度施工图审查人员勘察专业继续教育-冯永能ppt课件

1、复复 习习)(2mcpcHti自在电子的自在电子的Dirac方程方程 0 0iii 0 0 或或 Pauli-Dirac表象中表象中的矩阵表示。的矩阵表示。 的矩阵表示：的矩阵表示：22 0 00 00 ,1 00 1I 44 I- 00 I113自在电子的平面波解自在电子的平面波解)(2mcpcHti2mcpcH为了了解为了了解Dirac方程的物理性质，下面，求解自在方程的物理性质，下面，求解自在电子的电子的Dirac方程的解方程的解.自在电子的自在电子的Dirac方程方程 1 由于H不显含时间，所以能量为守恒量。这是自在电子时间均匀性的表现。有哪些守量？有哪些守量？0,2mcpcpHp所以

2、动量所以动量p为守恒量，阐明自在电子具有空间均匀性。为守恒量，阐明自在电子具有空间均匀性。波函数可以取能量和动量的共同本征态波函数可以取能量和动量的共同本征态)(,)(),(EtrpiEpeputrEuumcpc)(2)(pu代入代入1式，得式，得满足的方程：满足的方程： (2)(3)(2mcpcHti 2 0 0 I 00 I 14321)(uuuupu4321,uuuu4均为二分量波函数均为二分量波函数利用利用Pauli-Dirac表象，表象，其中其中代入代入3式式,得：得： Euumcpc)(2u为多分量波函数，思索到电子有自旋，令为多分量波函数，思索到电子有自旋，令(3)EmcpcEm

3、cpc22 0 0EmcpcEmcpc22kp0)(0)(22mcEkckcmcE 5 方程具有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为方程具有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为0。即：。即：0 22mcEkckcmcE令令0)(22422kkccmE即：即： 6 0)(22422kkccmE)()(BAiBABA0222422kccmE224222242pccmkccmEE2242pccmE2242pccmE利用利用 正能量解正能量解 负能量解负能量解 下面，求波函数下面，求波函数由由5式，式，0)(0)(22mcEkckcmcE)()(22kmcEckmcEc上式给出了上式给出了, 之间的关

4、系，详细表达式还未确定之间的关系，详细表达式还未确定.可得：可得： 7 j)(i 0,jipj角动量和动量分量不对易角动量和动量分量不对易 所以所以j, p不能有共同的本征态，不能有共同的本征态，p的本征态不是的本征态不是j的本征的本征态。不能把态。不能把j 的分量包含在的分量包含在H, P这个守恒量的完选集这个守恒量的完选集中。但是，对自在电子，存在内禀角动量中。但是，对自在电子，存在内禀角动量 . 00 或或 z)y,x,(i 00 iii0,2mcpcpHpp所以所以守恒。守恒。对自在电子，对自在电子，H,P为守恒量，为守恒量，l,s不是守恒量，不是守恒量，但但j=l+s是守恒量是守恒量

5、 pppp所以所以和和H, P都对易，都对易，H, P的本征态也是的本征态也是的本征态的本征态. 因此，可选因此，可选 ，H, P为为一组守恒量的完选集。即一组守恒量的完选集。即H, P的本征态的本征态u(p)同时也是同时也是的本征态：的本征态：uup)(8利用关系：利用关系：)()(BAiBABA2222)(kpp0,ppp, kkk,所以所以的本征值的本征值采用采用Pauli-Dirac表象表象 00 p,下面，经过求解下面，经过求解满足的本征值方程，求出满足的本征值方程，求出。 00 ppp 00 )(pu代入代入8式式uup)( 8pp 00 ,k以上两式在方式上一样，阐明以上两式在方

6、式上一样，阐明都是都是 的本征态，的本征态， 二者之间最多相差一个系数。二者之间最多相差一个系数。方程方程9的解：的解： zyxyxzzzyyxxzzyyxxkikkkkkkkikkkkkkkk- i - - 00 0 i - 00 0令令21uu方程方程9满足：满足：2121- i - uuuukikkkkkzyxyxz)()(22kmcEckmcEc化简：化简：0- i - -21uukikkkkkzyxyxz-)i -(21zyxyxzkkkikkkuu 2121- i - uuuukikkkkkzyxyxz-)i -(21zyxyxzkkkikkkuu, kkkkkkikkkkuuzy

