2016年江苏理科数学高考试题含解析

1、2016年江苏数学高考试题数学I试题参考公式圆柱的体积公式：V酬i=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高。1圆锥的体积公式：V圆锥,Sh,其中S是圆锥的底面积，h为高。3一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。1 .已知集合A=1,2,3,6,B=x|N<x<3,则AB=.2 .复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位，则z的实部是.223.在平面直角坐标系xOy中，双曲线'_乙=1的焦距是.734 .已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是J_.5 .函数y=J3-2x-x2的定义域是.6 .

2、如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是.先后抛掷2次,7 .将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)则出现向上的点数之和小于10的概率是.8 .已知an是等差数列，S是其前n项和.若a1+a22=-3,G=10,则a9的值是.9 .定义在区间0,3兀上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是b=一与椭圆交于B,22210.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2+2=1(a>b>0)的右焦点，直线yabC两点，且/BFC=90，,则该椭圆的离心率是（第10题）11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间-1,

3、1）上,f(x)=xa,-1<x:二0,I22I-x,0<x<1,15其中awR.若葭笈=4,筐林=一1,则浸厂的值是59-f()=f(一),则f(5a)的值是.22x-2y4.012 .已知实数x,y满足2x+y2之0,则x2+y2的取值范围是3x-y-3<013 .如图，在ABC,D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点,14 .在锐角三角形ABO43,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15 .（本小题满分14分）,_4

4、TT在ABC中，AC=6,cosB=,C=.54（1）求AB的长；(2)求cos(A-1)的值.16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABGABG中，D,E分别为ABBC的中点，点F在侧棱BB上，且B1D_LAF,AC11A1B.求证：（1）直线DE/平面ACF;(2)平面BDEL平面AC1F.17 .（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-ABC1D1,下部分的形状是正四棱柱ABCDAB1c1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高PO1的四倍.若AB=6m,PO=2m,则仓库的容积是多少？（1）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当PO为多少时，仓库的

5、容积最大？18 .(本小题满分16分)22x2y2-12x-14y60=0如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA求直线l的方程;求实数t的取值范围。19.(本小题满分16分)_xx已知函数f(x)=ab(a0,b0,a=1,b=1)1(1)设a=2,b=2.f(x)=2的根;求方程若对任意xwR,不等式f(2x)之mf(x)-6恒成立，求实数m的最大值;A)若0cadb>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个

6、零点，求ab的值。20.(本小题满分16分)记U=1,2，100.对数列aj(nwN*)和U的子集T,若T=0,定义St=0;若T:/大,，tj,定义St=at1+at2+atk.例如：T=1,3,66时，St=a+a3+a66.现设LnnwN*)是公比为3的等比数列，且当T=2,4时，ST=30.求数列an的通项公式；k(1<k<100)T=1,2，kST<ak书；(1)对任意正整数，若，求证：(3)设CJU,DJU,SC之Sd,求证：Sc+SC、d>2Sd数学n（附加题）21 .【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多

7、做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.【选修41几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在ABC43,/ABC90°,BDLACD为垂足，E是BC的中点，求证：/EDC/ABDB.【选修42:矩阵与变换】（本小题满分10分）1已知矩阵A=02-2矩阵B的逆矩阵B=112,求矩阵AB2C.【选修44:坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x=11t2_3尸石t（t为参数），椭圆C的参数方程fx=cos1为x，（e为参数）.设直线l与椭圆C相交于A,B两点，求线段AB的长.ly=2sin1D.设a>0

8、,|x-1|va,|y-2|v,求证：|2x+y-4|<a.33【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x-y-2=0,抛物线C：y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q求证：线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);求p的取值范围.23 .(本小题满分10分)(1)求7C3/C4的值；(2)设mnN*,n>rrj求证：(mH)3+(m2)C

9、m+1+(n+3)竦+2+一”(n+1)C：=(mH)C：慧参考版解析、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上已知集合A=,2,3,6,B=x|q<x<3,则ARB=i. 由交集的定义可得Ar|B=-1,2.复数z=（1+2i（3-i）,其中i为虚数单位，则z的实部是5；ii. 由复数乘法可得z=5+5i,则则z的实部是5.22在平面直角坐标系xOy中，双曲线x_匕=1的焦距是.732回；iii. c=Ja2+b2=丽,因此焦距为2c=2丽.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是0.1；2122222iv.

