)f(xy).证明:(1) f(x)3x, f(x)f(y)3x3y=3x+y,f(x+y)3x+y,则 f(x)f(y)f(x+y)成立.(2)f(x)f(y)3x3y=3xy,f(xy)3xy, f(x)f(y)f(xy)成立. 8. 已知 f(x) a, b(1, 1), 求证:,11lgxx+ + ).1()()(abbafbfaf+ + + + +证明:,11lg)(xxxf+ + bbaabfaf+ + + + + + +11lg11lg)()()1111lg(bbaa+ + + + ,11lgabbaabba+ + + + + abbaabbaabbaf+ + + + + +

10、 + + +1111lg)1(,11lgbaabbaab+ + + + + + 即 成立.)1()()(abbafbfaf+ + + + + 9. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同, 假定保鲜时间与储藏温度是一种指数关系, 若牛奶放在0的冰箱中, 保鲜时间约是192 h, 而在22的厨房中则约是42 h. (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式; (2) 利用 (1) 中结论, 指出温度在30和16的保鲜时间 (精确到 1 h); (3) 运用上面的数据, 作此函数的图象.解:(1)设保鲜时间与温度的指数关系为 ykax,当 x0 时, y192; 当 x22 时, y4

11、2.则 22042192kaka k192, a0.93.于是得保鲜时间与温度的函数式为 y1920.93x. 9. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同, 假定保鲜时间与储藏温度是一种指数关系, 若牛奶放在0的冰箱中, 保鲜时间约是192 h, 而在22的厨房中则约是42 h. (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式; (2) 利用 (1) 中结论, 指出温度在30和16的保鲜时间 (精确到 1 h); (3) 运用上面的数据, 作此函数的图象.解:(2)由(1)得函数式为 y1920.93x.当 x30 时, y1920.933022 (h);当 x16 时, y1920

12、.931660 (h). 答: 在30温度下, 可保鲜22小时, 在16温度下, 可保鲜60小时. 9. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同, 假定保鲜时间与储藏温度是一种指数关系, 若牛奶放在0的冰箱中, 保鲜时间约是192 h, 而在22的厨房中则约是42 h. (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式; (2) 利用 (1) 中结论, 指出温度在30和16的保鲜时间 (精确到 1 h); (3) 运用上面的数据, 作此函数的图象.解:(3)图象经过点(30, 22).(22, 42),(16, 60),(0, 192),xyo16 2230224260192y1920.

13、93x 10. 已知幂函数 yf(x) 的图象过点(2, ), 试求此函数的解析式, 并作出图象, 判断奇偶性、单调性.22解:幂函数 yxa 经过点),22 , 2(则有,222a a 得22log2 a a2122log .21 即函数解析式为21 xy.1x 定义域为(0, +),图象过点 (1, 1),),22 , 2().21 , 4(xyo1124函数非奇非偶,在(0, +)上是减函数.2221B 组 1. 已知集合Ay | ylog2x, x1, By | y x1, 则AB ( ) (A) (B) y|0y1 时, log2x0,Ay|y0,21) 21 (0 x,210 |

14、yyB则.210 | yyBAA2. 若 2a5b10, 则. 11 + +ba解:2a10, alog210,5b10, blog510,则10log110log11152+ + + +ba5lg10lg12lg10lg1+ + 5lg2lg + + lg(25)1.13. 对于函数 f(x)a (aR): (1) 探索函数 f(x) 的单调性; (2) 是否存在实数 a 使函数 f(x) 为奇函数?122+ +x解:(1)122()122()()(2121+ + + + xxaaxfxf12212212+ + + + xx2x是 (, +)上的增函数,当 x1x2 时, 121221+ +

15、 + +xx则,12212221+ + + +xx所以得 f(x1)f(x2),函数在(, +)上是增函数.3. 对于函数 f(x)a (aR): (1) 探索函数 f(x) 的单调性; (2) 是否存在实数 a 使函数 f(x) 为奇函数?122+ +x解:(2)要使 f(x)为奇函数, 需f(x) f(x)即,122122+ + + + + xxaa整理得,12221222+ + + + xxxa解得. 11212 + + + xxa即当 a1 时, f(x)为奇函数.4. 设 求证: (1) g(x)2f(x)21; (2) f(2x)2f(x)g(x); (3) g(2x)g(x)2+

