多自由度系统振动(a)

1、2022年5月12日振动力学2kcm建模方法建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对轿车的上下振动进行动力学建模要求：对轿车的上下振动进行动力学建模例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响间的相互影响优点：优点：模型简单模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合多自由度系统振动多自由度系统振动2022

2、年5月12日振动力学3k2c2m车车m人人k1c1建模方法建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼弹性和阻尼优点：优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响多自由度系统振动多自由度系统振动2022年5月12日振动力学4m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼并考虑各自的弹性和阻尼优点：优点：分

3、别考虑了人与车、车分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动多自由度系统振动2022年5月12日振动力学5多自由度系统振动多自由度系统振动2022年5月12日振动力学6多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学7 作用力方程作用力方程几个例子几个例子 例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼

4、不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学8解：解：、1x2x21mm、的原点分别取在的原点分别取在 的静平衡位置的静平衡位置 建立坐标：建立坐标：设某一瞬时：设某一瞬时：21mm、1x2x上分别有位移上分别有位移21xx 、加速度加速度受力分析：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多

5、自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学9建立方程：建立方程： )()()()(2332122212121111tPxkxxkxmtPxxkxkxm 矩阵形式：矩阵形式： )()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm 力量纲力量纲坐标间的耦合项坐标间的耦合项 P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学10例例2：转动运动：转动

6、运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 21,II轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 321,kkk试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程 1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM1)(),(21tMtM外力矩外力矩 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学11解：解：建立坐标：建立坐标：角位移角位移21,设某一瞬时：设某一瞬时：角加速度角加速度21, 受力分析：受力分析：1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM111k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k多自由度系统振动多自由

7、度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学12建立方程：建立方程：)()()()(2332222121211111tMkkItMkkI 矩阵形式：矩阵形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学13)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()(0021213222212

8、121tMtMkkkkkkII 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学14小结：小结：)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()

9、(0021213222212121tMtMkkkkkkII 可统一表示为：可统一表示为： )(tPXKXM 例例1：例例2：作用力方程作用力方程位移向量位移向量加速度向量加速度向量质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵激励力向量激励力向量若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量维矩阵或列向量 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学15)(tPXKXM n 个自由度系统个自由度系统:多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程nnnjnnjnj

10、mmmmmmmmm.122211111M)()()()(21tPtPtPtnPnnnjnnjnjkkkkkkkkk.122211111KnTnRxxx,.,21Xnnnn1n质量矩阵第质量矩阵第 j 列列刚度矩阵第刚度矩阵第 j 列列广义坐标列向量广义坐标列向量2022年5月12日振动力学16 刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵当当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定M、K 该如何确定？该如何确定？ )(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX先讨论先讨论 K加速度为零加速度为零0X )(tKPX 假设外力是以假设外力是以准静态方式准静态方式施加于系统施

11、加于系统多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程准静态外力列向量准静态外力列向量静力平衡静力平衡2022年5月12日振动力学17)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX)(tPKX 假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第它们使系统只在第 j 个个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移 即即 ：TTnjjjxxxxx0,.,0 , 1 , 0,.,0,.,.,111 X00100.)()()()(12221111121nnnjnnjnjnkkk

12、kkkkkktPtPtPtP代入代入 ：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程njjjkkk212022年5月12日振动力学18 njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第的第 j 列列 ijk（i=1n） ：在第在第 i 个坐标上施加的力个坐标上施加的力 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程考虑：这考虑：这样的外力样的外力列阵是否列阵是否唯

13、一？唯一？2022年5月12日振动力学19 njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程第第j个坐标产个坐标产生单位位移生单位位移刚度矩阵第刚度矩阵第j列列系统刚度矩系统刚度矩阵阵j=1n确定确定2022年5月12日振动力学20)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nR X讨论讨论 M假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移 )(tPXM 00100.)()

14、()()(12221111121nnnjnnjnjnmmmmmmmmmtPtPtPtP多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第它们使系统只在第 j 个个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度 njjjmmm212022年5月12日振动力学21njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P这组外力正是质量矩阵这组外力正是质量矩阵 M

15、 的第的第 j 列列 ijm多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程考虑：这考虑：这样的外力样的外力列阵是否列阵是否唯一？唯一？第第j个坐标单个坐标单位加速度位加速度质量矩阵第质量矩阵第j列列系统质量矩系统质量矩阵阵j=1n确定确定2022年5月12日振动力学22质量矩阵质量矩阵 M 中的元素中的元素mij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力mij、kij又分别称为又分别称为质量影响系数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根据它。根据

