数学物理方程数学建模和基本原理介绍

1、第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍第第1 1章章 数学建模和基本原理介绍数学建模和基本原理介绍1 牛顿牛顿重点1 1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法；、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法；2 2、系统的边界条件和初始条件的写法。、系统的边界条件和初始条件的写法。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍引言引言 1. 1.什么是数学物理方程？什么是数学物理方程？ 数学物理方程是一门应用广泛数学物理方程是一门应用广泛的基础课程的基础课程. .数学物理方程一般是指自数学物理方程一般是指自然科学或工程技术中的某些物理问题导然科学或工程技术中

2、的某些物理问题导出的常微分方程、偏微分方程和积分方出的常微分方程、偏微分方程和积分方程程. .第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍常微分方程：常微分方程：联系自变量、未知函数以及未知函数导数的关系式： F(x,y,y (1),y(n)=0 (n 阶常微分方程）其中 x-自变量，y=y(x)-未知函数,一元函数. 若这种关系式多于一个，则称为常微分方程组，以含两个未知函数y(x)， z(x)为例:第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍偏微分方程：偏微分方程：联系自变量、未知函数以及未知函数偏导数的关系式：0 xu,xxu,xu,xu,xu,xuu

3、,x,x,xF2n2ji2212n21n21 0,0,nnzzzxGyy,y,xF其中 x1, x2, xn ,-自变量，u=u(x1 ,x2 ,xn)-未知函数,多元函数.第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 2. 2. 数学物理方程的发展概况数学物理方程的发展概况 在物理、力学、化学、电学、及其它自然科学和工程技术中，经常提出大量的偏微分方程问题.如，在水坝的温度应力分析中需要研究热传导方程；在电磁现象研究中，会遇到Maxwell方程；而在大型水利工程中必须研究河渠不稳定流动的Saint-Venant方程等. 数学物理方程数学物理方程主要是以具有物理背景的主要是以

4、具有物理背景的偏微分方程（组）作为主要研究对象的一门学科，它具有悠久的历史.17世纪工业生产的高度发展，促进了力学、天文学和物理学的相应发展，这就要求数学工具的革新，于是微积分产生了.此后不久，从工程技术以及力学、天文学和物理学方面的相继提出许多微分方程问题，逐渐形成了数学物理方程这一学科数学物理方程这一学科. .第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 早在早在18世纪初（世纪初（1715年），年），Taylor研究了弦线振研究了弦线振动的规律，用动的规律，用u(x,t)表示弦上表示弦上x处，在时刻处，在时刻t的位移，的位移，他归结为一个非常著名的偏微分方程：他归结为一

5、个非常著名的偏微分方程：22222xuatu弦振动方程弦振动方程 Bernoulli(贝努利）把上面方程的解表示为级数形式：xlantlanBtlanAtxunnnsinsincos,1 Fourier采用分离变量法把上面函数分解为u(x,t)=X(x)T(t)把偏微分方程归结为常微分方程偏微分方程归结为常微分方程的特征值问题，把这种方法称为的特征值问题，把这种方法称为Fourier方法.第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 随后，Euler, Lagrange(拉格朗日）研究了流体力学. Laplace 研究了势函数以及Fourier研究热的传播等等自然现象的基本规

6、律，都归结出了典型的偏微分方程. 如在流体力学中0vdivt - 连续性方程tzyx, 流体的密度tzyxv, 流体的速度第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 若流体是定常（与时间无关）的、不可压缩的（ 为常数），则上述连续性方程就变为 0vdiv 若流体场是一个有势场，即存在一个标量函数 u(x, y, z) 使得00222222zuyuxuudivgraduugradv即调和方程或Laplace方程第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 典型方程的推导典型方程的推导 任何物质的运动都受到一定的自然规律（如任何物质的运动都受到一定的自然规律（

