高考冲刺 排列组合、二项式定理(基础).docx

1、高考冲刺排列组合、二项式定理编稿：孙永钊审稿：张林娟【高考展望】命题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开.第一个点是围绕排列，组合展开，设计利用排列组 合和两个基本原理求解的实际计数问题的试题，目的是考查对排列组合基本方法的掌握程度，考查分类与 整合的思想方法，试题都是选择题或者填空题，难度中等或者偏易；第二点是围绕二项式定理展开，涉及 利用二项式的通项公式计算二项式中特定项的系数、常数项、系数和等试题，目的是考查对二项式定理的 掌握程度和基本的运算求解能力，试题也都是选择题或者填空题，难度中等.预计高考对该部分的考查基本方向不变，即考查简单的计数问题、二项式定理的简单应用，但由于排 列，组合

2、试题的特点，也不排除出现难度稍大的试题的可能.复习建议：该部分的复习以基本问题为主，要点有两个：一个是引导学生掌握解决排列，组合问题的 基本思想，即分类与分步的思想，使学生在解题时有正确的思维方向；一个是掌握好二项展开式的通项公 式的应用，这是二项式定理的考查核心.【知识升华】一、排列与组合1、分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步 有关，分类计数原理与分类有关.2、排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方 法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于 组

3、合问题.3、排列与组合的主要公式 排列数公式：A； = = (一 1) ( 一 in 4-1) (mWn)(一 in)A： =n! =n(nl)(n2) 2 I. 组合数公式：C： =-=E)(mWn).ml(n - m)x (？ 一 1) x x 2 x 1 组合数性质：C；：=C(mWn).C?+C：+C：+ + C；=2” c? + c； + c；. = c：+c；+. = 2”t4、分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并 能完成事项.整数次幕的项的系数之和为256-72=184.【例9】设(1 + x)* =%+qx + . + 6史,

4、则小。%中奇数的个数为()A. 2B. 3 C. 4D. 5【答案】A【解析】由题知=C； (i = 0,l,2,8),逐个验证知C； = C； = 1,其它为偶数，选A。【例10】若(A+r的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中F项的系数为2x(A)6(B)7(C)8(D)9【答案】B【解析】因为(工+上)的展开式中前三项的系数C；、*、成等差数列，所以c?+Lc； = c：, 2x244即 /?2-9/2+ 8 = (),解得： =8或 =1 (舍)。7；+1 = Cr(Y = (-), o 令8 2,=4可得， 2x 2尸=2,所以Y4的系数为q)2c；=7,故选B。类型四、排列组合

5、综合问题【例11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张 卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A. 232 B. 252C. 472 D. 484【思路点拨】分两类，含有红色卡片、不含红色卡片一(推理)含有红色卡片时只要从其余的12张卡片中任 取2张即可，不含红色长片时只要从其余的12张卡片中任取3张且不是同一种颜色一(结论)根据分类加法 计数原理求出总数.【答案】C【解析】方法1：若含有红色卡片，则只要从其余12张卡片中任选2张即可，选法为C：C：=264种，若 不含红色卡片，则只要从12选3的选法中去掉取同一种颜色的即

6、可，选法为C% 3C： =208.所以总的选 法为 264+208=472.方法2：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C：C!C=64种， 若2色相同，则有C；C；C：C： = 144：若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有= 种，若同色则有C Cl C =72,所以共有64+144+192+72=472,故选C.举一反三：【变式】某次会展共展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1 件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该会展展 出这5件作品不同的方案有种.(用数字作答)【答案】24

7、【解析】2件书法作品看作一个整体，方法数是A；=2,把这个整体与标志性建筑作品排列，有种排列 方法,其中隔开了三个空位，在其中插入2件绘画作品，有方法数A；=6.根据乘法原理，共有方法数2X2X6 =24.5、界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元素”、“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理.6、解排列组合综合问题注意先选后排的原则，复杂的排列、组合问题利用分类思想转化为简单问题 求解.7、常见的解题策略有以下几种：（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻

8、问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；（8）分排问题直排处理的策略；（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10）构造模型的策略.二、二项式定理1、二项式定理（a +b）n =C an+C* an_1b+.+C； an-rbr+.+C； b%其中各项系数就是组合数C：,展开式共有n+1项,第 r+1 项是 Tp =C；an_rbr.2、二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项Tr+i=C；an_rbr（r=0,l.n）叫做二项展开式的通项公式。3、二项式系数的性质 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C： = C（r=0,1,2,!）.fl-

9、若n是偶数，则中间项（第+ 1项）的二项公式系数最大，其值为C：若n是奇数，则中间两项（第%项和第%2项）的二项式系数相等，并且最大，其值为c2 =c,2 . 所有二项式系数和等于2七即Ct +C； +C： +： =2气奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和,即C*+C：+=Ct+C：+=2n-i.4、二项式定理解题：四大热点，四条规律：（1）四大热点：通项运用型；系数配对型；系数和差型；综合应用型.（2）四条规律：常规问题通项分析法；系数和差赋值法；近似问题截项法；整除（或余数） 问题展开法.【典型例题】类型一、分类计数原理与分步计数原理【例1】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字

10、形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂 不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？【思路点拨】颜色可以反复使用，即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜色，首先确定第一个小方 格的涂法，再考虑其相邻的两个小方格的涂法.【解析】如图所示，将4个小方格依次编号为1,2, 3, 4,第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂 上，有5种不同的涂法.当第2、第3个小方格涂不同颜色时，有A：=12（种）不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法.由分步计数原理可知，有5X12X3=180（种）不同的涂法；I 1 I 9 I当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格

11、不同色，因此第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知，有5X4X4=80（种）不同涂法.I1由分类加法计数原理可得，共有180+80=260（种）不同的涂法.【总结升华】涂色问题的解决方法（1）涂色问题没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个原理与排列组合的知识灵活 处理，其难点是对相邻区域颜色不同的处理，解决的方法往往要采用分类讨论的方法，根据“两个原理” 计算.（2）本题也可以考虑对使用的颜色的种数进行分类，如果使用2种颜色，则只能是第1,4涂一种、第2, 3涂一种，方法数是Cl=20；若是使用3种颜色，若第1,2,3方格不同色，第4个方格只能和第1个方格相同，方法数

12、是C；A；=60,如果第1,2,3方格只用两种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色， 方法数是C；X3X2=60；如果使用4种颜色，方法数是C；A：=120.根据加法原理总的涂法种数是260. 举一反三：【变式】某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人 不同行也不同列，则不同的选法种数为（用数字作答）.【答案】7 200【解析】其中最先选出的一个有30种方法，此时这个人所在的行和列不能再选人，还剩一个5行4列的队形，选第二个人有20种方法，此时该人所在的行和列不能再选人，还剩一个4行3列的队形，此时第 三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选

13、法种数是30X20X 12 = 7 200.【例2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1 名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种【思路点拨】先安排教师、再配之学生即可，再根据分步乘法计数原理求之.【答案】A【解析】分别从2名教师中选1名，4名学生中选2名安排到甲地参加社会实践活动即可，则乙地就安排 剩下的教师与学生，故不同的安排方法共有C；C： = 12种.故选A.【总结升华】两个基本原理是解决计数问题的根据，在计数问题中一般是先根据不同情况进行分类，然后 对于每一类的计数问题再分步

14、完成，根据分步乘法计数原理求出每类的数目，最后使用分类加法计数原理 得到结果.举一反三：【变式1】在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一 步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A. 34 种 B. 48种C. 96 种 D. 144 种【答案】C【解析】先实施A,有2种编排方法；再将程序B和C视为一个整体（有2种顺序）与其他3个程序全排列 共有2 种编排方法；故实验顺序的编排方法共有2x2=96种.故选C.【变式2某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2 人不同行也不同列，则不同的选法种