16、它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩阵和刚度矩阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法影响系数方法多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程刚度矩阵刚度矩阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 2022年5月12日振动力学23例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3

17、k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程0221kkk使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 2111kkk221kk 031k 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得001321xxxX系统刚度矩阵的第一列系统刚度矩阵的第一列2022年5月12日振动力学24例：写出例：写出 M 、 K

18、 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程刚度矩阵：刚度矩阵：?0?221kkkK使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 2111kkk221kk 031k 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动2022年5月12日振动力学25例：写出例：写出 M 、 K 及及运动

19、微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程365322kkkkkk使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得010321xxxX系统刚度矩阵的第二列系统刚度矩阵的第二列令令 T010 X212kk65322

20、2kkkkk332kk2022年5月12日振动力学26例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动令令 T010 X212kk653222kkkkk332kk刚度矩阵：刚度矩阵：?

21、0?365322221kkkkkkkkkK2022年5月12日振动力学27例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程4330kkk使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，m1和和m2不动不动在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够

22、使得100321xxxX系统刚度矩阵的第三列系统刚度矩阵的第三列令令 T100 X013k323kk4333kkk2022年5月12日振动力学28例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，m1和和m

23、2不动不动令令 T100 X013k323kk4333kkk刚度矩阵：刚度矩阵：43336532222100kkkkkkkkkkkkK2022年5月12日振动力学29例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X 2111kkk221kk 031k 令令 T010 X212kk653222kkkkk332kk令令 T100 X013k323kk4333kkk刚度矩阵：刚度矩阵：43336532222100kkkkkkkkkkkkK多自由度系统振动多自由度系统振动

24、/ 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学30只考虑动态只考虑动态 令令 T001 X 21m31mm1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程只使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零所需施加的力：所需施加的力：111amF 11 m1m11m所需施加的力：所需施加的力：0222amF0333amF001m在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得001321xxxX 系统质量矩阵的第一列系统质量矩阵的第

25、一列m1产生单位加产生单位加速度的瞬时，速度的瞬时，m2和和m3尚没尚没有反应有反应2022年5月12日振动力学31只考虑动态只考虑动态 令令 T001 X 21m31mm1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程只使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零所需施加的力：所需施加的力：111amF 11 m1m11m所需施加的力：所需施加的力：0222amF0333amFm1产生单位加产生单位加速度的瞬时，速度的瞬时，m2和和m3尚没尚没有反应有反应质量矩

26、阵：质量矩阵：?0?0?1mM2022年5月12日振动力学32同理同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)?00?0?021mmM多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程令令 T010 X 2022年5月12日振动力学33同理同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)321000000mmmM多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程令令 T010 X 令令 T100 X 2022年5月12日振动力学34令令 T001 X 111mm021m031

27、m有：有：令令 T010 X 012 m222mm 032 m有：有：令令 T100 X 013 m023 m333mm 有：有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)质量矩阵：质量矩阵：321000000mmmM多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学3543336532222100kkkkkkkkkkkkK321000000mmmM )()()(00000000321321433365322221321321tPtPtPxxxkkkkkkkkkkkkxxxmmm 运动微分方程：运动微分方程

28、： m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)(tPKXXM 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程外力外力列阵列阵矩阵形式：矩阵形式：2022年5月12日振动力学3621,mm21,cc21,II例：双混合摆，两刚体质量例：双混合摆，两刚体质量质心质心绕通过自身质心的绕通过自身质心的 z 轴的转动惯量轴的转动惯量21、求：求：以微小转角以微小转角为坐标，为坐标，写出在写出在x-y平面内摆动的作用力方程平面内摆动的作用力方程 两刚体质量两刚体质量1Ih1C1C2h2lxy2I12多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由

29、度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学37受力分析受力分析1Ih1C1C2h2lxy2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm xy多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学38解：解：先求质量影响系数先求质量影响系数 令令0121 ，y1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程下摆对下摆对A取矩：取矩：整体对整体对B取矩：取矩：

30、11m21m11hm1Ilm211 02 AB则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩11m21m2122211111)(mhllmhmIm2221lhmm问：为什么不考虑重力？问：为什么不考虑重力？示意图，实际铅垂示意图，实际铅垂222111lmhmI2022年5月12日振动力学39解：解：令令1021 ，多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2I22hm01 12 ABy1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 22222212)(mhlhmIm222222hmIm下摆对下摆对A取矩：取