7、如物理定律）的制约物理定律）的制约. .我们常见的一些数学物理方我们常见的一些数学物理方程，它们作为描述这些物质运动的数学模型，是程，它们作为描述这些物质运动的数学模型，是从数量形式上刻划了由相应的物理定律所确定的从数量形式上刻划了由相应的物理定律所确定的某些物理量之间的制约关系某些物理量之间的制约关系. . 与建立数学物理方程关系最密切的物理定律与建立数学物理方程关系最密切的物理定律大致可以归结为两大类：大致可以归结为两大类： （1 1）守恒律）守恒律 （2 2） 变分原理变分原理当然为了使方程（组）成为封闭的，往往还需要当然为了使方程（组）成为封闭的，往往还需要其他实验定律，如其他实验定律

8、，如 Fourier热传导定律热传导定律、状态方状态方程等程等, ,第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍数学物理思想数学物理思想 数学物理方程（简称数学物理方程（简称数理方程数理方程）是指从物理）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程数方程，主要指偏微分方程和积分方程 数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了十分广泛，它深刻地描绘了自然界中自然界中的许多的许多物理物理现象现象和和普遍规律普遍规律. .第一章第一章 数学建

9、模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍声振动是研究声源与声波声振动是研究声源与声波场之间的关系场之间的关系热传导是研究热源与温度热传导是研究热源与温度场之间的关系场之间的关系泊松泊松（S. D. Poisson S. D. Poisson 1781178118401840，法国数学家）法国数学家）方程表示的是电势（或电场）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系和电荷分布之间的关系定解定解问题问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系是场和产生这种场的源之间的关系第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学

10、建模及其基本原理介绍多数为二多数为二阶线性偏阶线性偏微分方程微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导问题和扩散问题满足热传导方程热传导方程静电场和引力势满足静电场和引力势满足拉普拉斯方程或拉普拉斯方程或泊松方程泊松方程一、数学物理方程-泛定方程泛定方程: :物理规律的数学表示物理规律的数学表示 物理规律物理规律 物理量物理量u 在空间和时间中的变在空间和时间中的变化规律，即物理量化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。之间的联系。数学语言翻译泛定方程反映的是同一类物理

11、现象的共性，和具体条泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。件无关。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程双曲型方程波动方程为代表波动方程为代表抛物型方程抛物型方程扩散方程为代表扩散方程为代表椭圆型方程椭圆型方程泊松方程为代表泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程退化为拉普拉斯方程2( , )ttxxua uf x t2 uauFt2 auF0F0 u第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍14二、边界问题-边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件三、

12、历史问题-初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。定解问题的完整提法定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量给定的区域里解出某个物理量u，即求即求u(x,y,z,t)。：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。特

13、殊性，即个性。：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍15具体的问题的求解的一般过程：具体的问题的求解的一般过程：1 1、根据系统的内在规律列出泛定方程、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律客观规律2 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件初始条件求解所必须用的求解所必须用的3 3、求解方法、求解方法 行波法、分离变量法、等行波法、分离变量法、等分离变量法分离变量法偏微分方程偏微

14、分方程标准的常微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特标准解，即为各类特殊函数殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法三类数学物理方程的一种最常用解法第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍1.1 1.1 数学模型的建立数学模型的建立16建模步骤：建模步骤：1 1、明确要研究的物理量是什么？、明确要研究的物理量是什么？ 从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用。分与它的相互作用。2 2、研究物理量遵循哪些物理规律？、研究物理量遵循哪些物理规律？3 3、按物理定律写出数理方程（泛定方程）。、按物理定律写出数理方程（泛定

15、方程）。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍17波动方程的导出（一）均匀弦横振动方程和定解条件（一）均匀弦横振动方程和定解条件 演奏弦乐器（例如二胡，提琴）的人用弓做弦上来回拉动，演奏弦乐器（例如二胡，提琴）的人用弓做弦上来回拉动，弓所接触的只是弦很小的一段，似乎应该只引起这个小段的振动，弓所接触的只是弦很小的一段，似乎应该只引起这个小段的振动，实际上振动总是传播到整根弦，弦的各处都振动起来。实际上振动总是传播到整根弦，弦的各处都振动起来。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍弦的横振动弦的横振动 设：均匀柔软的细弦沿设：均匀柔软的细弦沿x轴绷

