解析几何练习题及答案

1、、选择题解析几何1.已知两点A（ 3, 乂3）, B（羽，1），则直线 AB的斜率是（）a.3-V3解析：斜率k=3 一睜故选d.答案：D2.已知直线I: ax+ y 2 a = 0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）C. 2 或一1解析：当a= 0时，y= 2不合题意. a M 0,x= 0 时，y= 2 + a.a + 2y= 0 时，x= a，a+ 2则=a+ 2，得 a= 1 或 a = 2.故选 D.a答案：D3. 两直线3x+ y 3= 0与6x+my+ 1 = 0平行，则它们之间的距离为 （）B . "VC远c. 26解析：把 3x+ y 3 = 0 转化为 6x+

2、 2y 6 = 0,由两直线平行知m= 2,心 11 6 1则 d =严2 = 20 .故选D.答案：D4. (2014皖南八校联考)直线2x y+ 1 = 0关于直线x= 1对称的直线方程是()A . x+2y1 = 0B . 2x+ y 1 = 0C. 2x+ y 5 = 0D . x+ 2y 5= 0解析：由题意可知，直线2x y+ 1 = 0与直线x= 1的交点为(1,3)，直线2x y+ 1 = 0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x y+ 1 = 0的斜率为2,故所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程是y 3 = 2(x 1)，即2x+ y 5 = 0

3、.故选C.答案：C5. 若直线I: y = kx(3与直线2x+ 3y 6= 0的交点位于第一象限，则直线I的倾斜角的取值范围是()nA. 6,D. n，解析:由题意，可作直线2x+ 3y 6= 0的图象，如图所示，则直线与x轴、y轴交点分别为A(3,0)，B(0,2)，又直线l过定点(05/3)，由题知直线I与线段AB相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线I的倾斜角的取值范围为3 =牛-门答案：B6. (2014 泰安模)过点A(2,3)且垂直于直线2x+ y 5= 0的直线方程为()2x+ y 7= 0x 2y+ 5= 0所求直线的斜率为k' =12A . x 2y+ 4= 0

4、C. x 2y+ 3 = 0解析：直线2x+ y 5= 0的斜率为k= 2,解析：由题意知截距均不为零.设直线方程为a + b = 6, 由和1=1,a= 3解得b= 3a= 4或b= 2故所求直线方程为X+ y 3= 0或X+ 2y 4 = 0.答案：X+ y 3 = 0 或 X+ 2y 4 = 0& (2014湘潭质检)若过点A( 2, m), B(m,4)的直线与直线2x+ y+ 2= 0平行，则m的 值为.解析：过点A, B的直线平行于直线 2x+y+ 2= 0,4 m-Rab = 2,解得 m =- 8.m+ 2答案：89若过点 P(1 a,1 +a)与Q(3,2a)的直线的

5、倾斜角为钝角，则实数 a的取值范围是解析：由直线PQ的倾斜角为钝角，可知其斜率k<0 ,2a 1 + aa 1即<0，化简得<0,- 2<a<1.3 1 aa+ 2答案：(一2,1)10. 已知k R，则直线kx+ (1 k)y + 3= 0经过的定点坐标是解析：令k= 0，得y+ 3 = 0,令k= 1，得 x+ 3 = 0.y+ 3= 0,解方程组x+ 3= 0,x=得y=3,3,所以定点坐标为(一3,3).答案：(一3, 3)三、解答题11. 已知两直线 |1： X+ ysin a 1 = 0 和 12： 2xsin a+ y+ 1= 0,试求 a的值，使(

6、1)11 H I2； |1丄|2.解：(1)法一当sin a= 0时，直线l1的斜率不存在,I2的斜率为0，显然11不平行于l2.1当 sin 详 0 时，k1 = , k2= 2sin a1要使 11 l2，需硏一 2sina即 sin a= ±,.a= k n ±, kC Z.故当 a= kn + kC Z 时，I1/I2.sin a= =±22,2si nk2 + k1解得交点P的坐标为,k2 k1 k2 k1a 1 = 0,法二由I1/I2,得1 + sin a 0,n-a= kn±，kC z.故当 a= kn + kC Z 时，l1/l2.|1