31、矩：整体对整体对B取矩：取矩：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩12m22m22lhm12m22m2022年5月12日振动力学40令令0121 ，22211121222111112221)(lmhmImhllmhmImlhmm令令1021 ，2222222212222222)(lhmmhlhmImhmIm22222222222111hmIlhmlhmlmhmIM质量矩阵：质量矩阵：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学41求刚度影响系数求刚度影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数由于恢复力是重力

32、，所以实际上是求重力影响系数 令令0121，021kglmghmk21111y1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程gm2gm111 02 AB则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩11k21k下摆对下摆对A取矩：取矩：整体对整体对B取矩：取矩：11k21k2022年5月12日振动力学42令令1021，2222ghmk0222212kghmk多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程gm2gm101 12

33、 ABy1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩12k22k下摆对下摆对A取矩：取矩：整体对整体对B取矩：取矩：12k22k2022年5月12日振动力学43令令0121，021kglmghmk21111令令1021，2222ghmk0222212kghmk刚度矩阵：刚度矩阵：2221100)(ghmglmhmK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学442221100)(ghmglmhmK22222222222111hmIl

34、hmlhmlmhmIM0000)(21222112122222222222111ghmglmhmhmIlhmlhmlmhmI 运动微分方程：运动微分方程：y1Ih1C1C2h2lx2I12多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学45例：例：21、求：求：以微小转角以微小转角为坐标，为坐标，写出微摆动的运动学方程写出微摆动的运动学方程 每杆质量每杆质量 m杆长度杆长度 l水平弹簧刚度水平弹簧刚度 k弹簧距离固定端弹簧距离固定端 a12kaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动

35、力学方程双刚体杆双刚体杆2022年5月12日振动力学46解：解：令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩110211k21k分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：21121kamglk221kak令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩011212k22k分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：22221kamglk212kak 0112aO1O2mgmg1 ka12k22k1102aO1O2mgmg1 ka11k21k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学4721121kamgl

36、k221kak刚度矩阵：刚度矩阵：22221kamglk212kak 22222121kamglkakakamglK1102aO1O2mgmg1 ka11k21k0112aO1O2mgmg1 ka21k22k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学48令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩11 02 11m2111131mlIm 021m令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩12m22m2222231mlIm 012 m01 12 质量矩阵：质量矩阵：22310031mlmlM21m11 02

37、 aO1O2mgmgk01 12 aO1O2mgmgk多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程11m21m12m22m2022年5月12日振动力学4922222121kamglkakakamglK运动学方程：运动学方程：22310031mlmlM0021213100312122222122kamglkakakamglmlml 12kaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学50例：两自由度系统例：两自由度系统摆长摆长 l，无质量，微摆动，无质量，微摆动求：运动微分方程

38、求：运动微分方程xm1k12mk2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学51解：解：先求解刚度矩阵先求解刚度矩阵令：令：01x2121111)(kkkkk021k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程x方向力平衡方向力平衡A点力矩平衡点力矩平衡m1k10gm2k21x刚度矩阵第一列：刚度矩阵第一列：021kk需要施加的力和矩需要施加的力和矩11k21k11k21kAx静态平衡静态平衡2022年5月12日振动力学52解：解：令：令：10 x00)(2112kkkglmlgm

39、k2222sin 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程x方向力平衡方向力平衡A点力矩平衡点力矩平衡刚度矩阵第二列：刚度矩阵第二列：需要施加的力和矩需要施加的力和矩12k22km1k11gm2k20 xA12k22kglm20 x2022年5月12日振动力学53多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程xm1k12mk2刚度矩阵第一列：刚度矩阵第一列：021kk刚度矩阵第二列：刚度矩阵第二列：glm20系统刚度矩阵：系统刚度矩阵：glmkk22100K2022年5月12日振动力学54求解质量矩阵求解质量

40、矩阵令：令：0 1x 212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( 令：令：1 0 x lmlmm2212 222222lmlmIm m1k11 gm2k20 x 12m22m Ilm 2惯性力惯性力多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程瞬时动态瞬时动态m1k10 gm2k21x 11m21mxm 2惯性力惯性力xm 1惯性力惯性力2022年5月12日振动力学552111mmmlmm221lmm2122222lmm质量矩阵：质量矩阵：222221lmlmlmmmMxm1k12mk2刚度矩阵：刚度矩阵：glmkk22100K运动微分方程：

