数学规划--食用油

1、食油生产问题食油生产问题 食油厂精炼两种类型的原料油食油厂精炼两种类型的原料油硬质油和软质油，并将硬质油和软质油，并将精制油混合得到一种食油产品。硬质原料油来自两个产地精制油混合得到一种食油产品。硬质原料油来自两个产地: :产产地地1 1和产地和产地2 2，而软质原料油来自另外三个产地：产地，而软质原料油来自另外三个产地：产地3 3，产地，产地4 4和产地和产地5 5。据预测，这。据预测，这5 5种原料油的价格从一至六月分别为：种原料油的价格从一至六月分别为： 表表1 原料油的价格（元原料油的价格（元/吨）吨）硬质硬质1硬质硬质2软质软质3软质软质4软质软质5一月一月1101201301101

2、15二月二月13013011090115三月三月11014013010095四月四月120110120120125五月五月100120150110105六月六月9011014080135 产品油售价为产品油售价为200200元元/ /吨。吨。 硬质油和软质油需要由不同的生产线来精炼。硬质硬质油和软质油需要由不同的生产线来精炼。硬质油生产线的每月最大处理能力为油生产线的每月最大处理能力为200200吨，软质油生产线最吨，软质油生产线最大处理能力为大处理能力为250250吨吨/ /月。五种原料油都备有贮罐，每个月。五种原料油都备有贮罐，每个贮罐的容量均为贮罐的容量均为10001000吨，每吨原料油

3、每月的存贮费用为吨，每吨原料油每月的存贮费用为5 5元。元。而各种精制油以及产品无油罐可存贮。精炼的加工而各种精制油以及产品无油罐可存贮。精炼的加工费用可略去不计。产品的销售没有任何问题。费用可略去不计。产品的销售没有任何问题。 产品食油的硬度有一定的技术要求，它取决于各种产品食油的硬度有一定的技术要求，它取决于各种原料油的硬度以及混合比例。产品食油的硬度与各种成原料油的硬度以及混合比例。产品食油的硬度与各种成份的硬度以及所占份的硬度以及所占比例成线性关系比例成线性关系。根据技术要求，产。根据技术要求，产品食油的硬度必须不小于品食油的硬度必须不小于3.03.0而不大于而不大于6.06.0。各种

4、原料油。各种原料油的硬度如下表（精制过程不会影响硬度）：的硬度如下表（精制过程不会影响硬度）： 表表2 各种原料油的硬度（无量纲）各种原料油的硬度（无量纲）硬质硬质1硬质硬质2软质软质3软质软质4软质软质58.86.12.04.25.0 假设在一月初，每种原料油都有假设在一月初，每种原料油都有500500吨存贮而要求在六月吨存贮而要求在六月底仍保持这样的贮备。底仍保持这样的贮备。 问题问题1 1：根据表根据表1 1预测的原料油价格，编制逐月各种原料预测的原料油价格，编制逐月各种原料油采购量、耗用量及库存量计划，使本年内的利润最大。油采购量、耗用量及库存量计划，使本年内的利润最大。 问题问题2：

5、考虑原料油价格上涨对利润的影响。据市场预测考虑原料油价格上涨对利润的影响。据市场预测分析，如果二月份硬质原料油价格比表分析，如果二月份硬质原料油价格比表1中的数字上涨中的数字上涨，则软质油在二月份的价格将比表则软质油在二月份的价格将比表1中的数字上涨中的数字上涨2，相应地，相应地，三月份，硬质原料油将上涨三月份，硬质原料油将上涨2，软质原料油将上涨，软质原料油将上涨4，依此类推至六月份。试分析依此类推至六月份。试分析从从1到到20的各情况下，利润将如的各情况下，利润将如何变化？何变化？ 问题问题3：在上述两个问题中，附加以下条件，求解在上述两个问题中，附加以下条件，求解新的问题：新的问题：1.

6、 每一个月所用的原料油不多于三种。每一个月所用的原料油不多于三种。2. 如果在某一个月用一种原料油，那么这种油如果在某一个月用一种原料油，那么这种油不能少于不能少于20吨。吨。3. 如果在一个月中用了硬质油如果在一个月中用了硬质油1或硬质油或硬质油2，则在这，则在这个月中就必须用软质油个月中就必须用软质油5。 设变量设变量x1, x2, x3, x4 和和x5 分别代表要采购的各种原分别代表要采购的各种原料油料油: 硬质硬质1、硬质、硬质2、软质、软质3、软质、软质4 和软质和软质5 的量的量. y 代代表应加工的产品数量表应加工的产品数量. z 为利润为利润. 则如果不允许存储原油则如果不允

