梁的应力及强度条件

1、81 概述概述 82 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力83 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件84 梁的剪应力梁的剪应力和剪应力强度条件和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面第八章第八章 梁的应力及其强度条件梁的应力及其强度条件 纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。8 8 概述概述MxQxaaPPBA8 82 2 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）保持为直线，高度不变，相互倾斜，仍垂直于纵向线；纵向线变为弧线，凸边伸长，凹边缩短，中间有一

2、纵向线长度不变。abcd中性层中性层中中性性轴轴中中性性轴轴（一）变形几何规律：一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力abcdMM:横截面上只有正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。3:推论abcdMM2:两个概念 中性层：长度不变的纵向纤维层； 中性轴：中性层与横截面的交线；:各纵向纤维之间无挤压yxd 4. 几何方程：A(1) . yx （二）、物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。(2) . EyExx y d ddy ) 1 11111OO ABOOB A ABB A x （三）静力学关系： AAxdAEy d

3、AN 0 zAESydAE轴轴过过形形心心中中性性 )( z 0 zSMEIdAyEdAEyydAMzAAAz 22)(0 )(yzAAAyEIyzdAEdAEyzzdAM对称面(3) . 1zZEIM 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。zEI (4) . zxIM y (5) . zm a xWM （四）最大正应力：maxyI Wzz抗弯截面模量。抗弯截面模量。(3) . 1 zZEI M杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。zEI )1(32 _43max DyIWzz圆圆环环hHbB)1(6 _332maxBHbhBHyIWzz 回回字字框框dDDd 横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横截面

4、是不仅有正应力，而且有剪应力。二、 纯弯曲理论的推广zWxM)(maxhlhl 对于跨度与截面高度之比 大于5的横力弯曲梁，横截面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的精度要求。梁的跨高比 越大，误差就越小。 梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的假设不再成立。1120180302q=60 kN/m1m2m11BAkNm5 .678/3608/22max qLMkNm60)22(121xqxqLxM例 :受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率

5、半径。q L/ 8Mx解：画M图，求截面弯矩M1Mmaxyz1120180302q=60 kN/m1m2m11BA451233m10832. 5101218012012bhIz342m1048. 66bhWzMPa7 .6110832. 560605121zIyMq L/ 8Mx求应力M1MmaxyzMPa6 .921048. 66071max1zWMm4 .1941060832. 520011MEIzMPa2 .1041048. 65 .677maxmaxzWM求曲率半径1120180302q=60 kN/m1m2m11BAq L/ 8MxM1Mmaxyz8 83 3 梁的正应力强度条件梁的

6、正应力强度条件1、危险面与危险点分析：最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；M zWMmaxmax2、正应力强度条件：3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算： 强度校核强度校核: maxmaxzWM 截面设计截面设计: zzWMWMmaxmaxmax 载荷设计载荷设计: maxmaxmaxMWWMzz 号槽钢两根。查表，应选 8cm231013021098.522kNm98.5363maxmaxZZZWMWWMM 试选择槽钢型号。许用应力道上作用重物各重，用两根槽钢组成，管有一承受管道的悬臂梁例MPa130kN39. 5:335G解：弯矩图如图。75. 298. 5GGA

7、CDB300510100Q（x）+ d Q（x）M（x）M（x）+ d M（x）Q（x）d xA 图图 bh8 84 4 梁的剪应力梁的剪应力和剪应力强度条件和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力1、两点假设： 剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b；0)(11dxbNNX图图a在微段上取一块如图c，平衡zzAzAIMSydAIMdAN zzISdMMN )(1zzzzbIQSbISdxdM 1 )4(2)2(2)2(22yhbyhbyhhAyScz Q（x）+ d Q（

8、x）M（x）M（x）+ d M（x）Q（x）d xA 图图 bh图图a由剪应力互等定理由剪应力互等定理zzbIQSy 1)( Q 5.1232382max AQbhQIQhz)4(222yhIQz 矩矩 二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：2、几种常见截面的最大弯曲剪应力：工字钢截面：工字钢截面：腹板的面积腹板的面积 fmaxA ; fA Q ：圆截面：圆截面： 3434max AQ：薄壁圆环：薄壁圆环： 22max AQzzbIQS1点处的截面宽度。点处的截面宽度。为为惯性矩，惯性矩，为整个截面对中性轴的为整个截面对中性轴的的静矩，的静矩，点以外的面

9、积对中性轴点以外的面积对中性轴为为为截面剪力，为截面剪力，其中其中ybIySQzz ：槽钢：QRRtIQSzz ，合合力力为为腹腹板板上上； .;11HtIQSzZ合合力力为为翼翼缘缘上上 剪力作用线：截面上剪应力的合力作用线。如图，RHhe Qeh力。力。）可进一步简化为一合）可进一步简化为一合，与（与（HHR 三、剪应力强度条件三、剪应力强度条件1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。Q M 2、剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M

10、均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）Q M zzIbSQmaxmaxmax3、强度条件应用：依此强度准则也可进行三种强度计算：4、需要校核剪应力的几种特殊情况：腹板厚度较小的薄腹截面梁，要校核剪应力梁的跨度较短，M 较小，而 Q较大时，要校核剪应力。铆接或焊接的组合截面梁，要对铆接或焊接面校核剪应力校强度： 、 强度校核强度校核 截面设计截面设计 载荷设计载荷设计MxQx解：、画内力图求危面内力例 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7 MPa，=0. 9 MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。q= 3.6kN/mL= 3mABN54002336002max

11、qLQNm4050833600822max qLMq L/ 2-q L/ 2q L/ 8MxQx求最大应力并校核强度应力之比q= 3.6kN/mL= 3mAB7 .1632maxmaxmax hLQAWMz q L/ 2-q L/ 2q L/ 822maxmaxmax18. 012. 0405066 bhMWMz MPaMPa 725.618.012.054005.15 . 1 maxmax AQ MPaMPa9. 0375. 0四、梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比bh北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b= ) 1.5英(T.Young)于1807年著自

12、然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为., 3;, 2刚刚度度最最大大时时强强度度最最大大时时 bhbhAQm3433. 1max 3231DWz 13221.18 6)(6zzWRbhW m 5 . 1max )2/(;,41221 DaRaaD 时当2、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面。zDaaz(一) 塑性材料1、中性轴尽可能是对称轴。m 2max 143375.2 )0.8-(132zzWDW 1222167.1,4)8.0(4 DDDDD 时时当当 1121212,24 DaaD 时时当当z13124W67.1 646 abhWzm 5 . 1max 2a1a1z0.8DDz)(= 3 . 2maxfmAQ 工字形截面与框形截面类似1557.4zzWW 1222222105.1,6.18.024 DaaaD 时时当当 0.8a2a22a21.6a2z组合截面Z（三）、采用变截面梁 ，如下图：PX