15、数为.（用数字作答）【答案】1200【解析】其中最先选出的一个有3（）种方法，此时这个人所在的行和列共1（）个位置不能再选人，还剩一个 5行4列的队形，选第二个人有20种方法，此时该人所在的行和列不能再选人，还剩一个4行3列的队形， 此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30X20X12 =1200种.6类型二、排列与组合【例3】（1）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是A. 12 B. 24 C. 36 D. 48（2）值域为2, 5, 1（）,其对应关系为尸/+1的函数的个数为A. 1 B. 27 C. 39 D. 8【思路点拨】分“选甲”

16、与“不选甲”两类进行讨论:（2）根据函数的值域，求出函数定义域中可能包含的元素，分类讨论确定其定义域.【答案】（1）D （2）B【解析】若选甲，则有种排法；若不选甲，则有A；种排法，则共有+A；=48（种）.（2）分别由+1=2, +1 = 5, *2+i = io解得*=1, =2,=3,由函数的定义，定义域中 元素的选取分四种情况： 取三个元素：有- C - C；=8（种）； 取四个元素：先从1, 2, 3三组中选取一组C；,再从剩下的两组中选两个元素故 共有C： C - C； = 12（种）； 取五个元素：C；=6（种）： 取六个元素：1种.由分类计数原理，共有8+12+6+1=27（种

17、）.【总结升华】排列、组合问题的解法：解排列组合综合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类、“分步的角度入手.“分析”就是找出题目的条 件、结论.哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无 限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就 是把问题化成凡个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.举一反三：【变式1】某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那 么不同的选派方案种数为A. 14 B. 24 C. 28 D. 48【答案】A【解析】选1名

18、女生的方案有：种；选2名女生的方案有：种；故至少选1名女生共有：C；C： + C；C：=14种方案.【变式2】用0,1,2, 3,4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的 个数是A. 36B. 32C. 24I）. 20【答案】1）【解析】0,1, 2, 3, 4五个数字，偶数字相邻，奇数字也相邻的排法共有种排法，其中0在首位的 排法有总种，所以共有 -=20个五位数.【例4】一排9个座位坐了 3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A. 3X3! B. 3X(3! )3 C. (3! )4 D. 9!【思路点拨】将一家三口作为为一个集团，三个集团

19、全排列，再根据分步乘法计数原理得解；【答案】C【解析】由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每 个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为A； A； A； A；=(3!)七【总结升华】本题是元素相邻的排列，只要把相邻元素看作一个整体即可.举一反三：【变式】(1)某市端午期间安排甲、乙等6支队伍参加端午赛龙舟比赛，若在安排比赛赛道时不将甲安排 在第-及第二赛道上，且甲和乙不相邻，则不同的安排方法有()A. 96 种 B. 192 种C. 216 种 D. 312 种(2)从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若

20、 甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有种.【答案D (2)96【解析】若甲在第三、四、五道，则乙的安排方法有三种，此时方法数是3X3XA：=216；若甲在第 六道，则乙的安排方法有四种，此时的方法数是4A：=96.故总数为216+96=312.(2)选出的4名学生如果不含甲，则方法数为A： =24；选出的5名学生如果含甲，选法为C：,甲的参 赛方法数是3,其余3个学生全排列，方法数是C；X3XA：=72.根据分类加法计数原理，总的方法数是 24 + 72=96.【例5】在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排 一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工

21、作，则不同的分配方法总数为()A. 78 B. 114 C. 108 D. 120【思路点拨】先分组后分配，然后减去两名女医生在一个I关院的情况.【答案】B=25,故分配方案的总=25,故分配方案的总【解析】五人分组有(1,1,3), (1,2,2)两种分组方案，方法数是数是25人；=150种.当仅仅两名女医生一组时，分组数是C4,当两名女医生中还有一名男医生时，分组 方法也是C：,故两名女医生在一个医院的分配方案是6 =36.符合要求的分配方法总数是150-36=114.【总结升华】在分配问题中如果待分配的元素数目多余分配的位置数目，就要先分组然后再进行分配.举一反三：【变式】201()年上

