D52多元函数的极限连续性

1、目录 上页 下页 返回 结束 第五章 第二节第二节一、多元函数的概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限与二、多元函数的极限与连续性连续性三、多元连续函数的性质三、多元连续函数的性质多元函数的基本概念多元函数的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 一、多元函数的概念一、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式,2hrV ,(为常数）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1. 设非空点集,nDRDPP

2、fu, )(或点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2),(),(RDyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作),(21nxxxfu目录 上页 下页 返回 结束 xzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如的图形一般为空间曲面 .12),(Ryx三元函数 )arcs

3、in(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzOOO目录 上页 下页 返回 结束 例：例： 设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy目录 上页 下页 返回 结束 例：例：设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf目录 上

4、页 下页 返回 结束 等值线等值线 ： 另一种表示函数 z=f (x, y)的方法是利用xOy面上的曲线族。当点(x,y)在其中每一条曲线f(x,y)都取相同的值所谓的等值线 f (x, y）=C， 其中C为常数。它表示0( , )f x yC0C上变化时. 函数目录 上页 下页 返回 结束 容 易 看 出 ， 等 值 线f(x,y)=C实际上就是曲面z=f(x,y)与平面z=C 的交线在xOy平面上的投影。因此,将等值线f(x,y)=C族中各曲线升到相应得高度z=C处就不难想象出曲面z=f(x,y)的图像目录 上页 下页 返回 结束 例例: 画出函数22yxz的等值线， 并由此等值线解解:

5、: 显然等值线为可知， 此曲面仅位于xOy平面的上方， 与xOy平面讨论此曲面的形状。容易看出，当C0时，等值线是以原点为中心的同心圆 ，C越Cyx22小半径越小; C=0时为原点O(0,0); C0时无轨迹。由此切于原点， 在xOy平面上方与水平平面z=C的截面都是圆， 且越往上开口半径越大目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 设非空点集,nDR是自变量 ; 是因变量，显然，一个n 元向量值函数y=f(x)对应于m 个n 元数量值函数映射称为定义 在 D 上的 n 元向量值函数元向量值函数 , 也可记作:R (2)mfDm ( ),yf x12( ,)nx xxD其中x12(,)mmy y

6、yRy12(,)mffff1112221212( ,),( ,),( ,).nnmmnyf x xxyfx xxyfx xx目录 上页 下页 返回 结束 为运算方便，有时把其中列向量,在这种情况下n元向量值函数元向量值函数也可记作nR与中的向量写成mR121212(,) ,( ,) ,(,)TTTmnmy yyx xxfffyxf111122221212( )( ,)( )( ,)( )( ,)nnmmmnyff x xxyffx xxyffx xxxxy =x目录 上页 下页 返回 结束 例例: 我们知道, 空间中曲线的参数方程为的一个映射，即一元其中( ),( ),( ),xx tyy t

7、zz ttR 到 它可以看做是从 3R , 向量函数( ), ,tt rr3( )( ( ), ( ), ( )tx ty tz tRr目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的极限和连续性二、多元函数的极限和连续性定义定义2. 3 设 n 元函数,(nDPPfR),点 , ),(0PUDP,)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有对任意正数 , 总存在正数 ,切

8、目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：（1）定义中 的方式是任意的；0PP （2）n 元函数的极限也叫n 重极限);,(lim00yxfyyxx（3）n元函数的极限运算法则与一元函数类似目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证:.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),( yxf,022时当yx22yx 222yx ,总有要证 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：证：

9、0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 时，当yx220 xyyx11sinsin总有 2要证 目录 上页 下页 返回 结束 ),( xf对一元函数.)(lim)(lim00Axfxfxxxx如图xx0 x0 xx0 xxx0lim( )xxf xA有有趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限注注：当点),(yxP以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .函数说明说明： 目录 上页 下页 返回 结束 xoX0XD对二元函数 f (X), 如图有.)(lim0AXfXX 点X以任何方式趋近于X0时, f (X)的极限都存

10、在且为A.Dz = f (x, y)Xf (X)MX0Ayzxo目录 上页 下页 返回 结束 解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则有21kkk 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .例例3. 讨论函数xoy如图目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习讨论二重极限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令, xky 01lim0kkxx原式解法解法3 令,sin,cosryr

11、x0sincossincoslim0rr原式时, 下列算法是否正确是否正确?目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kkxx原式此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 时例如xxy21lim2230 xxxx原式此时极限为 1 .第二步 未考虑分母变化的所有情况, , 1,111xyxxy时例如目录 上页 下页 返回 结束 解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式此法忽略了 的任意性,时当4, 0r)sin(2sincossincos

12、sincos4rr极限不存在 !由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 .目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函数定义域不包括 x , y 轴,222yxr令则62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r24r故2222220

13、0)()cos(1limyxyxyxyx目录 上页 下页 返回 结束 例例 . 求累次极限解：解：和二元函数还可以定义两个累次极限 ),(limlim00 yxfyyxx ),(limlim00 yxfxxyy和 limlim220 0 yxyxyxyx lim20 xxxx . 1 limlim220 0 yxyxyxxy lim20 yyyy . 1 limlim220 0 yxyxyxyx limlim220 0 yxyxyxxy 累次极限累次极限 目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.注注. 二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00y

14、xfxxyy及不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3目录 上页 下页 返回 结束 注：注：多元数量值函数极限的概念可推广到多元向定义：定义：设 D为一点集, ),(0PUDP，则称 a 为为一n元向量值函数，对一记作，时的极限当0)(PPPf都有对任意正数 , 总存在正数 ,切12,) :RTmmf ffDf = (是 D 的聚点，00,10,20,)nPxxx(12,).m=(a aaa

15、( )f Pa000lim( )( )PPf pf PP PP或（）a量值函数的情形。目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 n 元函数连续.连续, 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如, 函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故 ( 0,

16、0 )为其间断点.在圆周结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理：设 是紧集， 是 A 上的 (2) f在 A 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(最值定理) , ,Mm(3) 对任意，AQ;)(Qf使(介值定理) 三三. 多元连续函数的性质多元连续函数的性质:nAR:f AR的连续函数， 则(有界性定理) (1) f在A上有界;目录 上页 下页 返回 结束 定理定理：设 是紧集， 是 A 上连续, f 必在A 上一致连续 , 即nAR:f AR120,x xA （ ）, 使得12x x时， 恒有12| ( )( )|f xf x注注：有界闭区域都

17、是连通的紧集，故上述定理对有界闭区域上的连续都成立。(一致连续性定理) 目录 上页 下页 返回 结束 .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR目录 上页 下页 返回 结束 APfPP)(lim0,0,0时

18、，当PP 00有APf)(2. 多元函数的极限3. 多元函数的连续性1) 函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P61 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8P129 题 3; *4思考与练习思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 yxyxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,11.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解: 利用xxy取所以极限不存在.333,0,yxyx)1ln( yxxyxyx)1ln(lim00目录 上页 下页 返回 结束 2. 证明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面连续.证证:,)0 , 0(),(处在yx),(yxf为初等函数 , 故连续.又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函数在全平面连续 .由夹逼准则得目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示: :P61 题 2. ),(),(2yxft