7、xyxz-)i -(21kkkkkikkkkuuzyxyxz)i -(21 yxzikkukku21,21uu21uu可令可令或或求出以后，求出以后，可求。可求。zyxkkuikku21,kkkkkikkkkuuzyxyxz-)i -(21kkkkkikkkkuuzyxyxz)i -(2121uu求出以后，求出以后，)(pu)(,)(),(EtrpiEpeputr根据根据7式式可求出可求出满足的波函数满足的波函数自在电子的平面波解：自在电子的平面波解：kpkkEE,对于给定的动量对于给定的动量)()(22kmcEckmcEc 7 ，分别对应，分别对应4个本征态，分别讨论：个本征态，分别讨论：可

8、求可求114电磁场中电子的电磁场中电子的Dirac方程与方程与非相对论极限非相对论极限 mcc2pHti 0 0 I 00 I利用利用Pauli-Dirac表象表象：电磁场中电子的：电磁场中电子的Dirac方程：方程：1自在电子的自在电子的Dirac方程方程:AtiEetiEipAcepp , ,),(A0 mc)(c2Acepeti电磁场的矢势电磁场的矢势电磁场的标势电磁场的标势电子在电磁势中运动的中运动的Dirac方程：方程： 3作替代：作替代：2Hti mc)(c2eAcepH或或 设电子带电设电子带电-e，在电磁势，在电磁势),(A中运动，中运动，),(A电子在电磁势中运动的中运动的D

9、irac方程：方程：Hti mc)(c2eAcepH mcc2pHti自在电子的自在电子的Dirac方程方程:),(AEtiertr)(),()(r)()( mc)(c )(2rEreAceprH假设假设与时间无关，那么与时间无关，那么存在定态解，方式为存在定态解，方式为 5满足能量本征方程：满足能量本征方程：6E-电子的能量本征值电子的能量本征值 下面，讨论下面，讨论6式的非相对论极限。式的非相对论极限。0 mc)(c2Acepeti电子在电磁势中运动的中运动的Dirac方程的解：方程的解： ),(Atmcie2) mc)(c (2eAcepti 0 0 I 00 I代入代入4式，得到式，得

10、到满足的方程：满足的方程： (4)利用利用Pauli-Dirac表象表象 7,二：非相对论极限与电子磁矩二：非相对论极限与电子磁矩 将将Dirac方程中的波函数写成双分量方式，令方程中的波函数写成双分量方式，令tmcitmcieHeti22I 00 mc 0 )()( 0 mc)(c22IeAcepAcepceAcepH代入代入4式，得到：式，得到： (8) 0 0 I 00 I利用利用Pauli-Dirac表象表象 (4)tmcitmcieHeti22t (8)|2mce先讨论先讨论(8b)式，在非相对论极限下，动能远小于静能式，在非相对论极限下，动能远小于静能，库仑能量也远小于静能，即：，

11、库仑能量也远小于静能，即：所以可以略去不含光速所以可以略去不含光速c的项。的项。t eAcepcxi)( (8a) (8b)t 22)(mceAcepcxit |2mcxit )(21Acepmc略去不含光速略去不含光速c的项：的项：阐明：在非相对论极限下，四旋量中的中的分量远小于分量远小于9式代入式代入8a式，式， 9分量。分量。 (8a) (8b) 1022)(mceAcepcxit eAcepcxi)(t eAcepmxi2)(21t )()(BAiBABABceAcepAceAceppAApceiAcepAcepAcepiAcepAcepAcepAcep22222)()()()()()

12、()()()(利用关系：利用关系： 1011eAcepmxi2)(21t 方程方程10化简为：化简为： Pauli方程 12 10BceAcepAcep22)()(eAcepmxi2)(21t 2)(212eBmceAcepmxit BBmce2mceB2令：令： 电子内禀磁矩电子内禀磁矩电子内禀磁矩的值: Bohr磁子磁子那么：那么：Pauli方程方程电子内禀磁矩与外磁场的相互作用能电子内禀磁矩与外磁场的相互作用能2)(212eBmceAcepmxit 两个自在度。由此可见，两个自在度。由此可见，Dirac方程是非相对论量子力方程是非相对论量子力学中泡利方程的推行。因此，它和学中泡利方程的推

13、行。因此，它和Pauli方程一样，都方程一样，都是描画自旋为是描画自旋为1/2的粒子的运动，而且自旋这一自在度，的粒子的运动，而且自旋这一自在度，无论是在相对论量子力学中还是在非相对论量子力学无论是在相对论量子力学中还是在非相对论量子力学中，都同样存在。电子磁矩的丈量值中，都同样存在。电子磁矩的丈量值:B00116. 1方程方程12叫做叫做Pauli方程。方程。的两个分量描写自旋的的两个分量描写自旋的 122)(212eBmceAcepmxit 三：中心力场下的非相对论极限三：中心力场下的非相对论极限 自旋轨道耦合自旋轨道耦合)(r)()(rerV思索电子在中心力场中运动，例如电子在原子核的思