7、 丄 l2,.2sin a+sin a= 0, 即卩 sin a= 0.a= k n k C Z.故当a= kn, k Z时,ll 丄 l2.12. 设直线 li: y= kix + 1, l2： y= k2x 1，其中实数 ki, k2满足 kik2+ 2= 0.(1)证明l1与l2相交；证明I1与i2的交点在椭圆2X2+ y2= 1 上.证明：(1)假设li与|2不相交，则|1/|2 即 k1= k2,代入 k1k2 + 2 = 0,得k2+ 2 = 0,这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1M k2,即l1与l2相交.y= k1x+ 1,(2)法一由方程组y= k2x 12而 2X2+ y

8、2= 2k2 k1k2 + k12+2k2 k18+込+ k1+ 2k1k2k2+ k2 2k1k2k2 + k2 + 4k2 + k2 + 4即 P(x, y)在椭圆 2X2+ y2= 1 上.即li与12的交点在椭圆2X2 + y2= 1 上.法二y 1 = k1X,交点P的坐标(X, y)满足故知XM 0.y+ 1 = k2X,y 1k1=T"从而y+ 1k2 =X代入y 1 y+ 1k1k2 + 2 = 0,得 h + 2= 0,入入整理后，得2x2 + y2= 1.所以交点P在椭圆2X2+ y2= 1 上.第八篇第2节一、选择题1.圆心在y轴上，半径为A . X2+ (y

9、2)2= 11，且过点(1,2)的圆的方程为()B . X2+ (y + 2)2= 1C.(X-1)2+ (y3)2= 1D . X2 + (y 3)2= 1解析：由题意，设圆心(0,t),则寸 12+ t 2 2= 1,得 t= 2,所以圆的方程为X2 + (y 2)2= 1，故选A.答案：A2. (2014郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的2倍，则动点P的 轨迹方程为()B . X2 + y2 = 16A . X2+ y2 = 32C. (X 1)2+ y2= 16D . X2 + (y1)2= 16解析：设P(X, y),则由题意可得 2寸X 2 2 +

10、y2X 8 2+ y2,化简整理得X2+ y2= 16,故选B.答案：B3 . （2012年高考陕西卷）已知圆C: X2+ y2 4x= 0, l是过点P（3,0）的直线，则（）A .1与C相交B . l与C相切C. l与C相离D.以上三个选项均有可能解析：X2+ y2 4x= 0是以（2,0）为圆心，以2为半径的圆，而点P（3,0）到圆心的距离为 d=p 3 - 2 2+ 0- 0 2 = 1<2,点P（3,0）恒在圆内，过点P（3,0）不管怎么样画直线，都与圆相交.故选A.答案：A4. （2012年高考辽宁卷）将圆X2+ y2 2x 4y+ 1 = 0平分的直线是（A . x+y1

11、= 0B . x+ y + 3 = 0C . xy+1= 0D . X y+ 3 = 0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是（1,2）,所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C符合，故选C.答案：C5. （2013年高考广东卷）垂直于直线y= x+ 1且与圆X2 + y2= 1相切于第一象限的直线方程是（）A . x+ yV2= 0C. x + y 1= 0x+ y + 1 = 0x+y+V2 = 0解析：与直线y= x+ 1垂直的直线方程可设为x+y+ b = 0,由 x+y+ b = 0 与圆 x2+ y2=1相切，可得越=1，故b= ±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析

12、知b=-寸2，则直线方程为x+ yU2 = 0.故选A.答案：A6 . （2012年高考福建卷）直线x + V3y 2= 0与圆x2+ y2= 4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于（）解析：因为圆心到直线x+U5y 2 = 0的距离d = |0t 艮 0 2| = 1,半径r = 2, 寸12 + V32所以弦长 AB |= 2寸22 - 12 = 213.故选B.答案：B二、填空题7. (2013年高考浙江卷)直线y = 2x+ 3被圆x2+ y2 6x 8y = 0所截得的弦长等于解析：圆的方程可化为(x 3)2+ (y 4)2= 25,故圆心为(3,4)，半径r = 5.又直线方程为2

13、x y+ 3= 0,= 75,圆心到直线的距离为d =|2X 3 4 + 3|弦长为 2 X 寸25-5 = 2範=4/5.答案：4审&已知直线I: x y+ 4 = 0与圆C:(x 1)2+ (y 1)2= 2，则圆C上各点到I的距离的最小值为解析：因为圆C的圆心(1,1)到直线I的距离为d=L = 2迄,12 + 1 2又圆半径r =迈.所以圆C上各点到直线I的距离的最小值为d r =/2.9. 已知圆C的圆心在直线 3x y= 0上，半径为1且与直线4x 3y= 0相切，则圆 C 的标准方程是解析：圆C的圆心在直线3x y= 0上,设圆心 C(m,3m).又圆C的半径为1，且与4