41、运动微分方程：0000221222221xglmkkxlmlmlmmm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学56小结：小结：建立动力学方程的建立动力学方程的影响系数法影响系数法 多自由度系统作用力方程：多自由度系统作用力方程：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程质量矩阵质量矩阵 M 中的元素中的元素mij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力刚度矩阵刚度矩阵 K

42、 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 刚度矩阵：刚度矩阵： 质量矩阵：质量矩阵：静态静态动态动态)(tPKXXM 力的量纲力的量纲2022年5月12日振动力学57 位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵 对于静定结构，有时通过对于静定结构，有时通过柔度矩阵柔度矩阵建立建立位移方程位移方程比通过比通过刚度刚度矩阵矩阵建立建立作用力方程作用力方程来得更方便些来得更方便些 柔度柔度定义为弹性体在定义为弹性体在单位力作用下产生的变形单位力作用下产生的变形 物理意义及量纲与刚

43、度恰好相反物理意义及量纲与刚度恰好相反 以一个例子说明位移方程的建立以一个例子说明位移方程的建立 x1m1x2m2P1P2无质量弹性梁，有若干集中质量无质量弹性梁，有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化（质量连续分布的弹性梁的简化 ）假设假设21PP、是常力是常力 以准静态方式作用在梁上以准静态方式作用在梁上 梁只产生位移（即挠度），不产生加速度梁只产生位移（即挠度），不产生加速度 21mm、21xx、取质量取质量的静平衡位置为坐标的静平衡位置为坐标的原点的原点 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学58111fx

44、 m1 位移：位移：212fx m2 位移：位移：0121 PP、时时（1）1021 PP、时时（2）121fx m1 位移：位移：222fx m2 位移：位移：21PP、 同时作用同时作用（3）2121111PfPfx m1 位移：位移：2221212PfPfx m2 位移：位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学5921PP、 同时作用时：同时作用时：2121111PfPfx 2221212PfPfx 矩阵形式：矩阵形式：FPX 21xxX 222

45、11211ffffF 21PPP柔度矩阵柔度矩阵物理意义：物理意义：系统仅在第系统仅在第 j 个坐标受到个坐标受到单位力作用时相应于第单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移 ijf柔度影响系数柔度影响系数 f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学60FPX 21PP、当当 是动载荷时是动载荷时集中质量上有惯性力存在集中质量上有惯性力存在 2221112221121121)()(xmtPxmtPffffxx 21212122211211

46、2100)()(xxmmtPtPffffxx )(XMPFX 位移方程位移方程x1m1x2m2P1P211xm 22xm m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程212221121121PPffffxx2022年5月12日振动力学6111xm 22xm m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程也可按作用力方程建立方程：也可按作用力方程建立方程： PKXXM XMPKX )(1XMPKX 若若K非奇异非奇异)(XMPFX 位移方程：位移方程：FPXX

47、FM 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：柔度矩阵与刚度矩阵的关系：1 KFIFK 21xxX)()(21tPtPP刚度矩阵刚度矩阵2022年5月12日振动力学62对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在柔度矩阵不存在应当注意：应当注意：1I2Ikm1m2k1k2m3原因：原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移而无法计算各个坐标上的位移刚度矩阵刚度矩阵 K 奇异奇异多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统

48、的动力学方程2022年5月12日振动力学63例：例： 求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程 已知梁的抗弯刚度矩阵为已知梁的抗弯刚度矩阵为EJx1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学64由材料力学知，由材料力学知， 当当B点作用有单位力时，点作用有单位力时，A点的挠度为：点的挠度为： )(6222balEJlabfAB柔度影响系数：柔度影响系数：fff82211fff71221EJlf4863 ffff8778F212121210

49、08778xxmmPPffffxx 柔度矩阵：柔度矩阵：位移方程：位移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)labABP=1多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程)(XMPFX 2022年5月12日振动力学65例：例： 教材教材 P72 例例4.1-2，求柔度阵，求柔度阵 33332222100kkkkkkkkkK（1）在坐标）在坐标 x1 上对质量上对质量 m1 作用单位力作用单位力系统在坐标系统在坐标 x1、x2、x3 上产生位移为上产生位移为: 13121111kfff m1m2k1k2m3k3x1x2x3解：解：（2

50、）在坐标）在坐标 x2 上对质量上对质量 m2 作用单位力作用单位力212211kkf1121kf213211kkf（3）在坐标）在坐标 x3 上对质量上对质量 m3 作用单位力作用单位力1131kf212311kkf32133111kkkf多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学661111kf1211kf1311kf212211kkf1121kf213211kkf1131kf212311kkf32133111kkkf 3212112121111111111111111111kkkkkkkkkkkkkkF柔度矩阵：柔度

