特征函数和矩母函数

1、一、矩母函数一、矩母函数 矩母函数和特征函数矩母函数和特征函数 1定义定义 称称 的数学期望的数学期望 为随机变量为随机变量X的矩母函数。的矩母函数。2原点原点矩的求法矩的求法 tXe)(tXeEt 利用矩母函数可求得利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对的各阶矩，即对 逐次求导，并计算在逐次求导，并计算在 点的点的值：值： )(t0t)(tXXeEt )()tXnneXEt （)0()nnXE（3和的矩母函数和的矩母函数 定理定理1 设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量 的的矩母函数分别为矩母函数分别为 ， ， ， 则其和则其和 的矩母函数为的矩母函数为 rXXX，21)(1t)(2t)(t

2、rrXXXY21)(tY)(1t)(2t)(tr 4. 母函数母函数设设X是是非负整数值随机变量非负整数值随机变量，分布律，分布律 PX=k=pk，k=0,1, 则称则称为为X的的母函数母函数。0)()(kkkXspsEsP(1)非负整数值随机变量的分布律非负整数值随机变量的分布律pk由其母由其母函数函数P(s)唯一确定唯一确定(2)设设P(s)是是X的的母母函数，函数，若若EX存在，则存在，则EX=P (1)若若DX存在，则存在，则DX= P (1) +P (1)- - P (1)2, 2 , 1 , 0,!)0()(kkPpkk(3)独立随机变量之和的独立随机变量之和的母函数等于母函母函数

3、等于母函数之积。数之积。(4)若若X1,X2,是相互独立同分布的非负整是相互独立同分布的非负整数值随机变量，数值随机变量，N是与是与X1,X2,独立的非独立的非负整数值随机变量，则负整数值随机变量，则的的母函数母函数H(s)=G(P(s) , EY=ENEX1其中其中G(s),P(s)分别是分别是N, X1的母函数。的母函数。NkkXY1(1)，故故则则令令1 , 0!)0(!)0(, 0) 1() 1(!)(, 1 , 0,)()()(1)(100nnPppnPsspnkkkpnsPnspspspsPnnnnnknkknnnkkknkkkkkk2222211212211110)1 () 1

4、() 1 ( )() 1 ()( ) 1() 1() 1 () 1()() 1 ()()(,)(PPPEXEXPEXEXDXEXEXkppkpkkpkkPspkksPPkpXEskpsPspsPkkkkkkkkkkkkkkkkkkk (2)设离散型非负整数随机变量设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律的分布律分别为分别为PX=k=pk，PY=k=qk，k=0,1, ，则则Z=X+Y的分布律为的分布律为PZ=k=ck,其中其中 ck= p0 qk +p1qk- -1 + + pk q0 设设X,Y,Z的母函数分别为的母函数分别为PX(s), PY(s), PZ(s)，即有，即有000)()(,)

5、(kkkZkkkYkkkXscsPsqsPspsP(3)()()(0000,00sPscsqpsqpsqspsPsPZrrrrrrkkrklklklklllkkkYX (4)000000000,)(kklklkklkkklkkskYPlNPslNPkYPslNkYPslNkYPskYPsH 001001010( ) ( )( ( )lkjlkjlkjlkjlljllP NlPXk sP NlP Xk sP NlP sP NlP sG P s ) 1) 1 ( ) 1 () 1 () 1 ()1 ()() 1 (111PEXENPGPPGdsdPdPdGdssPdGHEYss注注欧拉公式： 二、

6、特征函数二、特征函数 1 .特征函数特征函数 设设X为随机变量，称复随机变量为随机变量，称复随机变量 的数学期望的数学期望itXe)(tXitXeE为为X的特征函数，其中的特征函数，其中t是实数。是实数。还可写成还可写成 )(tXsincostXiEtXEcossiniei()( )XXtit分布律为分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散的离散型随机变量型随机变量X，特征函数为特征函数为概率密度为概率密度为f(x)的连续型随机变量的连续型随机变量X，特征特征函数为函数为( )( )ditxtef xx1( )kitxkktep对于对于n维随机向量维随机向量X=(X1, X2, ,

7、Xn)，特，特征函数为征函数为121( )( , ,)expnitXnkkktt ttEeEit X(1) 。(2) 在（在（- - ， ）上一致连续。）上一致连续。(3)若随机变量若随机变量X的的n阶矩阶矩EXn存在，则存在，则 , k n 当当k=1时，时，EX = ； 当当k=2时，时，DX = 。(0)1,( )1,()( )ttt( ) t( )(0)kkki EX(1)(0)/i(2)(1)2(0)(0)/ ) i(4) 是非负定函数。是非负定函数。(5)若若X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量，则则X=X1+X2+Xn的特征函数为的特征函数为 (6)

8、随机变量的分布函数与特征函数是一一对随机变量的分布函数与特征函数是一一对应且相互唯一确定。应且相互唯一确定。( ) t12( )( )( )( )ntttt 如果随机变量如果随机变量X为连续型，且其特征函为连续型，且其特征函数绝对可积，则有数绝对可积，则有反演公式反演公式：1( )( )2itxf xet dt( )( )itxtef x dx（相差一个负号的傅立叶逆变换）（相差一个负号的傅立叶逆变换）（相差一个负号的傅立叶变换）（相差一个负号的傅立叶变换）例例1 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布，求求X的特征函数。的特征函数。解解 由于由于 所以所以 ekk

9、XPk！）（)(tXekekkitk！0！keekitk)(0iteee)1(itee麦克劳林公式例例2 设随机变量设随机变量X服从服从a，b上的均匀分布，求上的均匀分布，求X的的特征函数。特征函数。 解解 X的概率密度为的概率密度为 所以所以 其它01)(bxaabxfdxabetbaitxX1)()(abiteeitaitb 设设X服从二项分布服从二项分布B(n, p)，求，求X的特的特征函数征函数g(t)及及EX、EX2、DX。knkknqpC00( )nnknitkkkn kkitn kitnnkkg te C p qCpeqpeq X的分布律为的分布律为P(X=k)= ， q=1-p

10、，k=0,1,2,n0(0)nittdEXigipeqnpdt 22DXEXEXnpq22222202(0)nittdEXigipeqnpqn pdt 设设XN(0,1)，求，求X的特征函数。的特征函数。 221( )2xitxg te edx22221( )22xxitxitxig tixe edxe de21g( )( )0,ln( )2dgttg ttdtg ttCg 2222( ),22xxitxitxitee edxtg t 221122( ),(0)1,0( )tCtg tegCg te由得，从而设随机变量设随机变量X的特征函数为的特征函数为gX(t) ，Y=aX+b，其中其中a,

11、 b为任意实数为任意实数，证明证明Y的的特征函数特征函数gY(t)为为 。)()(atgetgXitbY()( )it aXbYgtE e()()i at Xitbitbi at XE eee E e()itbXe gat设随机变量设随机变量YN( , 2) ，求，求Y的特征的特征函数为函数为gY(t)。22)(tXetg( )()i tYXgtegtXN(0 , 1) ，X的特征函数为的特征函数为设设Y= X + ，则，则YN( , 2) ，Y的特征函数为的特征函数为2 22 222tti ti te ee 三、常见随机变量的数学期望、方差、特征三、常见随机变量的数学期望、方差、特征函数和母函数函数和母函数分布分布期望期望方差方差特征函数特征函数母函数母函数0-1分布分布ppqq + ps二项分布二项分布npnpq(q +ps