16、紧，在平衡位置附轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动近产生振幅极小的横振动 u(x,t): 坐标为坐标为x 的点在的点在t时刻沿时刻沿垂线方向垂线方向的位移的位移 求：细弦上各点的振动规律求：细弦上各点的振动规律 以弦线所处的平衡位置为以弦线所处的平衡位置为x轴，垂直于弦线且通过轴，垂直于弦线且通过弦线的一个端点的直线为弦线的一个端点的直线为u轴建立坐标系。轴建立坐标系。18第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 选取不包括端点的一微元选取不包括端点的一微元(x, x+dx), 弦长弦长dx ，研究对象研究对象: (4) (4)设设 为作用在弦线上且垂直于平衡为作

17、用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫力密度位置的强迫力密度（N/mN/m）. .0( , )fx t简化假设：简化假设： (1) (1)弦是柔软的弦是柔软的 ( (不抵抗弯曲不抵抗弯曲),),张力沿弦的切线方向张力沿弦的切线方向 (2) (2)振幅极小振幅极小, , 张力与水平方向的夹角张力与水平方向的夹角 1 1和和 2 2 很小，很小，仅考虑仅考虑 1 1和和 2 2的一阶小量，略去二阶小量的一阶小量，略去二阶小量 (3) (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。弦的重量与张力相比很小，可以忽略。质量线密度质量线密度 ，u(x)u+ uu0 1 T2T1xx+ xF3第一章第一章 数学建模及其

18、基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍2012123uuFTTFFF在在 轴轴方方向向的的分分量量在在 轴轴方方向向的的分分量量强强迫迫外外力力F为该段弦线所受垂直于平衡位置的合力，即为该段弦线所受垂直于平衡位置的合力，即u轴方向的合外力，则轴方向的合外力，则设设 为为u轴正向的单位向量，则有轴正向的单位向量，则有ui 11111111cos(,)cos()sin2uuFTiTT iTT 22222222cos(,)cos()sin2uuFTiTT iTT 将所取小段弦线近似视为质点，由牛顿第二定律将所取小段弦线近似视为质点，由牛顿第二定律 F=ma 横向运动受力为横向运动受力为 1122cos

19、cos0TT 30( , )Ffx txu(x)u+ uu0 1 T2T1xx+ xBF3第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍弦的原长：弦的原长：sx 振动拉伸后：振动拉伸后：sxuxx22()()d u(x)u+ uu0 1 2T2T1xx+ xBF3弦长弦长dx ，质量线密度质量线密度 ，B段段的质量为的质量为m= dx第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍沿沿x- -方向，不出现平移方向，不出现平移2211coscos0TT沿垂直于沿垂直于x x- -轴方向轴方向22110sinsin( , )()ttTTf x txx u 1 21 2

20、0, cos1.，11sintanxxxuux 22sintanxxxu受力分析和牛顿运动定律：受力分析和牛顿运动定律：22在微小振动近似下：在微小振动近似下：由由（1）式，弦中各点的张力相等式，弦中各点的张力相等u(x)u+ uu0 1 2T2T1xx+ xBF21TTT（1 1）（2 2）第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍00( , )( , ),0 xx dxxxxxttuuTfx tTufx tuxx 2/aT 波动方程：波动方程：波速波速a0( , )( , )/f x tfx t 0( , )()xx dxxxttT uufx txx u （）受迫振动方

21、程受迫振动方程一维波动方程一维波动方程2( , )ttxxua uf x t23单位质量所受单位质量所受外力，力密度外力，力密度令令22ttd ufmmudt牛顿运动定律：牛顿运动定律： 方程刻划了柔软均匀细小微小横振动时所服从的一般规律即方程刻划了柔软均匀细小微小横振动时所服从的一般规律即局部等量关系，称为局部等量关系，称为vibrating string equation.vibrating string equation.第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍2422222uuaFgtx一维波动方程一维波动方程-非齐次方程非齐次方程22222uuatx-齐次方程齐

22、次方程忽略重力和外力作用：忽略重力和外力作用：如考虑弦的重量：如考虑弦的重量：u(x)u+ uu0 1 2T2T1xx+ xBFgdx沿沿x- -方向，不出现平移方向，不出现平移2211coscos0TT沿垂直于沿垂直于x x- -轴方向轴方向ttTTF x t dxgdxdx u2211sinsin( , )() （1 1）（2 2）类似讨论类似讨论第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 定解条件定解条件常微分方程定解问题回顾常微分方程定解问题回顾 常微分方程求解就是积分。常微分方程求解就是积分。积分过程会出现积分常积分过程会出现积分常数。数。常微分方程定解问题就是确