14、x 3y= 0相切,|4m 9m|-5=1，5=±1 ,圆 C 的标准方程为(x 1)2 + (y 3)2= 1 或(X+ 1)2 + (y+ 3)2= 1.答案：(x 1)2+ (y 3)2= 1 或(X+ 1)2 + (y+ 3)2= 110. 圆(x 2)2+ (y 3)2= 1关于直线I: x+ y 3= 0对称的圆的方程为解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线I对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为 1,故方程为 X2+ (y 1)2= 1.答案：X2+ (y 1)2= 1三、解答题11. 已知圆 C: X2+ (y 2)

15、2= 5，直线 I: mx y+ 1 = 0.(1)求证：对m R，直线I与圆C总有两个不同交点;若圆C与直线相交于点 A和点B,求弦AB的中点M的轨迹方程.(1)证明：法一 直线方程与圆的方程联立，消去y得(m2+ 1)x2 2mx 4= 0,= 4 m2 + 16(m2 + 1) = 20m2 + 16>0,对m R，直线I与圆C总有两个不同交点.法二 直线I: mx y+1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C： x2+ (y 2)2= 5内部,对m R，直线I与圆C总有两个不同交点.解：设 A(x1, y1), B(x2, y2), M(x, y),由方程(m2 + 1)x2

16、2mx 4= 0,2m得x1+x2= m2+ rm2+1当 x = 0 时 m= 0，点 M(0,1),当x丰0时，由mx y+ 1 = 0,得y 1m= xmy一 1代入x=応，得x 2+131化简得 x2+ y 3 2= 4.经验证(0,1)也符合,弦AB的中点M的轨迹方程为x2 +y-314.12. 已知圆 C： x2+ y2 8y+ 12 = 0，直线 I : ax+y+ 2a = 0.(1)当a为何值时，直线I与圆C相切;当直线I与圆C相交于A、B两点，且|AB|= 22时，求直线I的方程.解：将圆C的方程x2+ y2 8y+ 12= 0配方得标准方程为 X2+ (y 4)2 = 4

17、，则此圆的圆 心为(0,4)，半径为2.(1)若直线I与圆C相切,=2.解得 a =-4.(2)过圆心C作CD丄AB,则根据题意和圆的性质,|4+ 2a| 呦=玮, 得|CD|2+ |DA|2= 22,|da|= 2|ab|=解得 a = 7,或 a = 1.故所求直线方程为 7x y + 14= 0或X y+ 2= 0.第八篇第3节、选择题X2 V21设P是椭圆25+ 16= 1上的点.若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1| +|PF2|等于()C. 8D . 10解析：由方程知a= 5,根据椭圆定义，|PF1 |+|PF2|= 2a= 10.故选D.答案：D2. (2014唐山二模)P

18、为椭圆x4 + £=1上一点，F1, F2为该椭圆的两个焦点，若/ F1PF2=60°则薛1岸2等于()c. /3解析：由椭圆方程知a = 2, b=/3, c= 1,P Fi|+ |P F2|= 4,PFi2 + |PF2|2- 4= 2|PFi|PF2|cos 60> >> >1PF1 PF2= |PF1|PF2|cos60 = 4X q = 2.答案：D3. （2012年高考江西卷）椭圆予+ V2= 1（a>b>0）的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是F1, F2.若|AF1|, |F1F2|, |F1B成等比数列，则此椭圆

19、的离心率为（B晋A. 4c.2D 萌2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用.由椭圆的性质可知|AFi|= a c，|FiF2|= 2c,|FiB|= a+ c,又|AFi|, |FiF2|, |FiB|成等比数列,故(a c)(a + c) = (2 c)2,可得e= a=¥故应选B.答案：BX2 v24. （2013年高考辽宁卷）已知椭圆C: /+ 存1（a>b>0）的左焦点为F ,C与过原点的直4线相交于a,B两点，连接AF ,BF.若|AB|= 10,|BF|= 8, cos/ ABF =匚，则C的离心率为（）53A. 54C-54解析：AF |2= |AB