14、索电子在中心力场中运动，例如电子在原子核的Coulomb引力场引力场中运动，中心力场中运动，中心力场 1ErVH)(ErVp)( mcc 2EE mc2为了便于过渡到非相对论情况，令为了便于过渡到非相对论情况，令2(3) 4ErVp)( mcc 2EE mc2 0 0 I 00 I)()c(rVEp 利用利用Pauli-Dirac表象表象 5 6(3) 4)()( mc2)(1)(212rVEprVEpm由由6式，得：式，得：代入5式，得到满足的方程：满足的方程： 8 7 6 5)()c(rVEp)()( mc2)(1)(212rVEprVEpm 8利用关系：利用关系：2)()(pppippp

15、p)()( )()(cm41cm4p-p21222222rVEprVpEm9)()( )()(cm41cm4p-p21222222rVEprVpEm9)(),()(),(rViprVprV)()()()( )(rVirVpprVdrrdVrlVrdrrdVrVpdrrdVrrpiVipVirVprVpirVpirVprVpirVpprVp)(1)()()()()()()()()( )()()()()( )()(2222222102)()(pppipppp)()( )()(cm41cm4p-p21222222rVEprVpEm0)()()(1cm41)-(Vcm4p-V2p222222222rd

16、rrdVVldrrdVrEEm10代入代入9式，得到：式，得到：91110式中第二项、第三项都是相对论修正项，略去式中第二项、第三项都是相对论修正项，略去高级修正项，得到：高级修正项，得到：0)()()(1cm41)-(Vcm4p-V2p222222222rdrrdVVldrrdVrEEmmVE2p)(21111式改写为：式改写为：ErdrrdVVlSdrrdVrm)(cm4)()(1cm21cm8p-V2p2222222342 (12)ErdrrdVVlSdrrdVrm)(cm4)()(1cm21cm8p-V2p2222222342)()(1cm2122lSdrrdVrdrrdVrr)(1c

17、m21)(22)()()(1cm2122lSrlSdrrdVr (12) 自旋轨道耦合项自旋轨道耦合项Thomas效应效应令令那么自旋轨道耦合项：那么自旋轨道耦合项：234cm8p-动能的相对论修正动能的相对论修正),(),(),(,)(21pmc)4,()2( ,(),(2222cmpmcp)41 ( ,(),(),(),(222cmp下面，求非相对论近似下的波函数下面，求非相对论近似下的波函数条件：在非相对论极限下，总概率守恒波函数规一化坚持不变条件：在非相对论极限下，总概率守恒波函数规一化坚持不变的关系：的关系：)81 (222cmp)81 (222cmp或或 13)81 (222cmp

18、ErdrrdVVldrrdVrm)(cm4)()(1cm4pc8mV-Ecmp)16181(-V2p22222222222342 代入代入12式式: 1314ErdrrdVVlSdrrdVrm)(cm4)()(1cm21cm8p-V2p2222222342 (12)满足的方程：满足的方程：略去高阶项，得到略去高阶项，得到ErdrrdVVldrrdVrm)(cm4)()(1cm4pc8mV-Ecmp)16181(-V2p22222222222342rdrdVVVpipVipVpppVpV22222, 利用关系利用关系14rdrdVVVpVp22222215rdrdVVVpVp222222Erdr

19、rdVVldrrdVrm)(cm4)()(1cm4pc8mV-Ecmp)16181(-V2p22222222222342234222c16mpV)-E(c8mp 代入代入14式，式， 利用利用151414式化为：式化为：EVlSdrrdVrmcm8)()(1cm21c8mp-V2p2222222342rZerV2)(rZedrrdVrr22222cm2)(1cm21)(在中心力场在中心力场V(r)中运动的粒子的中运动的粒子的Dirac方程的非相方程的非相对论极限。对论极限。对类氢原子：对类氢原子：EVlSdrrdVrmcm8)()(1cm21c8mp-V2p2222222342115氢原子光谱的精细构造氢原子光谱的精细构造:中心力场中电子的守恒量中心力场中电子的守恒量1.相对论情况相对论情况在中心力场在中心力场Vr 中运动的粒子，不思索自旋轨道中运动的粒子，不思索自旋轨道耦合，耦合，Hamiliton量为：量为：0,Hlnlm守恒量：守恒量：所以轨道角动量l为守恒量，l2也为守恒量。可取(H,l2,lz)为守恒量完选集，共同本征态)(