23、定积分常数常微分方程定解问题就是确定积分常数。 利用在自变量取一个特定值时的值，如初值利用在自变量取一个特定值时的值，如初值u(t=0)确定积分常数。确定积分常数。积分一次，出现一个积分常数；求解二积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数。阶常微分方程出现两个积分常数。数学物理方程的定解问题数学物理方程的定解问题),(tzyxu要求给定：要求给定：初始条件和边界条件初始条件和边界条件25第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍26初始条件：分为初始位移和初始速度。即弦线在初始时刻初始条件：分为初始位移和初始速度。即弦线在初始时刻t=0时位移和速度时位

24、移和速度( ,0)( ),( ,0)( ),0tu xxu xxxl这里 和 为已知函数. ( ) x( ) x边界条件边界条件：一般来说有三种 （1）端点位置变化已知的情况：12(0, )( ),( , )( ),0utg tu l tg tt特别 ，称弦线具有固定端。12( )( )0gtgt （2）端点位置受到变化已知垂直于弦线的外力的情况：0102(0, )( ),( , )( ),0 xxT utg tT u l tg tt其中， 为小弦线左（右）端处张力 在u轴方向的分量。当 时候，称为弦线具有自由端。00(0, )( , )xxT utT ul t12()TT12( )( )0g

25、tgt （3）端点位置与弹性物体相连情况：弦线两端分别连接在弹性系数为k1 (0) ，k2 (0)的两个弹簧上，弹簧的长度分别为l1 ，l2 。这两个弹簧的另一端还分别连接在由函数Q1 (t) ， Q2 (t)所表示的位置上。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍27这时弹簧下端也在不断运动。这时弹簧下端也在不断运动。 x=0端，在时刻端，在时刻t，弹簧实际的伸缩量为，弹簧实际的伸缩量为 。由。由Hooke定律该处的弹力为定律该处的弹力为 。取区间取区间 ，与建立弦振动方程完全相同的，与建立弦振动方程完全相同的方法有方法有0,x111( (0, )( )kutQtl11

26、(0, )( )utQtl01110(, )( (0, )( ),0 xttT ux tkutQtlfxxut令令 可得可得0 x0111(0, )( (0, )( )0,0 xT utkutQtlt11(0, )(0, )( ),0 xututgtt即即类似可得类似可得x=l端边界条件为端边界条件为22( , )( , )( ),0 xul tu l tgtt因此，在具有弹性支撑的边界，弦线的边界条件因此，在具有弹性支撑的边界，弦线的边界条件第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍281222(0, )(0, )( ),0( , )( , )( ),0 xxututgt

27、tul tu l tgtt 初始条件和边界条件通常称为定解条件。一个微分方程连同它相应的初始条件和边界条件通常称为定解条件。一个微分方程连同它相应的定解条件组成一个定解问题。当考虑的弦线比较长时，可以认为弦长为定解条件组成一个定解问题。当考虑的弦线比较长时，可以认为弦长为无穷大。这时定解条件中就没有边界条件而是只有初始条件，这也是一无穷大。这时定解条件中就没有边界条件而是只有初始条件，这也是一个定解问题。以下两个问题个定解问题。以下两个问题212( , ), 0,0(0(1), )( ),( , )( ),0( , 0)( ),( , 0)( ), 0ttxxtua ufx txl tutgt

28、u l tgttu xxuxxxl2( , ),0( ,0)( ),( ,0)( ),2)ttxxtua ufx txtu xxuxxx 都是弦振动方程的定解问题。（都是弦振动方程的定解问题。（1）既有初始条件又有边界条件，一般称）既有初始条件又有边界条件，一般称为混合问题的弦振动方程。（为混合问题的弦振动方程。（2）只有初始条件，一般称为初值问题）只有初始条件，一般称为初值问题（Cauchy问题）。问题）。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍2()( , , )ttxxyyua uuf x y t注注1 1 均匀薄膜的振动或声波空气中的传播，类似弦振动方均匀薄膜的振