20、|2 + |BF|2 2|AB|BF|cos/ABF = 100+ 64 2X 10X 8X5 = 36,则 |AF|= 6,/AFB = 90；1半焦距 c= |FO| = 2|AB|=5,设椭圆右焦点F2,连结AF2,由对称性知|AF2|=|FB|= 8,2a = |AF2| + |AF|= 6+ 8 = 14,小 c 5 则 e=c= 5.故选B.答案：B2 25.已知椭圆E： m+ 4= 1，对于任意实数k,下列直线被椭圆 E截得的弦长与l: y =kx+ 1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()a . kx+y+ k= 0B . kx- y- 1 = 0C. kx+ y k= 0D .

21、 kx+ y 2= 0解析：取 k= 1 时，I: y= x+ 1.选项a中直线:y= x 1与I关于x轴对称，截得弦长相等.选项B中直线:y= x 1与I关于原点对称，所截弦长相等.选项C中直线:y= X+ 1与I关于y轴对称，截得弦长相等.排除选项a、B、C,故选D.答案：D6. (2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆p + £= 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1( -c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P，使sn7P=snzP，则该椭圆的离心率的取值范围为()a . （0,也1）D .丽1,1）C.0，¥解析：由题意知点P不在x轴上,在AP

22、F1F2中，由正弦定理得|pf2|PFi|sin/P F1F2sin/PF 2F1,所以由 sin/PF1F2 sinZPF2F1可得|PFlj=阿,所以 PFi|= e|PF2|.由椭圆定义可知|PFi|+ |P F2|= 2a,所以 e|PF2|+ |PF2|= 2a,2a解得 |PF2|= e 1 + e <2,也就是 2< 1 + e ,解得 V2 1<e.又 0<e<1,砸1<e<1.故选 D.答案：D二、填空题7.设F1、F2分别是椭圆£ +密=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点,2516OM|= 3,贝y P点到椭

23、圆左焦点距离为解析：OM|= 3 ,.| PF 2|= 6,又 |P Fi|+ |P F2|= 10,|P Fi|= 4.-e+ 1由于 a- c<|PF2|<a+ c,2a所以有 a c<<a+ c,e+ 1即 1 e< 丄 <1 + e, e+ 1答案：4x2 v2&椭圆字+話=1（a>b>0）的左、右焦点分别是 F1、F2,过F2作倾斜角为120。的直线与 椭圆的一个交点为 M，若MFi垂直于X轴，则椭圆的离心率为解析：不妨设|FiF2|= 1 ,直线MF2的倾斜角为120 °/.JMF2Fi= 60 °|MF2

24、|= 2, |MFi|=£, 2a=|MFi| + |MF2|= 2 + 品2c= |FiF2|= 1.e= a = 2-V3.答案：2 39. （2014西安模拟）过点需），且与椭圆25 +彳=1有相同焦点的椭圆的标准方 程为解析：由题意可设椭圆方程为 一 + 丄 =1（m<9）,25 m 9 m代入点（逅，75）,5 3得+= 1,25 m 9 m解得m= 5或m = 21（舍去）,椭圆的标准方程为20+x4 = 1.V2 X2 答案：2o+ 4 =110. 已知F1, F2是椭圆C：字+ b= 1（a>b>0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1 丄PF

25、2.若PF1F2的面积为9贝U b =|P F1I+IPF 2|= 2a,解析：由题意得|P F1I2 + |P F2|2= 4c2,(|P F1I+ P F2|)2 2|P F1|PF2|= 4c2,即 4a2 2PF1IIPF2|= 4c2,|P F1| PF2|= 2b2,SF1F2 = 2|P F1| PF2|= b2= 9,'b = 3.答案：3三、解答题11. （2012年高考广东卷）在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 左焦点为Fi（ 1,0），且点p（0, 1）在Ci 上.（1）求椭圆C1的方程；2 2C1：拿+2= 1(a>b>0)的I的方程.a2 b2=

