金属电子论ppt课件

1、第六章 金属电子论按照能带论, 在严厉周期性势场中, 电子可以坚持在一个本征态中, 具有一定的平均速度, 并不随时间改动, 相当于无穷的自在程实践自在程之所以是有限的, 是由于原子振动或其它缘由致使晶体势场偏离周期场的结果按照经典电子论, 金属中的自在电子对热容量有奉献, 大小和晶格热容量相比较。但实验上察看不到金属有这样一部分热容量6-3 分布函数和玻尔兹曼方程dk 内的电子密度为32 ( ), (2 )dkdnf E k T总的电流密度32( ) ( )(2 )dkjqf k v k 平衡态的费米分布对于 k, -k 是对称的, 电流是零。外场下的非平衡分布函数满足玻尔兹曼方程( , ,

2、)( , , )krkfdkvf k r tf k r tbatdt 思索定态的导电问题时简化为( )kqEf kba6-4 弛豫时间近似和电导率公式玻尔兹曼方程普通情况下不能得到简单的解析方式的解。一个广泛援用的近似方法是假定碰撞项可写成0( )ffbak f0 ：平衡时的费米函数 : 弛豫时间, 是 k 的函数这个假定的普通根据是思索到碰撞促使系统趋向平衡态这一根本特点假设形状原来是不平衡的00fff (f)0 表示对平衡的偏离, 当只需碰撞作用时, (f)0 应很快消逝上面关于碰撞项的假定实践上是说, 碰撞促使对平衡的偏离指数地消逝, 由于只需碰撞作用时0ffft 积分得到/00tfff

3、fe 弛豫时间 大致度量了恢复平衡所用的时间引入弛豫时间来描画碰撞项后, 玻尔兹曼方程变为0( )kffqEf k 这个方程的解, 即为电场 E 存在时定态的分布函数 f, 显然将是 E (Ex , Ey , Ez) 的函数, 可以把 f 按 E 的幂级数展开012fffff1, f2, 分别表示包含 E 的一次幂, 二次幂, 项, 0 级项实践上就是平衡情况下的费米分布函数 f0 . 得到1201kkffqqEfEf 等式两边 E 的同次幂的项相等给出1201, kkffqqEfEf从一次幂方程得10kqfEf由于 f0 只是 E(k) 的函数, 上式又可以写成01( )kfqfEE kE0

4、( )fq E v kE 其中用到了能带论中根本关系式1( )( )kE kv k 在普通电导问题中, 电流与电场成正比, 服从欧姆定律,这相当于弱场的情况, 此时分布函数只需求思索到 E 的一次幂01fff电流密度可以直接由分布函数得到32( )/(2 )jqf v k dk 33012( )/(2 )2( )/(2 )qf v k dkqf v k dk 第一项相当于平衡分布的电流, 它等于0, 将 f1 代入得2302( )( )/(2 )fjqv kv kEdkE 这样得到了欧姆定律的普通公式。将上式用分量表示0jE其中2302( )( )/(2 )fqvk vkdkE 是电导率二阶张

5、量的分量上式中出现的 f0/E 阐明, 积分的奉献来自 E=EF 附近。换句话说, 电导率主要决议于费米面 E=EF 附近的情况讨论各向同性情形, 并假设导带电子根本上可以用单一有效质量 m* 描画22*( )2kE km有*1( )kvE kkm同时, 各向同性的情况意味着, (k) 与 k 的方向无关223*2( )/(2 )fqk kkdkmE 积分中除去 k , k 以外, 其他的因子都是球对称的, 只需 , 积分内函数是奇函数, 积分后 =0同样, 由于对称 11=22=33 , 张量相当于一个标量 001122331122332222230123*1()32 ( )/(2 )3fq

6、kkkkdkmE 2230*2( )/(2 )3fqkkdkmE2302*( )3fqkkdEmE3200*2()3kqkm其中 k0 表示 E=EF0 时的 k 值2200*2FkEm22230*28( )/(2 )3fqkkdkmEk0 也就是 k 空间球形等能面 E=EF0 的半径, 由于等能面内包含的形状数330032422(2 )36kkVV应等于电子数 N, 因此得3023kNV等于金属中电子密度 n电导率公式最后写成20*()FnqEm和最简单的经典电子论的结果类似, 其中弛豫时间替代了经典电子论中的自在碰撞时间, m* 替代了 m6-5 各向同性弹性散射和弛豫时间思索一个可以详

7、细导出弛豫时间的特例, 即完全各向同性而且电子散射碰撞跃迁是弹性的情况首先它的能带情况是各向同性的, E(k) 只是 k 的函数, k 空间的等能面是一些围绕原点的同心球面其次, 散射是弹性的, k 只跃迁到一样能量的 k 态, 可以表示如下：( )( ), ( , )0E kE kk k 如果则另外, 散射是由晶体引起的, 各向同性的要求 (k, k)不应依赖于 k, k各自在晶体中的方向, 最多只能依赖于它们之间的夹角概括地说, 跃迁只能发生在同一球形等能面上两点 k, k之间, 而且几率的大小只与两个矢径的夹角有关。从这里也可以看出( , )( , )k kk k 实践上这个关系对一切弹