22、海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展 出这5件作品不同的方案有种(用数字作答)【答案】24【解析】把需要相邻的两个元素看做一个整体，然后不相邻的元素外的元素进行排列，在隔出的空位上安 排需要不相邻的元素.2件书法作品看做一个整体，方法数是A；=2,把这个整体与标志性建筑作品排列， 有种排列方法，其中隔开了三个空位，在其中插入2件绘画作品，有方法数A；=6.根据乘法原理，故 共有方法数2X2X6=24.【例6高清视频：复数 排列组合二项式定理例6课程11)

23、:369691在直线ax + by + c = O中，a, b, c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线有多少条？【思路点拨】把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a, b, c”的情况讨论。【解析】设直线的倾斜角为a ,并且。为锐角。则tana = 0,不妨设ab,那么b0a当c尹0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法，并且其中任意两条直线不重合，所以这样的直线 有 3X3X4=36 条当c=0时，a有3种取法,b有3种取法，其中直线:3x-3y=0, 2x-2y=0, x-y=0重合，所以这样的直线有3X3-2=7

24、 条故符合条件的直线有7+3.6=43条类型三、二项式定理6例7(1) (2015漳州二模)设a= f (cosx-sinx) dx则二项式 仁之+乏)展开式中的X，项的0x系数为()A. - 20 B. 20 C. - 160 D. 160(2) (2015 浙江模拟)己知(a - x) 5=ao+ajx+a2X2+*+a5X5,若 a2=80,则 ao+ai+az+*+35=( )利用二 项展开式的通项求出通项，令x的指数为2求出a?,列出方程求出a,令二项展开式的x=l求出展开式的 系数和.A. 32 B. 1 C. - 243 D. 1 或-243【思路点拨】(1)计算定积分求得a的值

25、，在二项式(乂2+圣)E展开式的通项公式中，令x的幕指数等 于3,求得r的值，即可求得展开式中的b项的系数.(2)利用二项展开式的通项求出通项，令x的指数为2求出a2,列出方程求出a,令二项展开式的x=l求 出展开式的系数和.(1)【答案】C【解忻】由于 a= J J (cosx_sinx) dx=(sinx+cosx) |- 2,6_o r则二项式 怎2+史) 展开式的通项公式为Tr+l=C?x兀()=(2)C?x3r,令23r=3,x6x6解得r=3,故展开式中的x，项的系数为- 8x20=-160，故选C.【答案】B【解析】(a-x) 5展开式通项为Tw= ( - 1)ra5rC5rxr

26、令r=2得a2=a3C52=8O 知 a=2令二项展开式的x=l得l8=l=ao+ai+.+a$故选B.【总结升华】五招制胜，解决二项式问题二项式定理是一个恒等式，应对二项式定理问题主要有五种方法：(1)特定项问题通项公式法；(2)系数和与差型问题赋值法；(3)近似问题截项法；(4)整除(或余数)问题展开法;(5)最值问题不等式法.在二项式定理问题中，常见的误区有：(1) 二项展开式的通项+1中，项数与k的关系搞不清；二项式系数与各项的系数混淆不清；(3)在展开二项式(a-b)n或求特定项时，忽略中间的“一”号.举一反三:【变式】(2015成都校级模拟)在(x2+) ”的展开式中，只有第4项的

27、二项式系数最大，则展开式X)C. 30 D. 120中常数项是(A. 15 B. 20【答案】A【解析】.二项展开式中中间项的二项式系数最大又. 二项式系数最大的项只有第4项展开式中共有7项/. n=6展开式的通项为L+1 =Cg (x2) 6r (1) r=C6rxl23r 令 12 3r=0, r=4,展开式的常数项为T5=C64=15故选A【例8】(1) (x2+2)(4-D5的展开式的常数项是()xA. -3 B. -2 C. 2 D. 3(2)设。UZ,且 0Wovl3,若 512012+ 能被 13 整除，贝ij a=)A. 0 B. I C. 11 D. 12【思路点拨】(I)要求展开式中常数项需使用多项式乘法法则，先求(4-1)5展开式中2的系数和常数X_项，再根据多项式乘法法则得结果;(2)要求。值需知512 32被1