16、f(x)2.,2ee)( ,2ee)(xxxxxgxf + + 证明:原等式成立.22 )( )( xfxg (1)22)2()2(xxxxeeee + + 42422222xxxxeeee + + + + + =1,4. 设 求证: (1) g(x)2f(x)21; (2) f(2x)2f(x)g(x); (3) g(2x)g(x)2+f(x)2.,2ee)( ,2ee)(xxxxxgxf + + 证明:,2)2(22xxeexf 原等式成立.(2)又 2f(x)g(x)222xxxxeeee + + ,222xxee 4. 设 求证: (1) g(x)2f(x)21; (2) f(2x)2

17、f(x)g(x); (3) g(2x)g(x)2+f(x)2.,2ee)( ,2ee)(xxxxxgxf + + 证明:(3),2)2(22xxeexg + + g(2x)g(x)2+f(x)2 成立.又 g(x)2+f(x)2,222xxee + + 22)2()2(xxxxeeee + + + 42422222xxxxeeee + + + + + + 5. 把物体放在冷空气中冷却, 如果物体原来的温度是 q1, 空气的温度是q0. t min 后物体的温度q可由公式 q q0+(q1q0)ekt求得, 这里 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常量, 现有62的物体, 放在15的空

18、气中冷却, 1 min以后物体的温度是52, 求上式中 k 的值 (精确到0.01), 然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是42, 32. 物体会不会冷却到12?解: 当 q1 62, q0 15, t 1时, q 52, 则得 5215+(6215)ek,解得3747ln k0.24.得此物体的冷却公式为q 15+47e0.24t.当 q 42 时, 解得 t 2.3(min);当 q 32 时, 解得 t 4.2(min).当 q 12 时, 得 t lg0.79(0.06), 对数无意义. (答略)事实上, 物体不可能冷却到比空气的温度还低. 6. 某工厂产生的废气经过过滤后排放, 过

19、滤过程中废气的污染物数量 P mg/L 与时间 t h 间的关系为 p p0ekt.如果在前5小时消除了10%的污染物, 试回答: (1) 10小时后还剩百分之几的污染物? (2) 污染物减少50%需要花多少时间 (精确到 1 h)? (3) 画出污染物数量关于时间变化的函数图象, 并在图象上表示计算结果.解: 当 t5 时, P=90%P0,则 90%P0P0e5k,解得 k0.02,得 P 与 t 的关系式为 PP0e0.02t.(1) 当 t 10 时, PP0e0.20.82P0,答: 10小时后大约还剩百分之八十二的污染物. 6. 某工厂产生的废气经过过滤后排放, 过滤过程中废气的污

20、染物数量 P mg/L 与时间 t h 间的关系为 p p0ekt.如果在前5小时消除了10%的污染物, 试回答: (1) 10小时后还剩百分之几的污染物? (2) 污染物减少50%需要花多少时间 (精确到 1 h)? (3) 画出污染物数量关于时间变化的函数图象, 并在图象上表示计算结果.解: 当 t5 时, P=90%P0,则 90%P0P0e5k,解得 k0.02,得 P 与 t 的关系式为 PP0e0.02t.(2) 当 P 0.5P0 时,答: 污染物减少50%, 大约需要花35小时.得 0.5P0P0e0.02t.解得 t 35, 6. 某工厂产生的废气经过过滤后排放, 过滤过程中

21、废气的污染物数量 P mg/L 与时间 t h 间的关系为 p p0ekt.如果在前5小时消除了10%的污染物, 试回答: (1) 10小时后还剩百分之几的污染物? (2) 污染物减少50%需要花多少时间 (精确到 1 h)? (3) 画出污染物数量关于时间变化的函数图象, 并在图象上表示计算结果.解:图象过点 (5, 0.9),(3)(10, 0.82),(35, 0.5).xyo5 10350.50.820.9自我检测题返回目录检测题一、选择题(每小题只有一个正确选项)1. 已知集合A=y|y=log2x, x1, B=y|y= , x1, 则AB=( ) (A) (B) y|0yb, 则

22、 ( ) (A) a2b2 (B) (C) lg(a-b)0 (D)3. 如果a1, bf(1), 则x的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) (0,1) (10,+)二、填空题6. 1992年底世界人口达到54.8亿, 若人口的年平均增长率为1%, 经过x年后世界人口数为y(亿), 则y与x的函数 解析式为 .7. 函数y=logx-1(3-x)的定义域是 .8. 设0 x2,则函数 的最大值是 , 最小值是 .三、解答题9. 已知函数f(x)=loga(ax-1) (a0, 且a1). (1) 求f(x)的定义域; (2) 讨论函数f(x)的增减性.10. 某电器公司生产A型电