8、性散射的跃迁都成立, 与各向同性没有直接关系。从量子力学看, 这是由于两个态间的跃迁矩阵元的平方值是对称的, 另一方面它表达了统计物理中的细致平衡原理详细思索玻尔兹曼方程( )kqEf kba其中的碰撞项3( , )( )( )/(2 )bak kf kf kdk 依然采取按 E 展开的方法, 令01fff得到一级方程3011( )( , )( )( )/(2 )kqEfkk kf kf kdk 由于 f0 只是 E(k) 的函数, 左端可以写成001( )kffqqdEEE kE kEkdkE 选 x 坐标沿 E 的方向, 方程可以写成30111( , )( )( )/(2 )xfqEdEk

9、k kf kf kdkkdkE 方程左端的方式阐明, 碰撞项的积分结果, 必需具有kx 乘上一个只依赖于 k 的函数的特殊方式。将直接验证,假设 f1 取这样方式的试用解 f1(k)=kx(E) , 就恰好能满足这一要求把试用解代入碰撞项得到3113( , )( )( )/(2 )( , )() ( )/(2 )xxk kf kf kdkk kE kE k dk 假设 EE , (k, k)=0, 因此可以在积分中, 以 (E) 替代 (E) 而不影响结果。又由于 (E) 与 k 无关可以提到积分之外, 得到3( )( , )/(2 )xEk kkk dk 由于 k k 时, (k, k)=0

10、, 对 k 的积分有奉献的实践上完全来自与 k 同一等能球面上的各点采用以 k 为极轴的极坐标, 令 表示夹角, 把 (k-k) 分解为垂直和平行 k 的分量kkkkkk假设环绕极轴积分, 由于 (k, k) 不变, 因它只依赖于, 垂直分量显然将抵消平行分量的数值为 (k - kcos), 方向与 k 相反, 因此可写成(1 cos )kkk 碰撞项可以最后写成31133( , )( )( )/(2 )( )( , )(1 cos )/(2 )( )( , )(1 cos )/(2 )xxk kf kf kdkEkk kdkkEk kdk 这个结果阐明所选试用解 f1(k)=kx(E) 满足

11、前面所指出要求。由于对 k 积分以后, 就只是 k 的函数另一方面, 上式实践上直接给了弛豫时间。留意到10( )xkEfff上述结果阐明碰撞项可以写成3011( , )( )( )/(2 )( )ffk kf kf kdkk 其中31( , )(1 cos )/(2 )( )k kdkk 这不仅论证了弛豫时间方法的根本假定, 还得到了(k) 的详细方式。一级方程成为01( )1( )( )xxfkEfqEdEkk dkEkk 得到01( )xkfqk EdEfkdkE 在 (k) 的表达式中忽略掉 (1-cos) 因子, 积分将表示在 k 形状的电子被散射的总的几率, 因此, 它表示弛豫时间

12、就是电子的自在碰撞时间(1-cos) 因子反映了各种不同的散射对电阻的奉献不同, 小角度散射影响小, 大角度散射影响大31( , )(1 cos )/(2 )( )k kdkk 补充阐明6-6 晶格散射和电导电子的碰撞(或散射)是一切输运过程的一个根本环节电子的散射机制是在经典实际中未能处理的问题, 能带论提供理处理这个问题的前提在驰豫时间的方法中, 以驰豫时间 概括了电子碰撞对统计分布的影响。假设可以了解散射的机制并计算出散射的几率, 就可以计算 和电导率实践上原子并不静止地停留在格点上, 由于不断地热振动, 原子经常偏离格点, 原子偏离格点的影响, 可以看做是对周期场的微扰, 从而引起电子

13、的跃迁, 这种散射机制常称为晶格散射在理想的完全规那么陈列的原子的周期势场中, 电子将处于确定的 k 形状, 不会发生跃迁, 因此也就没有电阻可言令 V(r) 表示一个原子的势场, 那么处于格点 Rn 上的原子的场为()nV rR 当它位移为 n 时, 假设势场本身并未改动, 只是随原子位移了 n , 那么势场写为nnV rR 在 Rn 格点上的原子, 位移为 n 时将引起微扰两者相减得到原子位移所引起的势场变化() ()nnnnnnVV rRV rRV rR 其中把 V 在 (rRn) 点附近按 n 做级数展开, 并保管到一级项原子的热振动采取格波的方式cos()nnAeq Rt 式中 e

