专题08 整式的乘除与因式分解（解析版）

1、专题08 整式的乘除与因式分解【思维导图】【知识要点】知识点一 整式乘法幂的运算性质（基础）：l amanamn （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加【同底数幂相乘注意事项】1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。2）不能疏忽指数为1的情况。3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。l (am)namn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。l (ab)nanbn （n为正

2、整数） 积的乘方等于各因式乘方的积l am anamn （a0，m、n都是正整数，且mn） 同底数幂相除，底数不变，指数减【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。3.注意指数为1的情况，如x8x= x7 ，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。l a01 （a0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l知识点二 整式乘除n 单项式单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一

3、个因式单项式乘法易错点：【注意】1. 单项式乘以单项式的结果仍是单项式。2. 运算顺序：先算乘方，再算乘法。n 单项式多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【单项式乘以多项式注意事项】1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。n 多项式多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加【多项式乘以多项式注意事项】多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号

4、。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。n 乘法公式 完全平方公式：（ab）2a22abb2 （ab）2a22abb2【扩展】扩展一(公式变化)： + +2ab扩展二： + = 2(+ ) - = 4ab扩展三： + + = -2ab-2ac-2bc 平方差公式：（ab）（ab）a2b2【运用平方差公式注意事项】1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式如：(a3b)(3a-b)，不能运用平方差公式2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数

5、忘了平方的错误n 单项式单项式一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。3.注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。n 多项式单项式一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【解题思路】多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。n 整式的混合运算运算顺序：先乘方，再乘除，后加

6、减，有括号时先算括号里面的。知识点四 因式分解（难点）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 【因式分解的定义注意事项】 1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式因式分解的常用方法：提公因式法【提公因式法的注意事项】1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3）定指数：相同

7、字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；平方差公式： a2b2（ab）（ab） 完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2【考查题型】考查题型一 幂的运算法则【解题思路】熟练掌握幂的运算法则是解答此类题的关键典例1（2020广东深圳市中考真题）下列运算正确的是（ ）Aa+2a=3a2BCD【答案】B【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐项分析即可【详解】Aa+2a=3a,该选项错误;B,该选项正确;C,该选项错误;D,该

8、选项错误;故选B变式1-1（2020江苏苏州市中考真题）下列运算正确的是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据幂的运算法则逐一计算可得【详解】解： A、，此选项错误；B、，此选项错误；C、，此选项错误；D、，此选项正确；故选：D变式1-2（2020河北中考真题）若为正整数，则（ ）ABCD【答案】A【分析】根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解【详解】=，故选A变式1-3（2020陕西中考真题）计算：（x2y）3（）A2x6y3Bx6y3Cx6y3Dx5y4【答案】C【分析】先根据积的乘方运算法则计算，再根据幂的乘方运算法则进行计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积【详解】解：（x2y）3故选：

9、C变式1-4（2020山东临沂市中考真题）计算的结果是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法运算法则即可求出答案【详解】解：=，故选D.变式1-5（2020河北中考真题）墨迹覆盖了等式“（）”中的运算符号，则覆盖的是（ ）ABCD【答案】D【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案【详解】（），覆盖的是：故选：D变式1-6（2020安徽中考真题）计算的结果是（ ）ABCD【答案】C【分析】先处理符号，化为同底数幂的除法，再计算即可【详解】解： 故选C变式1-7（2020四川乐山市中考真题）已知，若，则的值为（ ）ABCD【答案】C【分析】逆用同底数幂的

10、乘除法及幂的乘方法则由即可解答【详解】，依题意得：，故选：C考查题型二 运用幂的运算法则比较大小典例2（2019杭州市中考模拟）若，则下列结论正确是（ ）AabBCabD【答案】B【详解】，故选B.变式2-1（2017湖北中考模拟）已知则的大小关系是（ ）ABCD【答案】A【详解】解：故选A.考查题型三 计算单项式乘单项式【解题思路】数字与数字相乘，字母为同底数幂相乘，底数不变，指数相加.典例3（2020浙江台州市中考真题）计算2a23a4的结果是（ ）A5a6B5a8C6a6D6a8【答案】C【分析】按照单项式与单项式相乘的运算法则求解即可.【详解】解：由题意知：2a23a4=6a2+4=6

