高等数学课件：w-8-1多元函数的极限与连续

1、高等数学 新学期新学期 新气象！新气象！高等数学第一节第一节 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续一、多元函数的概念一、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 第第 八八 章章 多元函数微分学多元函数微分学二、平面点集的一些概念二、平面点集的一些概念重点：多元函数的相关概念重点：多元函数的相关概念难点：多元函数的极限难点：多元函数的极限高等数学实例实例一、多元函数的概念一、多元函数的概念.:,:,:,sin3;:,:,:,:,2;:,:,:,2112夹角夹角平行四边形的两边平行四边形的两边面积面积常数常数温度温度体积体积压强压强速度速度质

2、量质量动能动能 yxAxyARTVpVRTpvmEmvE 高等数学n维空间维空间 设设 n 为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称 n 元元数数组组),(21nxxx的的全全体体为为 n维维空空间间，而而每每个个 n元元数数组组),(21nxxx称称为为 n 维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第 i 个个坐坐标标. n维空间的记号为维空间的记号为;nR这里的这里的空间是实数空间，即点的坐标为实数空间是实数空间，即点的坐标为实数.高等数学),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 特殊地当特殊地当 时，便为

3、数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n设两点为设两点为 n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 高等数学二元函数的定义二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数高等数学例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyx

4、yxD 高等数学二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为 D，对对于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当x取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得一一个个空空间间点点集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形. （如下页图）（如下页图）高等数学二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面.高等数学xyz

5、oxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:高等数学（1）邻域）邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 二、平面点集的一些概念二、平面点集的一些概念高等数学（2）内点）内点.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设EPEPUPPE .EE 的内点属于的内点属于E1P （3）外点）外点.)(的的外外点点为为，则则称称，邻邻域

6、域的的如如果果存存在在点点EPEPUP 2P 3P （4）边界点）边界点.)()(的的边边界界点点为为则则称称，且且的的任任意意邻邻域域如如果果点点EPEPUEPUP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE高等数学（5）开集）开集.为为开开集集的的点点都都是是内内点点，则则称称如如果果点点集集EE41),(221 yxyxE例如，例如，为开集，为开集，开集的余集称为开集的余集称为闭集闭集4),(222 yxyxE为闭集为闭集.（6）闭集）闭集高等数学是是连连通通的的开开集集，则则称称且且该该折折线线上上的的点点都都属属于于连连结结起起来来，任任何何两两点点，都都可可用用折折线线

7、内内是是开开集集如如果果对对于于设设DDDD （7）区域）区域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo高等数学0| ),( yxyx为有界闭区域；为有界闭区域；为无界开区域为无界开区域xyo例如，例如，无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否则则称称为为成成立立，则则称称对对一一切切，即即不不超超过过间间的的距距离离与与某某一一定定点点，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集EEPKAPKAPAEPKE

8、41| ),(22 yxyx（8）有界集）有界集xyo高等数学补充补充: 聚点聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点高等数学 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属

9、于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合注注: 点集点集E为闭集的充要条件是为闭集的充要条件是 E的聚点都属于的聚点都属于E定理定理(外尔斯特拉斯外尔斯特拉斯): 有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列.外尔斯特拉斯外尔斯特拉斯, , Weierstrass, Weierstrass, 德国德国, 1815-1897, 1815-1897高等数学定定 义义1 1 设设 函函 数数),(yxfz 的的 定定 义义 域域 为为),(,000yxPD是是其其聚聚点点， 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数 ，总

10、总存存在在正正数数 ，使使得得对对于于适适合合不不等等式式 20200)()(|0yyxxPP的的 一一 切切点点，都都有有 |),(|Ayxf成成立立，则则称称A A为为函函数数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时时的的极极限限， 记记为为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或或)0(),( Ayxf这这里里|0PP ）. 三、多元函数的极限三、多元函数的极限高等数学说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数

11、的极限运算法则与一元函数类似高等数学图图1图图2我们定义函数我们定义函数；其其他他点点取取值值为为上上取取值值为为在在射射线线如如图图01, 1xy .,)0 , 0(),(这这三三个个函函数数都都没没有有极极限限时时当当yx图图3:)(x,yf；其其他他点点取取值值为为上上取取值值为为在在曲曲线线如如图图01, 22xy ；其其他他点点取取值值为为上上取取值值为为在在螺螺线线如如图图01, 3 y O x y O x y O x 高等数学例例2 2 求下列极限求下列极限解解 (1)(lim )2(lim )1(122122300 xyyxyxeyxyxx| 222223xyxx|x|yxx