26、 1,解：（1）由椭圆C1的左焦点为F1（ 1,0），且点P（0,1）在C1上,可得b = 1,设直线I同时与椭圆C1和抛物线C2： y2= 4x相切，求直线a2= 2, b2= 1.x2故椭圆C1的方程为-+ y2= 1.（2）由题意分析，直线I斜率存在且不为0,设其方程为y= kx+ b,y= kx+ b,由直线1与抛物线C2相切得y2 = 4x,消 y 得 k2x2 + (2bk 4)x + b2= 0, = (2bk 4)2 4k2b2 = 0，化简得 kb = 1.y= kx+ b,由直线I与椭圆C1相切得x22 + y2= 1,消 y 得(2k2 + 1)x2 + 4bkx + 2

27、b2 2 = 0,&= (4bk)2 4(2k2 + 1)(2b2 2) = 0,化简得2k2= b2 1.kb= 1,联立得2k2= b2 1,解得 b4 b2 2 = 0,b2= 2 或 b2= 1(舍去),b =/2时，k=¥, b = 时，k=爭.即直线I的方程为y=¥x+羽或y=x承.12. (2014海淀三模)已知椭圆C:字+ b= 1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2, 一内 角为60°的菱形的四个顶点.(1)求椭圆C的方程;若直线y = kx交椭圆C于A, B两点，在直线I: x+ y 3 = 0上存在点P,使得 FAB

28、为等边三角形，求 k的值.解: (1)因为椭圆C： x2+石=1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2, 一内角为60的菱 形的四个顶点.所以 a= J3, b = 1,椭圆C的方程为+ y2= 1.设 A(xi, yi)，则 B( X1, yi),当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是 y轴,y轴与直线I: X+ y 3= 0的交点为P(0,3),又因为 AB|= 23, IPO|= 3,所以/PAO = 60 °,所以FAB是等边三角形,所以直线AB的方程为y= 0,当直线AB的斜率存在且不为 0时,则直线AB的方程为y= kx,所以x2+=1y= kx,化简

29、得（3k2 + 1）x2= 3,所以|xi|=1它与直线I: X+ y 3 = 0的交点记为 P（X0,y°）.y= x+ 3,所以！y= kx，3kxo=,k 1解得3yo =k 1k 1 29k2+ 9贝 y|PO| =因为FAB为等边三角形,所以应有|P0|= V3|aoi,9k2+ 9代入得3k2 + 3k 12=3k2+1解得k= 0（舍去）,k= 1.综上，k= 0或k= 1.第八篇、选择题F2分别是双曲线左右两个焦点，若|P Fi|= 9,则IPF2|等于（）B . 17C. 1 或 17D 以上答案均不对解析：由双曲线定义|PF1|PF2|= 8,又 P F1|= 9

30、,|PF2|= 1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为C a= 6 4= 2>1 , P F2|= 17.故选B.答案：Bx22. （2013年高考湖北卷）已知O<0<n，则双曲线C1：宀筹0= 1与C2：岛0-為A .实轴长相等B .虚轴长相等C.离心率相等D .焦距相等解析：双曲线C1的半焦距C1 = Psin2 B+ cos2 9= 1,双曲线C2的半焦距C2 = yjcos2 0+ sin2 0=1，故选D.答案：D2 23. （2012年高考湖南卷）已知双曲线 C：器一2= 1的焦距为10,点P（2,1）在C的渐近线上，贝y C的方程为（）A.f0- 5

31、 =1x5- 20=1坊 20=120- 80=1解析：由焦距为10,知2c = 10, c= 5.b将 P(2,1)代入 y= ax 得 a = 2b.aa2+ b2= c2,5b2= 25, b2= 5, a2 = 4b2 = 20,所以方程为20y5=1.故选A.答案：A4.已知F1、F2为双曲线C： X2 y2= 2的左、右焦点，点 P在C 上, IPF1|= 2|PF2|,则cos/F1PF2 等于()A. 4B. 3的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为（）x2 yA.42-尹1xi y!= 1132 52x2 亡c.3242 =1132- 12= 1解析：在椭

32、圆Ci中，因为5e= 13, 2a = 26,3C.4解析：/c2 = 2+ 2= 4,.c= 2,2c= |FiF2|= 4,由题可知PFi| PF2|= 2a= 2电，P Fi|= 2| PF2|,|PF2|= 2申,PFi匸 4g4a/2 2+ 2(2 2 4232X /2X 2返由余弦定理可知 COS/F1 PF2=-,-匸=-.故选C.答案：C5设椭圆C1的离心率为153,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆Cim）2 + y2> 16内，则实数m的取值范围是（）即a = 13,所以椭圆的焦距 2c= 10,则椭圆两焦点为（一5,0）, （5,0）,根据题意，可知