11、a6.故答案为：C.变式3-1（2019四川泸州市中考真题）计算的结果是()ABCD【答案】C【分析】根据单项式乘法法则进行计算即可.【详解】，故选C考查题型四 计算单项式乘多项式【解题思路】掌握运算法则是解题的关键典例4（2019山东青岛市中考真题）计算的结果是（ ）A8m5B-8m5C8m6D-4m4+12m5【答案】A【分析】根据积的乘方以及合并同类项进行计算即可【详解】原式=4m22m3=8m5，故选A典例4-1（2019广西柳州市中考真题）计算：（）ABCD【答案】B【分析】根据单项式乘以多项式的法则求解即可；【详解】解：；故选B考查题型五 计算多项式乘多项式【解题思路】掌握运算法则

12、是解题的关键典例5（2019台湾中考真题）计算的结果，与下列哪一个式子相同？（）ABCD【答案】D【分析】由多项式乘法运算法则：两多项式相乘时，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，合并同类项后所得的式子就是它们的积【详解】解：由多项式乘法运算法则得故选D典例5-1（2020黑龙江牡丹江市中考真题）下列运算正确的是（ ）A(ab)(a2b)=a22b2BC2(3a1)=6a1D(a3)(a3)=a29【答案】D【分析】本题根据代数式运算法则及公式即可做出选择【详解】A、原式，故此选项错误；B、原始，根据完全平方公式可以做出判断，故此选项错误；C、原式，根据乘法分配律可以

13、做出判断，故此选项错误；D、原式a29，故此选项正确故选：D考查题型六 利用平方差公式求解【解题思路】灵活运用平方差公式是解题的关键典例6（2020河北中考真题）若，则（ ）A12B10C8D6【答案】B【分析】利用平方差公式变形即可求解【详解】原等式变形得：故选：B变式6-1（2020湖南郴州市中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形这两个图能解释下列哪个等式（ ）A BB CD【答案】B【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可【详解】第

14、一个图形空白部分的面积是x2-1，第二个图形的面积是（x+1）（x-1）则x2-1=（x+1）（x-1）故选：B变式6-2（2020江苏淮安市中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”下列数中为“幸福数”的是（ ）A205B250C502D520【答案】D【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案【详解】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为由这两个奇数得到的“幸福数”为观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4即故选：D考查题型七 利用完全平方公式求解【解题思路】

15、灵活运用完全平方公式是解题的关键典例7（2019贵州贵阳市中考真题）选择计算（4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（ ）A运用多项式乘多项式法则B运用平方差公式C运用单项式乘多项式法则D运用完全平方公式【答案】B【分析】直接利用平方差公式计算得出答案【详解】选择计算（4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式故选：B变式7-1（2020江苏宿迁市中考真题）已知a+b=3，a2+b2=5，则ab的值是 【答案】2【分析】根据完全平方公式可得，再整体代入求解即可【详解】解：当，时，解得故答案为：2变式7-2（2020山东枣庄市中考真题）若a+b3，a2

16、+b27，则ab_【答案】1【分析】根据完全平方公式，可得答案【详解】（a+b）2329，（a+b）2a2+b2+2ab9a2+b27，2ab2，ab1，故答案为1变式7-3（2020山东枣庄市中考真题）图（1）是一个长为2a，宽为2b（ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是ABCD【答案】C【解析】由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为又原矩形的面积为，中间空的部分的面积=故选C考查题型八 利用公式法分解因式【解题思路】熟记平方差公式的结构特点是解题的关键平方差公式：典例8（202

17、0柳州市柳林中学中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）Aa2b2Ba2b2Ca2+b2Da2+2ab+b2【答案】A【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解【详解】解：A、a2b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；B、a2b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解故选：A变式8-1（2020广西中考真题）因式分解a24的结果是（）A（a+2）（a2）B（a2）2C（a+2）2Da

18、（a2）【答案】A【分析】利用平方差公式进行分解即可【详解】解：原式（a+2）（a2），故选：A变式8-2（2020西藏中考真题）下列分解因式正确的一项是（）Ax29（x+3）（x3）B2xy+4x2（xy+2x）Cx22x1（x1）2Dx2+y2（x+y）2【答案】A【分析】各式分解得到结果，即可作出判断【详解】解：A、原式（x+3）（x3），符合题意；B、原式2x（y+2），不符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式不能分解，不符合题意故选：A考查题型九 综合提公因式和公式法分解因式【解题思路】公式法和提公因式法分解因式关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守