23、脑, 1993年这种电脑每台平均生产成本为5000元, 并以纯利润20%确定出厂价, 从 1994年开始, 公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低, 到1997年, 尽管A型电脑出厂价是1993 年出厂价的80%, 但却实现了50%纯利润的高效益. (1) 求1997年每台A型电脑的生产成本; (2) 以1993年的生产成本为基数, 求19931997年生产成本平均每年降低的百分数 (精确到0.01, 以下数据 可供参考: ).x) 21 (21y0|y 1y21|y 1ab ba)21()21( 1)101( ,) (1,)101 (0, + +)1101(0 0 ,5234yxx2

24、1+ + 2.4496 2.236,5 检测题一、选择题(每小题只有一个正确选项) 1. 已知集合Ay| ylog2x, x1, By| y , x1, 则AB ( ) (A) (B) y|0y0,.210 | yyB.210 | yyBAA2. 若 a, b 是任意实数, 且 ab, 则 ( ) (A) a2b2 (B) (C) lg(ab)0 (D)1 abba) 21 () 21 ( 分析:用函数的思想判断 A、D 选项,A 选项看作二次函数, 在任意实数范围内不是一个单调区间, 不能确定大小.D 选项看作指数函数, 底数小于 1, 在 (, +)上是减函数, ab,.) 21 () 2

25、1 ( ba D也可用具体实数检验:12 12(2)2, 112 12 ab0.1 lg(ab)0,A不对;B不对;C不对.3. 如果 a1, bf(1), 则 x 的取值范围是 ( ) (A) (B) (C) (D) (0, 1) (10, +) 1 ,101()10 ,101() , 1 ()101 , 0( + +分析:由 f(x) 在 0, +) 上是减函数, 且是偶函数,则大概图象如图:xyO11f(1)f(1),要使 f(lgx)f(1), 需1lgx0,x11,3x0,解得 1x0, 且a1). (1) 求 f(x) 的定义域; (2) 讨论函数 f(x) 的增减性.解:(1)要

26、使对数有意义, 需 ax10,即 ax1, 当 0a1 时, x1 时, x0,此时函数的定义域为 (0, +).三、解答题 9. 已知函数 f(x)loga(ax1) (a0, 且a1). (1) 求 f(x) 的定义域; (2) 讨论函数 f(x) 的增减性.解:(2) 当 0a1 时, x0,ax是 (, 0) 上的减函数.取 x1x20 时,112121 xxauau logau是 (0, +) 上的减函数, logau1logau2,则当 0a0, 且a1). (1) 求 f(x) 的定义域; (2) 讨论函数 f(x) 的增减性.解:(2) 当 a1 时, x0,ax是 (0, +

27、) 上的增函数.取 x1x20 时,112121 xxauau logau是 (0, +) 上的增函数, logau1logau2,同样, 当 a1 时, f(x) 在 (0, +) 上是增函数.当 0a1 时, 函数在 (0, +) 上也是增函数. 10. 某电器公司生产A型电脑, 1993 年这种电脑每台平均生产成本为 5000 元, 并以纯利润 20% 确定出厂价, 从 1994 年开始, 公司通过更新设备和加强管理, 使生产成本逐年降低, 到 1997 年, 尽管A型电脑出厂价是 1993 年出厂价的 80%, 但却实现了 50% 纯利润的高效益. (1) 求 1997 年每台A型电脑

28、的生产成本; (2) 以 1993 年的生产成本为基数, 求 19931997 年生产成本平均每年降低的百分数 (精确到 0.01, 以下数据可供参考: ).449. 26 ,236. 25 解: (1) 1993年的出厂价为5000(1+20%),设1997年的成本为 x 元, x(1+50%),x(1+50%) 5000(1+20%)80%.按纯利润50%计算, 则出厂价为1997年的出厂价是1993年出厂价的80%, 则有解得 x3200(元).(答略) 10. 某电器公司生产A型电脑, 1993 年这种电脑每台平均生产成本为 5000 元, 并以纯利润 20% 确定出厂价, 从 199

29、4 年开始, 公司通过更新设备和加强管理, 使生产成本逐年降低, 到 1997 年, 尽管A型电脑出厂价是 1993 年出厂价的 80%, 但却实现了 50% 纯利润的高效益. (1) 求 1997 年每台A型电脑的生产成本; (2) 以 1993 年的生产成本为基数, 求 19931997 年生产成本平均每年降低的百分数 (精确到 0.01, 以下数据可供参考: ).449. 26 ,236. 25 解: (2) 设成本降低的百分数为 x, 则5000(1x)43200,(1x)40.64,8 . 01 x52 ,89. 0236. 22 则 x10.890.1111%.(答略)知识要点自我检测题复习参考题1. 指数幂的运算负指数:分数指数:同底数幂相乘除:幂的乘方:积的乘方:.1kkaa .nmn