7、许存储原油, 就可把一月份怎样采购和怎样配料的问题列出如下就可把一月份怎样采购和怎样配料的问题列出如下.(1) 单周期问题单周期问题123451234512345max 110120130110115 200200 250 8.86.124.2560 . . zxxxxxyxxxxxxxxxxyst 硬质原料软质原料1234512345 8.86.124.2530 0 0; 0 (1,2,6) jxxxxxyxxxxxyxyj硬度上限硬度下限连续性非负性123451234123455max 110120130110115 200200 250 8.86.124.2560 . . zxxxxxy

8、xxxxxtxxxxysx 硬质原料软质原料12345123450 8.86.124.2530 0; 0 (1,2,6) jxxxxxxxxxxyxyjy连硬度上限续性非负性硬度下限 要求产品的硬度处于上限要求产品的硬度处于上限6 和下限和下限3 之间之间. 经常出现经常出现的一个错误就是象下面那样对这些限制条件建立的模型的一个错误就是象下面那样对这些限制条件建立的模型:12345123458.86.124.2568.86.124.253xxxxxxxxxx12345123458.86.124.2568.86.124.253xxxxxxxxxx 左边两个表达式的量纲是硬度左边两个表达式的量纲是

9、硬度数量数量, , 而右边数字的而右边数字的量纲是硬度量纲是硬度. . 在上述两个不等式中所需要的变量是在上述两个不等式中所需要的变量是xi/y而而不是不是xi , , 因此因此, , 它代表配料成分之比例而不是代表绝对值它代表配料成分之比例而不是代表绝对值xi. . 当用当用xi/y取代取代xi 后后, , 最终的不等式能够很容易地重新最终的不等式能够很容易地重新将它们表示成象具有硬度上限和硬度下限约束条件一样的将它们表示成象具有硬度上限和硬度下限约束条件一样的线性形式线性形式. .最后最后, , 需要保证最终成品的重量等于各成分重需要保证最终成品的重量等于各成分重量之和量之和. . 这用最

10、后那个使重量具有连续性的约束条件来实这用最后那个使重量具有连续性的约束条件来实现现. .对其他月份的单周期问题除了代表原油成本的目标系对其他月份的单周期问题除了代表原油成本的目标系数有所不同外与一月份的类同数有所不同外与一月份的类同. .上面的约束条件有量纲上的错误上面的约束条件有量纲上的错误. .(2) 多周期问题多周期问题可把为今后的使用作储备的每月采购决策编入线性规划可把为今后的使用作储备的每月采购决策编入线性规划模型中模型中. 为此建立为此建立“多周期多周期”模型模型.起始月份起始月份(零月零月) 和最后月份和最后月份(六月六月) 其库存量是常值其库存量是常值(500).决策变量决策变

11、量 采购量采购量 消耗量消耗量 库存量库存量 111216,BBBxxx111216,UUUxxx111216,SSSxxx硬质硬质1第第(t - 1) 月库存量月库存量+ 第第t月采购量月采购量=第第t月消耗量月消耗量+ 第第t月库存月库存量量由涉及硬质由涉及硬质1 的上述关系导出下面的约束条件的上述关系导出下面的约束条件:11111111121112121313131314141414151515151616 0 0 0 0 0 500BUSSBUSSBUSSBUSSBUSSBUxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx对其他五种原油也就确定类似的约束条件对其他五种原油也就确定类似的约束

12、条件.目标函数目标函数 分离变量分离变量 y1, y2,y6 等代表各月要加工的产品的数量等代表各月要加工的产品的数量. 这些变量每一个都具有这些变量每一个都具有200 元利润元利润(或或-200 元元“成本成本”).“采购采购”变量变量 将由各月相应的原油成本给出将由各月相应的原油成本给出.库存变量库存变量 将由将由5 元成本元成本(或或-5 元元“利润利润”) 给给出出.单一的目标函数的总模型其规模单一的目标函数的总模型其规模60 个个约约束束条条件件采购变量采购变量6 5 = 30 个个消耗变量消耗变量6 5 = 30 个个库存变量库存变量5 5 = 25 个个产品变量产品变量6个个总总

13、计计91个个变变量量配料约束条件配料约束条件(与单周期同与单周期同)6 5 = 30 个个存储连接约束条件存储连接约束条件6 5 = 30 个个硬质硬质1 问题问题2：考虑原料油价格上涨对利润的影响。据市场预考虑原料油价格上涨对利润的影响。据市场预测分析，如果二月份硬质原料油价格比表测分析，如果二月份硬质原料油价格比表1中的数字上涨中的数字上涨，则软质油在二月份的价格将比表，则软质油在二月份的价格将比表1中的数字上涨中的数字上涨2，相应地，三月份，硬质原料油将上涨相应地，三月份，硬质原料油将上涨2，软质原料油将，软质原料油将上涨上涨4，依此类推至六月份。试分析，依此类推至六月份。试分析从从1到