12、. 0lim 22300 yxxyx(2)1212211221lim lim )(lim xyyxyxxyyxeyxeyx32e 另解另解 0coslim lim 2330sincos22300 yxyxyxx高等数学例例3 3 求下列极限求下列极限解解 (1)yxyxyxyxyxyx1sin1sin)(lim )2()()cos(1lim )1(002222200 (2)2002222200cos1lim)()cos(1lim 22uuyxyxuyxuyx 21 |1sin1sin)( yxyxyx 01sin1sin)(lim 00 yxyxyx高等数学思考思考 试问下列解法是否正确试问下

13、列解法是否正确? ?为什么为什么? ?解解 1 122200lim yxyxyx 求求0limlim 223022200 yxxkyxyxkxyxyx解解 2 22|2 2222xxyyxyxyx 0lim22200 yxyxyx高等数学解答解答: : 两种解法两种解法都不正确都不正确. . 因为因为.0,1不不能能代代表表所所有有方方式式中中解解法法 xkxy因因为为定定义义域域中中不不等等式式改改变变了了函函数数的的解解法法,2. 000, 0022 yxxyyxyx或或而而且且| 2|2| 2222222222222yyxxyyxyxxyxyxxyxyx 或或0lim22200 yxyx

14、yx正确的解法正确的解法: : 高等数学例例4 4 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx(1)定义定义高等数学例例4 4 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx (2)运算运算0)(lim, 0, 02200 yxyxyx01sin)(lim222200 yxyxyx高等数学练习练习 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxy

15、x 解解|,| )sin(|22yxyx , 0lim22200 yxyxyx. 0)sin(lim22200 yxyxyx高等数学例例5 5 证明下列极限不存在证明下列极限不存在证证 263002200lim )2(lim )1(yxyxyxxyyxyx 21kk (1)2220220)1(limlim)1(xkxkyxxykxyxkxyx 极限极限值与方向有关值与方向有关.lim 2200不不存存在在yxxyyx 高等数学证证 (2) 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k 的不同而变化，故极限不存在的不同而变化，

16、故极限不存在例例5 5 证明下列极限不存在证明下列极限不存在263002200lim )2(lim )1(yxyxyxxyyxyx (2)高等数学(1)利用不等式利用不等式, ,使用两边夹使用两边夹; ; (2)利用极坐标利用极坐标; ; (3)利用极限运算法则利用极限运算法则; ; (4)利用变量替换和初等变形化为已知极限利用变量替换和初等变形化为已知极限 或一元函数的极限或一元函数的极限; ; (5)利用极限定义利用极限定义. .求二元函数极限的常用方法：求二元函数极限的常用方法：高等数学(1) 径向路径的极限与幅角径向路径的极限与幅角( (或斜率或斜率) )有关有关, , 或采用极坐标时

17、与极角有关或采用极坐标时与极角有关; ; 证明极限不存在的常用方法证明极限不存在的常用方法: :(2) 某个特殊路径的极限不存在某个特殊路径的极限不存在; ; (3) 两个特殊路径的极限存在但不相等两个特殊路径的极限存在但不相等. . 高等数学n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有高等数学 设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称 0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点. 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性定义定义3 3 如如果果函函数数)(Pf在在区区域域 D 内内的的每每一一点点连连续续

18、，那那么么就就称称函函数数在在 D 内内连连续续， 或或称称函函数数)(Pf是是 D 内内的的连连续续函函数数. 高等数学例例6 6 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 高等数学 2)0 , 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 当当 时时 220yx高等数学例例7 7 讨论函数讨论函数 0, 00,),(22222

19、2yxyxyxxyyxf的连续性的连续性解解在在(0,0)点点,取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，所以极限不存在的不同而变化，所以极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续, 而在其他点连续而在其他点连续.)0 , 0(),(时时，函函数数连连续续当当 yx高等数学练习练习 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf的连续性的连续性解解在在(0,0)点点,0lim|22002222 yxxyxyxyxyxxyyx故函数在故函数在(0,0)处也连续处也连续.)0 , 0(),(时

20、时，函函数数连连续续当当 yx高等数学多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域高等数学例例8 8.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()

21、()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求高等数学有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理（3）一致连续性定理）一致连续性定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数必定在上的多元连续函数必定在D D上一致连续上一致连续高等数学多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义高等数学 作作 业业P11: 1, 2(双双), 3-6.高等数学思考题思考题高