29、动或声波空气中的传播，类似弦振动方 程推导过程可以得出。膜振动方程为程推导过程可以得出。膜振动方程为声波在空气中传播满足的方程声波在空气中传播满足的方程2()( , , , )ttxxyyzzua uuuf x y z t这些方程统称为波动方程这些方程统称为波动方程(wave equation)。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本

30、原理介绍,0( ,0)(),cxxhhu xclxhxllh11sintanch2221sintan,coscos1,cdsdxlh第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍011220sinsinFTT11220coscos,TT122cos,TTT 0ccFTThlh0()F h lhCTl000000(),( , )(),F lhxxhT lu xF hlxhxlT l00( , ).tu x第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍（二）热传导方程和定解条件（二）热传导方程和定解条件1.内部有热源，与周围介质有热交换；2.均匀，各向同性导热体热传

31、导现象热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热量从高温处流向低温处。热场MSSGn热量Q2(t2)-Q1(t1)=W+通过边界流入的热量2.Fourier热定律3.某个区域热量Q=mcu.( , , )qk x y zu r第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍30( , )(/),c(/),( , , )(/)( , , )()( , ),=x y zkgmJkg Kfx y z tJkg su x y z tKx y zr2导热体区域为，边界为，导热体密度为比热容为热源强度为，表示导热体在时

32、刻t，(x,y,z)处温度，k(x,y,z)导热体内导热系数q(J/ms)导热体内热流量由于导热体均匀，各向同性，所以有k(x,y,z) k为正常数。推导过程11111121111011121,GuQ( , , )Q( , , )W( , , ).GGvcu x y z tvcu x y z tf x y z tv ttvGttt 122112 任取一点(x,y ,z),其充分小邻域的边界。在充分小时间段t,t 上，可看温度 为常数，因而有 其中，t,t ,为区域 的体积，第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍FSdFFSdFSdFSddSeFSdFSSndSeFSdF

33、SSn第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍GG=()Gqqn ds tnn rrrrr通过边界的的流入量跟热流量 有关，利用通量及计算公式可得 这里 为的单位外法线向量， 表示计算通过边界的流入量。 VSS=FdVF dSF ndsvvvvr乙GG222222()(, )=,(,).GGxxyyzzqn ds tk u nds tkudv tkudv tk u xyztv tu uuuxyzG 这里 rrr乙第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍111211110111222 Q( , ),Q( , ),W( , ),(, )vcu x y z

34、 tvcu x y z tfx y z tv tk u xyztv t 21由已知 W21及 热 力 学 第 二 定 律 积 分 形 式 QQ111222201111020( , )(, )( , )00( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )/tttcu x y z tv tk u xyztv tfx y z tv tv tvtcu x y z tk u x y z tfx y z tu x y z tau x y z tfx y z tc 和微分中值定理可得 两边除以，并令，可得 即 简写为 2200,/ .tuaufka

35、ffcc 其中 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍注1 一维和二维的热传导方程形式分别为22()txxtxxyyua ufua uuf分别为均匀细杆和薄板的温度分别情况下的热传导方程。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍注2 热传导方程不仅仅是表述热传导现象的，自然界中很多现象可用其刻划，如分子扩散，病毒传播，流行病的传染，商品的流通等0( , , ,0)tu x y z导热体内时刻的温度分布情况，即 (x,y,z),(x,y,z) =0,)|ugukgnr通常为三类(记) (1)已知边界上的温度分布，即 (x,y,z,t) (2)已知边界

36、上的热流量，即 (x,y,z,t)g0表示热量流入，g0表示热量流入,g=0表示在边界绝热。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍211111112122( , , , )(0)() ,|,t tx y z tkkk uu nnGncudv 112 (1)边界与周围介质有热交换情况，推导过程和热传导方程推导过程一样。设u为处介质的温度， 为两种介质之间的热交换系数。根据热传导的另一定律，q其中 为的单位外法向量。 任取一充分小的区域G，边界为上的单位法向量。在G上， 有 Qrrrr21110|,tt ttGGGcudvWdtf dvQ。22112211221112112