14、到20的各情况的各情况下，利润将如何变化？下，利润将如何变化？ 最优解是怎样随未来市场价格增长而变化的最优解是怎样随未来市场价格增长而变化的灵敏度分析灵敏度分析 把把cijxij替换成替换成cij(1ai/100)xij, i=2,j=2,j=3时时.可以规定一个附加表达式可以规定一个附加表达式, 附加在目标函数上附加在目标函数上. 对该对该模型来说模型来说, 这个表达式习惯上写作这个表达式习惯上写作:6123452iB iiB iiB iiB iiB iixxxxx2233445566:12,24,3,6,4,8,5,10.ii 其中系数与 取值为当当由由0 增加到增加到20 时时, 其组合

15、目标函数必将采取所期其组合目标函数必将采取所期望的形式并可能刻划出最优解的变化望的形式并可能刻划出最优解的变化.(3) 食油生产加工附加新条件后的求解食油生产加工附加新条件后的求解在配料问题中在配料问题中, 一些约定的额外限制条件是非常普一些约定的额外限制条件是非常普遍的遍的. 这些条件往往是这些条件往往是:1. 在配料中限制成分的数目在配料中限制成分的数目;2. 不考虑某种小量的成分不考虑某种小量的成分;3. 把把“逻辑条件逻辑条件”加在各成分的混合物上加在各成分的混合物上.在上述两个问题中，附加以下条件，求解新的问题：在上述两个问题中，附加以下条件，求解新的问题：1.每一个月所用的原料油不

16、多于三种。每一个月所用的原料油不多于三种。2.如果在某一个月用一种原料油，那么这种油不能如果在某一个月用一种原料油，那么这种油不能少于少于20吨。吨。3.如果在一个月中用了硬质油如果在一个月中用了硬质油1或硬质油或硬质油2，则在这，则在这个月中就必须用软质油个月中就必须用软质油5. 对其他配料成分可引入类似对其他配料成分可引入类似0-1 的变量和相应的的变量和相应的“连接连接”约束条件约束条件. 类似地类似地, 可以引入下面的约束条件和可以引入下面的约束条件和0-1 变量变量:0-1 变量变量例如例如, 与与xU11 相应的变量相应的变量, 可引入一个可引入一个0-1 变量变量xD11. 把这

17、些把这些变量用两个限制条件连接起来变量用两个限制条件连接起来, 下面的额外约束条件附加到下面的额外约束条件附加到模型上模型上:11111111112000, 200; 01UDUDDxxxxx 或者21212121213131313131414141414151515151512000, 200; 012500, 200; 012500, 200; 012000, 200; 01UDUDDUDUDDUDUDDUDUDDxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx或者或者或者或者( (一个月一个月) ) 第一个条件可用下面的约束条件加上第一个条件可用下面的约束条件加上: :11213141513DD

18、DDDxxxxx第三个条件可用下面的约束条件加上第三个条件可用下面的约束条件加上: :115121510,0DDDDxxxx11215120DDDxxx(2)(1)采用采用(1)的一对约束条件会使连续问题约束得的一对约束条件会使连续问题约束得“更紧更紧”, 因此给计算上带来好处因此给计算上带来好处. 对于全部六个月对于全部六个月, , 都要重复所有这些变量和约束条件都要重复所有这些变量和约束条件扩充后的模型增加的项扩充后的模型增加的项7878个额外约束条件个额外约束条件第第1 个条件的约束条件个条件的约束条件6 个个连接约束条件连接约束条件2 6 5 = 60 个个第第3 个条件的约束条件个条

19、件的约束条件2 6 = 12 个个0-1 变量变量6 5 = 30 个个额外变量额外变量(全为整数全为整数)额外约束条件额外约束条件投资问题投资问题 投资的收益和风险投资的收益和风险二、基本假设和符号规定二、基本假设和符号规定三、模型的建立与分析三、模型的建立与分析4. 模型简化：模型简化：四、模型四、模型1 1的求解的求解模型模型1为为: 012340123412min 0.05, 0.27, 0.19, 0.185, 0.1851.011.021.0451.0651 0.025 0.015 . .Tfxxxxxxxxxxxaxst 34 0.055 0.02600,1,4iaxaxaxia=0;while(1.1-a)1