19、；提负要变号，变形看奇偶典例9（2020湖南益阳市中考真题）下列因式分解正确的是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案【详解】A、，故此选项错误；B、，故此选项错误；C、，故此选项正确；D、，故此选项错误故选：C变式9-1（2019四川泸州市中考真题）把分解因式，结果正确的是()ABCD【答案】C【分析】先提公因式2，然后再利用平方差公式进行分解即可.【详解】=，故选C变式9-2（2019山东潍坊市中考真题）下列因式分解正确的是（）ABCD【答案】D【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而判断即可【详解】A、，故此选项

20、错误；B、，无法分解因式，故此选项错误；C、，无法分解因式，故此选项错误；D、，正确，故选D考查题型十 利用多项式与多项式乘积中项的特征求待定字母的值的方法典例10（2018山东中考模拟）若（x2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，求（2a+b+1）（2ab1）（a+2b）（2b+a）+2b的值【答案】59.【详解】解：（x2）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx2x22ax2b=x3+（a2）x2+（b2a）x2b，（x2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，a2=0且b2a=0，解得：a=2，b=4，(2a+b+1)(2ab1)(a+2b)(2b+a)+2b=(

21、2a)2(b+1)2（a24b2）+2b=4a2b22b1a2+4b2+2b=3a2+3b21，当a=2，b=4时，原式=322+3421=12+481=59考查题型十一 乘法公式的合理运用典例11（2019乌鲁木齐市第七十七中学中考模拟）计算：（1）（a+2bc）（a2b+c）（2）已知6x5y10，求（2x+y）（2xy）（2x3y）24y的值【答案】（1）a24b2+4bcc2；（2）5.【详解】解：（1）原式=a+（2bc）a（2bc）=a2（2bc）2=a2（4b24bc+c2）=a24b2+4bcc2（2）当6x5y=10时，3x2.5y=5原式=4x2y2（4x212xy+9y2

22、）4y=（12xy10y2）4y=3x2.5y=5考查题型十二 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用典例12（2018浙江中考模拟）计算：（2018）2+2017（2019）【答案】1.【详解】（2018）2+2017（2019）=20182（20181）（2018+1）=2018220182+1=1考查题型十三 乘法公式的变形在解题中的应用典例13（2019甘肃中考模拟）已知x+=6，则x2+=（）A38B36C34D32【答案】C【详解】把x+=6两边平方得：（x+）2=x2+2=36，则x2+=34，故选：C变式13-1（2018四川中考真题）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a

23、b=（）A1BC1D【答案】C【详解】a+b=2，ab=，（a+b）2=4=a2+2ab+b2，a2+b2=，（a-b）2=a2-2ab+b2=1，a-b=1，故选：C变式13-2（2017江苏中考模拟）若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）A-1 B1 C-4 D4【答案】B【详解】根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y）2=x2+2xy+y2=9，（xy）2= x2-2xy+y2=5，-可得4xy=4，解得xy=1.故选：B变式13-3（2019浙江中考模拟）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（

24、 ）A10B6C5D3【答案】C【详解】由题意得，把两式相加可得，则故选C.变式13-4（2015湖南中考真题）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ ）A3B4C5D6【答案】C【详解】根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）22ab，代入求出即可a+b=3，ab=2，a2+b2=（a+b）22ab=3222=5考查题型十四 整式的化简求值典例14（2019辽宁中考模拟）先化简，再求值：（x2y）2+（x+y）（x4y），其中x5，y【答案】2x27xy，43【详解】原式x24xy+4y2+x24xy+xy4y22x27xy，当x5，y时，原式50743变式14-1（2017江苏中考模拟）先化简，再求值：2()( 2)(，其中3， .【答案】ab-b2 ； ；【详解】原式=2b2+a2-2ab+ab-2b2-(a2-2ab+b2)=ab-b2 ；当a=-3，b= 时， 原式= 考查题型十五 乘法公式和几何图形相结合的应用方法 典例15（2019浙江中考模拟）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的