37、0()()()()(|)ttttttttttttttGGd tnd sd tnd skd tuud sd tnd sc uud vd tf d vk 12121而分 为 两 部 分 ， 一 部 分 来 自 内 部 ， 一 部 分 由 周 围 介 质 交 换 得 到 ， 所 以 q+ q + q由 热 力 学 第 二 定 律 得 到 rrrrrr22112222111111201120112()()()()()()ttttttttttttGGGGd tuud sd tnd sud tcd vd tf d vkd tuud sd tnd stucd vf d vkuud snd st1212121

38、2+ q即 + q,t , t 任 意 ， 可 得 + qrrrrrr第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍011221011111u()-V0,0u()0,u()GGGGGucdvf dvkuudsdstnunnncdvf dvtk uukdsnk uukn 12121 + k令，此时，且即，所以 由的任意性可得 =0,简写成 rrrrrr11u,( , , ),( )0,.( )kugx y z tnkguk 其中式为热传导方程的第三类边界条件。 r第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量做边界上的数值

39、； 第二类边界条件，规定了所研究物理量在边界外法线方向上的方向导数的数值； 第三类边界条件，规定了所研究物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍,; ,; ,x xdx y ydy z zdz |xxxx dxqKuKu t |,xxq s tKudydz t |,cxx dxq s tKudydz t1 (| )(),xx dxxxuQK uudydz tKdxdydz txx2(),uQKdydxdz tyy第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍3(),uQKdzdydx tzz123,QQQQ (

40、)()(),uuuC dudxdydzKKKdxdydzdtxxyyzz 22()()(). .,tuuuuCKKKtxxyyzzi eKuau aC 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍练习1，解答 练习2第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍泊松方程或拉普拉斯方程泊松方程或拉普拉斯方程静电场的电势方程静电场的电势方程 直角坐标系中泊松方程泊松方程为 0若空间若空间无电荷，即电荷密度无电荷，即电荷密度，上式成为，上式成为 称这个方程为拉普拉斯方程拉普拉斯方程. 电势电势V (x,y,z)确定所要研究的物理量：确定所要研究的物理量：根据由物理规

41、律电场、电势和电荷密度间有如下规律：根据由物理规律电场、电势和电荷密度间有如下规律：VE/ E()EV /V 0V建立泛定方程：建立泛定方程：V V 泊松方程泊松方程 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍1.2 1.2 定解问题的适定性定解问题的适定性常微分方程定解问题回顾常微分方程定解问题回顾 常微分方程求解就是积分。常微分方程求解就是积分。积分过程会出现积分常积分过程会出现积分常数。数。常微分方程定解问题就是确定积分常数常微分方程定解问题就是确定积分常数。 利用在自变量取一个特定值时的值，如初值利用在自变量取一个特定值时的值，如初值u(t=0)确定积分常数。确定积

42、分常数。积分一次，出现一个积分常数；求解二积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数。阶常微分方程出现两个积分常数。数学物理方程的定解问题数学物理方程的定解问题),(tzyxu要求给定：要求给定：初始条件和边界条件初始条件和边界条件50第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍初始时刻的温度分布：初始时刻的温度分布：B B、热传导方程的初始条件、热传导方程的初始条件0(, )|()tu M tMC C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件不含初始条件，只含边界条件A A、 波动方程的初始条件波动方程

43、的初始条件00|( )( )ttuxuxt描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初位移系统各点的初速度系统各点的初速度（一）（一） 初始条件初始条件第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍和和 是空间坐标的函数是空间坐标的函数( , , )x y z ( , , )x y z 例：例：02 0222 , ( , )() , thlxxlu x thllxxll52注意注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是一点处的情况。而不是一点处的情况。一一根长为根长为l的弦，两端固定于的弦，两端固定于0

44、和和l。在中点位置将弦沿着横向拉在中点位置将弦沿着横向拉开距离开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 l x l/2h解：解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始速度为零，即有00( , )ttu x t初始位移初始位移第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍（二）边界条件（二）边界条件 定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。 A.A.第一类边界条件第一类边界条件直接给出系统边界上物理量的函数形式。直接给出系统边

