导数的基本公式与运算法则(高阶求导)

1、高阶导数1、显函数的高阶导数（2-n阶）2、隐函数和参数方程的2阶导数一、显函数高阶导数的定义定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 记作记作( ),fxy记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上

2、的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称为一阶导数称为一阶导数称为零阶导数称为零阶导数相应地相应地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf( )yf x( )yfx( )( )yfxfxd d()ddyxx2222( ).d yd f xdxdx或或二、 高阶导数求法举例例例).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0

3、. 2 211( )uu 222211 (1)()1(1)xxx 2 222 22 422(1) ( 2 ) 2(1) 2()(1)(1)xxxxxxx 422 22 42642()(1)(1)xxxxx222 22 42(22)(31 )()(1)(1)xxxxx例例.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为为自自然然数数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析

4、结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法数学归纳法)注意注意: :,3xaeay 例例. . 设求解解: :特别有:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(4)43 2(1)yx 32 1(1)yx 例例.),1ln()(nyxy求求设设 解解xy 112)1(1xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn211()(1)1(1)xxx2231 (1) (1)2(1)xxx 3)1(! 2xy 33422(1) (1)2 3(1)xxx 4)4()1(! 3xy 例例.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos

5、)2sin( x)22sin( x)22sin( xcosyx)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得(4)sinyxsinyx )2cos( xy)22cos( xycossin()22. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu 3.vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 例例 设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x

6、,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x阶数1)( !nxfn2. (填空题) 已知 )(xf任意阶可导, 且2n时)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf则当 )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf隐函数和参数方程的2阶导数例例设 0922 xyy, 求 22ddyx解解：两边对x求导 ddyyxyx( )

7、( )y xy xx,有22d()dyyxyx2()(1)()y yxy yyx21()xyyx221()()xyyxyxyx32)()(1xyxyxy ddyyxyxdd2220ddyyyyxxx分析：例例解解33440(1)xyxyy y011;4xyy222312212()40 xyxyyyy y011.16xyy .)1 , 0(, 144处的值在点求设yyxyx 求导得方程两边对 x 得代入1,0=yx求导得两边再对将方程x)1(代入0,1,xy0114xyy得dtdxdtdydxdy,)()(中在方程tytx)()(tt)(22dxdydxddxyddxdtttdtd)()()()()()()(2ttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即若上述参数方程中)(, )(tt二阶可导,且,0)( t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .)(1t例例 求由 所确定的函数y(x)的二阶导数 ,1221tytxxydd;1t22ddxy31