14、表示振动方向上的单位矢量, A 为振幅。在各向同性介质中, 波或为横波, 或为纵波, 即()()eqe q横波纵波详细思索简单格子的情况, 这种情况下只需声学波。并以弹性波近似替代声学波。原子位移如下方式表示另外, 弹性波具有恒定的速度cqc 是常数, 对横波和纵波各有不同的值:()()tlcccc横波纵波由一个格波引起的整个晶格中的势场变化()nnnnnHVV rR H 可以看作是一个微扰 cos()()nnnAq Rt eV rR 1 ()21 ()2nni tiq Rnni tiq RnnAeeeV rRAeeeV rR 2222( , ) |()|( )( )2 |()|( )( )2

15、nniq Rnniq Rnnk kAkeeV rRkE kE kAkeeV rRkE kE k 式中 函数阐明, 电子能量在跃迁中是不守恒的, 或者说电子被格波的散射不是完全弹性的根据量子力学微扰实际的结果, 这样一个随时间变化的微扰将引起本征态之间的跃迁, 从 k 到 k 的跃迁几率可写成因此说晶格的散射总是伴随声子的吸收和发射( )( )( )( )E kE kE kE k(吸收声子)(发射声子)电子能量的增减显然来自晶格振动, 而 正是格波振动能量的量子声子但是声子的能量是极小的, 最高声子能量只需 1/100eV 数量级, 仅仅是费米面上电子能量的千分之几, 因此散射接近完全弹性详细思

16、索决议吸收和发射几率的矩阵元( )*|()|21( )( )()2nniq Rnniq Ri kk rnkknAkeeV rRkAeerr eV rRdrN 其中, 把归一化的波函数写成1( )( )ik rkkreu rN N 是原胞数, 这样归一化使 |uk(r)|2 平均值为 1/v0, v0 为原胞体积在积分中引入新变量nrR 积分中周期函数中的 r 可以直接为 替代, 只需指数函数添加了一个常数因子 e-i(k-k) Rn, 矩阵元写成( )12ni kk q RkknAe IeN 其中 I kk表示原来加式中各项共同的积分( )*( )( )( )i kkkkkkIeVd 积分 I

17、 kk普通地代表 V 的大小散射矩阵元中的连加式( )ni kk q Rne 假设123123nkkqn bn bn bG倒格矢那么有( )11ni kk q RneN kkq N 过程nkkqGU 过程否那么为零总结以上关于跃迁几率的结果, 思索各向同性的情况, 把散射近似看做弹性的, 每一个跃迁 kk 可以经过吸收也可经过发射声子实现由于对应于一个 q 实践存在一个纵波, 两个横波, 因此对于一定的 kk , 无论吸收或发射声子都可以由这三个独立振动引起, 以 Aj 和 ej (j=1,2,3) 分别标志它们的振幅和振动方向, 相应的跃迁几率为 222|()jkkjjAeIEE其中 表示吸

18、收和发射的情况振幅的平方平均值可以由平均热振动能写出222222|BBjjjk Tk TANMNMc kk将吸收和发射三种振动声子的几率求和得 kk 总几率22221( , )()|Bkkjjjk Tck keIEEckkNM c 用 J2 表示其中的加式221( , )|kkjjjcJEeIckkJ 表示等能面上的散射, 仅决议于,数量级为几个电子伏12221( , )(1 cos )2 sin4Bk TdEkJEddkNM c 该驰豫时间的公式包含了两个重要的结论:(1) 上式阐明了 1/ 和绝对温度成正比 (TD), 这就处理了在经典实际中长期得不到解释的金属电阻与温度成正比的现实得到弛

19、豫时间从推导可以看到, 普通金属的电阻是由于原子的热振动对电子的散射引起的, 散射几率与原子位移的平方成正比, 而后者在足够高的温度与 T 成正比(2) 其次, 在我们讨论的各向同性情形中, 能态密度可以写为1223241( )2(2 )kkkdEN EEdk从 1/ 的公式可看到, 它和能态密度成正比根据能带实际, 过渡金属的一个重要特征在于 d 能带有很高的能态密度, 上面的结论普通地阐明了过渡金属具有高电阻率的现实不难估计 值约为 10-1310-14 秒, 与从实践金属估计的值是一致的根据德拜比热实际可知, 在低温极限, 三维晶体中有奉献的晶格振动方式数正比于 T。同时, 由于这些振动是长波, 它们对 1/ 的奉献随 T 减小思索上述两方面的影响, 金属电阻率在低温极限将随 T5 变化。有相当数量的金属在低温下的电阻率 温度关系中呈现出 T5 规律前面讨论了晶格振动的散射, 实践资料中存在的杂质与缺陷, 也将破坏周期性势场, 引起电子的散射111LI在金属中杂质与缺陷散射的影响普通来说不依赖于温度 T, 而与杂质和缺陷的密