33、曲线 C2为双曲线,根据双曲线的定义可知,双曲线C2中的2a2= 8,焦距与椭圆的焦距相同,即 2c2= 10,可知b2= 3,所以双曲线的标准方程为乍-y2 =1.故选A.答案：A6. （2014福州八中模拟渐近线上的一个动点P总在平面区域（X A . 3,3B .(汽一3 U 3 ,+s )C. 5,5D . ( s, 5 U 5 ,+s )解析:因为双曲线x9 16= 1渐近线4x±3y= 0上的一个动点 P总在平面区域(X m)2 +y2> 16 内,即直线与圆相离或相切，所以d =4,解得mA 5或mW 5,故实数m的5取值范围是(s, 5 U 5，+s).选D.答案

34、:二、填空题7. (2013年高考辽宁卷)已知F为双曲线C：9 y = 1的左焦点，P, Q为C上的点.若916PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则 PQF的周长为解析：由题知，双曲线中 a = 3, b= 4, c = 5,则 P Q|= 16,又因为 |PF| |PA|= 6,|QF| |QA|= 6,所以 |PF|+ |QF| |PQ|= 12,|P F| + |QF|= 28,则PQF的周长为44.答案：448.已知双曲线C: x2-b2= 1(a>0, b>0)的离心率e= 2,且它的一个顶点到较近焦点的 距离为1，则双曲线C的方程为解析：双曲线中，顶

35、点与较近焦点距离为c a= 1,又e= C= 2，两式联立得 a= 1, c= 2,ab2= c2 a2= 4 1 = 3 ,方程为 X2 y = 1.答案：X23 = 13x2 y29. (2014合肥市第三次质检)已知点P是双曲线尹一2 = 1(a>0, b>0)和圆X2+ y2= a2 + b2的一个交点，F1, F2是该双曲线的两个焦点，/ PF2F1= 2/ PF1F2，则该双曲线的离心率解析：依题意得，线段FiF2是圆X2+ y2= a2+ b2的一条直径,故/FiPF2= 90° /PFiF2= 30°设 P F2|= m,则有 |F1F2|= 2

36、m, |PF1|=#3m,该双曲线的离心率等于=严=73+1.|PF1| |P F2| V3m m答案：羽+ 110. (2013年高考湖南卷)设Fi, F2是双曲线 C:X2 y2= 1(a>0, b>0)的两个焦点.若 a b在C上存在一点P,使 PFi丄 PF2，且/ PFiF2= 30°则C的离心率为解析：设点P在双曲线右支上,由题意，在Rt舉1PF2 中,|FiF2|= 2c,/P F1F2= 30 °得 P F2|= c,|P F1|=>/3c,根据双曲线的定义:|PF1| |PF2|= 2a, 血1)c= 2a,答案：3+1三、解答题11.已

37、知双曲线X2 £ = 1,过点P(1,1)能否作一条直线I，与双曲线交于 A、B两点,且点P是线段AB的中点?解：法一 设点A(X1, y1), B(x2, y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(X0, yo),若直线I的斜率不存在，显然不符合题意.设经过点P的直线I的方程为y 1 = k(x 1),即 y = kx+1 k.y= kx+1 k, 由X2-律1 ,得(2 k k2 = 1，)x2 2k(1 k)x (1 k)2 2=0(2 k2M 0).X1 + X2k 1 kX0= 2=2 k2 .由题意，得k 1 k解得k= 2.当k = 2时，方程成为 2x2 4x+ 3= 0

38、.= 16 24= 8<0 ,方程没有实数解.不能作一条直线I与双曲线交于 A, B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点.法二 设 A(X1, y1), B(X2, y2),若直线I的斜率不存在,即X1= X2不符合题意,所以由题得 X? y1= 1, X2 y2= 1 ,y1 + y2 y1 y2两式相减得(X1 + X2)(X1 X2) -= 0 ,即 2 y1 = 0,X1 X2即直线I斜率k= 2,得直线I方程y 1 = 2(x 1),即 y = 2x 1,y= 2x 1,联立X2 £= 1得 2X2 4x+ 3= 0,= 16 24= 8<0 ,即直线y= 2