51、矩阵：可以验证，有：可以验证，有：IFK m1m2k1k2m3k3x1x2x3 33332222100kkkkkkkkkK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学67多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程小结：小结： 多自由度系统的位移方程：多自由度系统的位移方程：FPXXFM 柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵位移的量纲位移的量纲 柔度矩阵：柔度矩阵：柔度矩阵柔度矩阵fij的含义的含义为系统仅在第为系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时个坐标受到单位力作

52、用时相应于第相应于第 i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移 位移方程不适用于建立存在刚体自由度系统的动力学方程位移方程不适用于建立存在刚体自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学68 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A 是是半正定半正定的的 根据分析力学的结论，对于定常约束系统：根据分析力学的结论，对于定常约束系统： 动能：动能

53、：XMXTT21 KXXTV21 势能：势能：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程标量标量A 00A2022年5月12日振动力学69 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A 是是半正定半正定的的 动能：动能：XMXTT21 0T)1(0nixi 除非除非所以，所以，M正定正定0M即：即：多自由度系

54、统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动系统的质量振动系统的质量矩阵总为正定矩矩阵总为正定矩阵阵A 00A2022年5月12日振动力学70 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A 是是半正定半正定的的 KXXTV21 势能：势能：对于仅具有对于仅具有稳定平衡位置稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值的

55、系统，势能在平衡位置上取极小值 V 0 当各个位移当各个位移)1(nixi不全为零时，不全为零时， K 正定正定K 0对于具有对于具有随遇平衡位置随遇平衡位置的系统，存在刚体位移的系统，存在刚体位移对于不全为零的位移对于不全为零的位移 存在存在 V 0 )1(nixiK 半正定半正定0K多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动系统的刚度矩阵至少为半正定振动系统的刚度矩阵至少为半正定A 00A2022年5月12日振动力学71振动问题中主要讨论振动问题中主要讨论 （1）M阵正定、阵正定、K 阵正定阵正定 （2）M阵正定、阵正定、 K 阵半正定阵半正

56、定的系统的系统多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学72 耦合与坐标变换耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元元素称为矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项耦合项质量矩阵中出现耦合项称为质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合惯性耦合刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合弹性耦合以两自由度系统为例以两自由度系统为例221100mmM不存在惯性耦合不存在惯性耦合22211211mmmmM 22211211kkkkK22211211mmmmM存在惯性耦合存在惯性耦合多自由度系统振动多自由度系统振动 /

57、 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学73如果系统仅在第一个坐标上产生加速度如果系统仅在第一个坐标上产生加速度22211211mmmmM221100mmM0, 021xx 00012211xmm 0122211211xmmmm 不出现惯性耦合时，一个坐标上不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起产生的加速度只在该坐标上引起惯性力惯性力同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位

58、移还会在别的坐标上引起弹性恢复力产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程0111xm 121111xmxm 耦合耦合非耦合非耦合出现惯性耦合时，一个坐标上出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力上引起惯性力2022年5月12日振动力学74例：例：研究汽车上研究汽车上下振动和俯仰振动下振动和俯仰振动的力学模型的力学模型表示车体的刚性杆表示车体的刚性杆AB的质量为的质量为m，杆，杆绕质心绕质心C的转动惯的转动惯量为量为Ic悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为悬挂弹簧和

59、前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和和 k2 的两个弹簧来表示的两个弹簧来表示写出车体微振动的微分方程写出车体微振动的微分方程选取选取D点的垂直位移点的垂直位移 和绕和绕D点的角位移点的角位移 为坐标为坐标DDxABCDa1a2el1l2lk1k2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学75ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2简化形式简化形式多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学76ABCDa1a2el1l2lk1

60、k2ABCDDxCxD)(11DDaxk )(22DDaxk DPDM车体所受外力向车体所受外力向D点简化为点简化为合力合力 PD 和合力矩和合力矩 MD微振动，杆质心的垂直位移微振动，杆质心的垂直位移和杆绕质心的角位移：和杆绕质心的角位移：DDCexx DC 采用拉氏方法建立方程采用拉氏方法建立方程动能：动能：222121CcCIxmT 2221)(21DcDDIexm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022年5月12日振动力学77ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDDxCxD)(11DDaxk )(22DDaxk DPDMDD