45、界上物理量的函数形式。如：两端固定的弦振动如：两端固定的弦振动00( , )xu x t0( , )x lu x t和和位置确定位置确定53常见的线性边界条件分为三类：常见的线性边界条件分为三类：第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍细杆热传导细杆热传导0 xlx 0( , )x lu x tu或随时间变化的温度或随时间变化的温度( , )( )x lu x tf t恒温恒温B.B.第二类边界条件第二类边界条件第一类边界条件的基本形式：第一类边界条件的基本形式：000000,( , , , )(, )xyzu x y z tf xyzt边界速度确定速度确定细杆的纵振动：

46、细杆的纵振动：当端点当端点“自由自由”，即无应力。根据胡，即无应力。根据胡克定律，杆的克定律，杆的相对伸长也为零相对伸长也为零：0( , )xx lux t细杆热传导：细杆热传导：端点绝热，端点绝热，热流强度为零热流强度为零，由热传导定律：，由热传导定律：0( , )xx lux t54第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍C.C.第三类边界条件第三类边界条件位移和速度的组合位移和速度的组合细杆热传导：细杆热传导：端点端点“自由自由”冷却冷却 ( (热流正比于温差热流正比于温差) )。牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：()qh uTT 为环境温度为环境温度。nquT根据热传导

47、定律，在根据热传导定律，在 x=l 处处：()nx lx lkuh uT0 xlx 负负x方向方向nn正正x方向方向00()xxxkuh uT()xx luHuT0()xxuHuT在在x=0 处处 nnqkunxqku55第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍细杆纵振动：细杆纵振动：端点与固定点弹性连接。应力为弹性力端点与固定点弹性连接。应力为弹性力胡克定律：胡克定律：xfYSu弹性力：弹性力：fku 则在端点则在端点xkuYSu0()xx lYSuuk一般表达式：一般表达式：000000,()(, )边界xyzuuHf xyztn这些是最常见的线性边界条件，还有其它形

48、式。这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。（三）衔接条件（三）衔接条件xlx k 系统中可能出现物理性质急剧变化的点系统中可能出现物理性质急剧变化的点( (跃变点跃变点) )。如两节。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量仍某些物理量仍然可以是连续的然可以是连续的，这就构成，这就构成衔接条件衔接条件。56第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍例例ux0 x横向力横向力 作用于作用于 点。点。(

49、 )F t)(tF0 x弦在弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。的左右斜率不同，但位移的极限值相同。)0()0(00 xuxu120( )sinsinF tTT这两个等式就是衔接条件。这两个等式就是衔接条件。0 x又，横向力应与张力平衡：又，横向力应与张力平衡：即即11022000sintan(, )sintan(, )xxuxtuxt 0000(, )(, )( )xxTuxtTuxtF t 1 257第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 数学物理方程的分类数学物理方程的分类（一）线性二阶偏微分方程（一）线性二阶偏微分方程把所有自变量依次记作把所有自变量依次记

50、作x1, x2, xn，线性二阶偏微分方程可表为线性二阶偏微分方程可表为1110ijinnnijx xixjiia ub ucuf其中其中 aij, bi, c, f 只是只是 x1, x2, xn 的函数。的函数。偏微分方程，阶数，线性偏微分方程，自偏微分方程，阶数，线性偏微分方程，自由项，齐次方程，非齐次方程由项，齐次方程，非齐次方程58第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 微分方程的解微分方程的解 。 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍

51、数学建模及其基本原理介绍 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 1.3 叠加原理叠加原理 1.3.1 叠加原理 叠加原理;superposition principle 在数学物理中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果，等于这些不同原因单独产生效果的累加。例如，物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度，等于各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的总和，这个原理称为叠加原理。叠加原理适用范围非常广泛，数学上线性方程，线性问题的研究，经常使用叠加原理。 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍

52、数学建模及其基本原理介绍第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍111222122(1)xxxyyyxya ua ua ubub ucuf111222122xxxyyyxyua ua ua ubub ucuf22211122212222(2)aaabbcxx yyxy , 12( , ),( , )u x y u x y12, ,u u1212(3)uuuu第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍222222222222(4)(5)(6)atxxyatx 波算子拉普拉斯算子热算子(1)iin ( , )(1)if x yin 1ni iiff( ,