39、x 1与双曲线无交点，即所求直线不合题意,所以过点P (1,1)的直线I不存在.12. (2014南京质检)中心在原点，焦点在 X轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|= 2帧，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3 : 7.(1)求这两曲线方程;若P为这两曲线的一个交点，求cos/ F1PF2的值.解：(1)由已知c/13 ,设椭圆长、短半轴长分别为a、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n,a m= 4,则殛殛7 = 3 a m解得 a= 7, m= 3.b = 6, n= 2.X2 y2椭圆方程为49+36 = 1,X y双曲线方程为-4 = 1.不

40、妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点,则 P F1I+ |P F2|= 14,|P F1| | PF2|= 6,|PF1|= 10, |PF2|= 4.又 |F1F2|= 2伍,|P F1|2+ |P F2|2 |F1F2|22|P F1| PF2|.'cos/F 1 PF2 =2X 10 X 4第八篇第5节一、选择题1.（2014银川模拟）抛物线y= 2x2的焦点坐标为（）A.2,0B . (1,0)C.解析：抛物线y= 2x2,1 1即其标准方程为x2=尹，它的焦点坐标是0,-.故选C.答案：C2抛物线的焦点为椭圆x4+£=1的下焦点，顶点在椭圆中心，则

41、抛物线方程为（）A . x2= 4心y C. x2= 4你yB . y2= 4伍 D . y2 = 4/13x解析：由椭圆方程知,a2= 9, b2= 4,焦点在y轴上，下焦点坐标为（0,C）,其中c=寸a2- b2 = V5,抛物线焦点坐标为（075）,抛物线方程为x2= 4寸5y.故选A.答案：A3已知抛物线y2= 2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是A .相离B .相交C.相切D .不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为 AB，中点为Ai、Bi分别为A、B在直线l上的射影，则AAi|=|AF|,1 1于是 M 到 I 的距离 d= 2(|AA11 + |BB1|)= 2

42、(|AF| + |BF|)=物线准线相切.故选C.答案：C4. （2014洛阳高三统一考试）已知F是抛物线y2= 4x的焦点，过点 于A, B两点，且|AF|= 3|BF|,则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为的直线与抛物线交5A.310C.l"解析： 设点 A(xi, yi), B(X2, y2),其中 xi>0, X2>0 ,过A, B两点的直线方程为 x= my+ 1,将 X = my+ 1 与 y2= 4x 联立得 y2 4my 4= 0,yiy2= 4,X1 + 1 = 3 X2+ 1 ,贝U由y2 y2y1y2X1X2= , =42- 一1416',

43、解得 X1 = 3, X2 =故线段AB的中点到该抛物线的准线X1 + X28x= 1的距离等于2+ 1 = 故选B.答案：B5已知F是抛物线y2= X的焦点,A, B是该抛物线上的两点，|AF| + |BF|= 3,则线段AB的中点到y轴的距离为（）5C.51解析：TAFI + |BF| = Xa+xb+ 1= 3,5-xa + xb = 2"XA+ XB线段AB的中点到y轴的距离为一2=5 =4.故选C.答案：C6设M（X0, y0）为抛物线C： x2= 8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C的准线相交，则y0的取值范围是（）A. (0,2)B

44、 . 0,2C. (2,+8 )D . 2 ,+8)解析：x2= 8y,.焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=- 2.由抛物线的定义知|MF|= yo+ 2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为X2+ (y- 2)2= (yo+ 2)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心 F到准线的距离为 4,故 4<yo + 2,.yo>2.故选 C.答案：C二、填空题7.动直线l的倾斜角为60°且与抛物线x2= 2py(p>0)交于A, B两点，若 A, B两点 的横坐标之和为3,则抛物线的方程为.解析：设直线I的方程为y=73x + b,y=/3x

45、 + b,联立x2 = 2py消去y,得 x2= 2p(寸3x + b),即 x2- 2T3px-2pb= 0,+ X2= 2 寸3p = 3,p =¥,则抛物线的方程为x2= V3y.答案：x2=3y&以抛物线x2= 16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为解析:抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y= 4，则圆心为(0,4)，半径r = 8.所以,圆的方程为X2+ (y- 4)2= 64.答案:X2 + (y-4)2= 649. (2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy中，直线I过抛物线y2= 4x的焦点F,且与 该抛物线相交于 A, B两点，其中点 A在x轴上方，若直线I的倾斜角为60°则 OAF的 面积为解析：抛物线y2= 4x,焦点F的