53、)(1)iu x yin (7)iuf第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍(8)uf1ni iiuu222221112221323222331232222aaaaaxx yyx zz yabbbczxyz 12u afbf1,uf2uf12,u u12.uaubu1ni iiff第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍1i iiff1i iiuu2( , ),0,0(0, )0, ( , )0,0(9)( ,0)( ),( ,0)( ), 0ttxxtuua uf x txl tutu l ttu xx u xxxl第一章第一章 数学建模及其基本

54、原理介绍数学建模及其基本原理介绍2( , ),0,0(0, )0, ( , )0,0(10)( ,0)0,( ,0)0, 0ttxxtua uf x txl tutu l ttu xu xxl20,0,0(0, )0, ( , )0,0(11)( ,0)( ),( ,0)0, 0ttxxtua uxl tutu l ttu xx u xxl20,0,0(0, )0, ( , )0,0(12)( ,0)0,( ,0)( ), 0ttxxtua uxl tutu l ttu xu xxxl第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍123( , ),( , ), ( , )u x

55、 t u x t u x t123( , )( , )( , )u u x tu x tu x t2(,),0,0( 0 ,)0 ,( ,)0 ,0(9 )(, 0 )(),(, 0 )(),0ttx xtuuaufxtxl tutul ttuxxuxxxl20,0,0(0, )0,( , )0,0(11)(, 0)(),(, 0)0,0ttxxtua uxl tutu l ttuxxuxxl2(, ),0,0(0, )0,( , )0,0(10)(, 0)0,(, 0)0,0ttxxtua ufx txl tutu l ttu xuxxl20 ,0,0(0 , )0 ,( , )0 ,0(1

56、 2 )(, 0 )0 ,(, 0 )(),0ttx xtua uxl tutul ttuxuxxxl第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍1,iiff1( ),iix1( ),iix1, ( , )inu x t2( , ),0,0(0, )0, ( , )0,0( ,0)( ),( ,0)( ), 0ttxxiitiua uf x txl tutu l ttu xx u xxxl1( , )( , )iiu x tu x t2( , ),0,0(0, )0, ( , )0,0(9)( ,0)( ),( ,0)( ), 0ttxxtuua uf x txl tutu

57、l ttu xx u xxxl第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍212( , ),0,0(0, )( ), ( , )( ),0(13)( ,0)( ),( ,0)( ), 0ttxxtuua uf x txl tutg t u l tg ttu xx u xxxl12( ),( )gtgt( , )w x t12(0, )( ), ( , )( )wtg t wl tg t211( )( )( , )( ).g tg tw x tg txlv u w 111( , )(0, )( , ) 0( ,0)( ,0)( ,0)( )( ,0)( )( ,0)( ,0)(

58、 ,0)( )( ,0)( )ttttvuwfwf x tvtv l tv xu xw xxw xxv xu xw xxw xx第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍2sin48(14)xxyyu uuxxyx 2sinxxyyxxyyxxyyuuxuuxyuux1( , )sin ,u x yx321( , )6u x yxy431( , )12u x yx3422( , )sin33u x yxxyx2222sin48(15),xxyyu uuxxyxuxy xyR 3422( , )sin33w x yxxyx第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本

59、原理介绍v u w 2222sin48(15),xxyyu uuxxyxuxy xyR 342220(15*)22sin,33vvxyxxyx xyR 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍Duhamel2k(2)(1)0000( )()0(16)|.|0;|1kkkttttdp tudtuuuu( )( ),u tY t111( ).kkkkkp taa xaxx 1,kka a2 1., , a a第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍(2)(1)0000( )()(17)|.|0;|1kkkttttdp tufdtuuuu0( )() (

60、)tQtY tfd 00( )() ( )(0) ( )() ( )ttQ tY tfdYf tY tfd 00( )() ( )(0) ( )() ( )ttQ tY tfdYf tY tfd LL第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍( )( )0( )() ( )(11)tjjQtYtfdjk (1)(0)(0)(0) 0kQQQL( )Qt(1)0() ( )() () ( )( )(0)( )tkkkddpQtpY tff t Yf tdtdt( )Qt第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍2( , ),0,(18)( ,0)( ),(