10、x=5.1,s=-(0.4+0.3+0+0.3+0.4)=0.1.5函数y=。3-2xx2的定义域是1-3,11;v. 3-2x-x2>0,解得-3<x<1,因此定义域为1-3,1.如图是一个算法的流程图，则输出a的值是9；vi. a,b的变化如下表:将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次,的点数之和小于10的概率是vii.将先后两次点数记为（x,y）,则共有6M6=36个等可能基本事件，其中点数之和大于等于304,6）5,5.5,6）6,4）6,56,6户种，则点数之和小于10共有30种，概率为3036则出现向上10有

11、5二一,6a159b975则输出时a=9.已知an是等差数列，Sn是其前n项和.若ai+a；=-3,S5=10,则a§的值是20；2viii. 设公差为d,则由题意可得&+(&+d)=-3,5a1+10d=10,解得ai=Y,d=3,则ag=T+8M3=20.定义在区间10,3兀】上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7；ix. 画出函数图象草图，共7个交点.22卜如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆勺+=1(aAba0)的右焦点，直线y=b与椭圆交于B,C两ab2点，且/BFC=90,则该椭圆的离心率是x.由题意得F(c,0),直线y=2与

12、椭圆方程联立可得R5aBc隆,P1,I122J由ZBFC=90©可得BFCf=0,BF=|c+逼2CFJ3abc-,、22J则c2-4a2+*=0,由b2=一°2可得I1=-a22.6xa,-1_x:0,设f(x把定义在R上且周期为2的函数，在区间-1,1)±f(x)=42x15其中awR,若f；_5)=f(,则f(5a)的值是xi.由f-21_一+a,f232则f15a=f13=f-1-la-1'=55x-2y4_0,已知实数x,y满足<|2x+y-2>0,则x2+y2的取值范围是3x-y-3<0,x2+y2为可行域内的点到原点距离的平

13、方.xii.在平面直角坐标系中画出可行域如下可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线2x+y-2=0的距离,d=Wr等x2+y2mm='图中B点距离原点最远，B点为x2y+4=0与3xy3=0交点，则B(2,3),22贝U(x+y%ax=13.如图，在4ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上两个三等分点，BACA=4,笆于则BECE的值是彳T才xiii.令DF=a,DB=b,贝UDC=,DE=2a,DA=3a,二1，则BA=3a-b,CA=3ab,BE=2a-b,CE=2ab,BF=a-b,CF=ab,贝硬双=9"BFCFJ2-b2,xiv.由BACA=4,BF

14、cF因止匕bECE=4a2-b2=-1可得9ab=4,45137-T2a-b2325T213=-1,因此a=5,b,88在锐角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是8；由sinA=sin(兀一A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinA=2sinBsinC,可彳#sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC(*),由三角形ABC为锐角三角形，则cosB>0,cosC>0,在（*）式两侧同时除以cosBcosC可彳导tanB+tanC=2tanBtanC,p_tanBtanC,口、又tanA=-tan(兀-

15、A)=-tan(B+C)=-(#),1-tanBtanCtanBtanC贝UtanAtanBtanC=-tanBtanC,1一tanBtanC一一.-2,2tanBtanC由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=,1-tanBtanC令tanBtanC=t,由A,B,C为锐角可得tanA>0,tanB>0,tanC>0,由(#)得1tanBtanC<0,解得t>12t2tanAtanBtanC=1-t2Tt21111t2tt2111>1则0>下一-之一一，因此tanAtanBtanC取小值为8,tt4当且仅当t=2时取到等

16、此时tanB+tanC=4,tanBtanC=2,解得tanB=2+72,tanC=2-&,tanA=4(或tanB,tanC互换)，此时A,B,C均为锐角.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在4ABC中，AC=6,cosB=-,C=.54求AB的长；求cos：A一-的值.,65g2；7夜一.201.4,cosB=一，B为二角形的内角5.sinB=5ABAC'sinCsinB,零"，即：AB=5显；23T5a)cosA=-cosCB=sinBsinC-cosBcosC2.cosA=10又；A为三

17、角形的内角sinA=7_110二招cosAsinA=7J2220（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABCABQ1中，D,E分别为AB,BC的中点，点F在侧棱BB上,且B1D_LAF,A1C1_LAB.求证：直线DE/平面ACF；平面B1DE_L平面A1clF.见解析；2. 7d,E为中点，DE为必BC的中位线.DE/AC又AABCAB1C1为棱柱，:AC/AC1:DE/AC1,又：ACiC平面AiCiF,且DE0ACiF二DE/平面AiCiF；a)AABCAiBiCi为直棱柱，:AAi_L平面ABG:AA_LACi,又7ACi_LAB且AAiAAiBi=Ai,AAi,AiBi仁平面AAiBi

18、B二ACi_L平面AABiB,又：DE/ACi,DE_L平面AABB又：AiFU平面AABiB,，DE_LAF又AiF_LBiD,DEHBiD=D,且DE,BiDU平面BiDE二AF_L平面BiDE,又：AFUACiF二平面BiDE_L平面AiCiF.（本小题满分i4分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1BiCiDi,下部分的形状是正四POi的4倍.棱柱ABCD-ABCiDi（如图所示），并要求正四棱柱的高OQ是正四棱锥的高若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少；若正四棱锥的侧棱长为6m,当PO1为多少时，仓库的容积最大？3i2m3；2石m；3. P

19、O1=2m,则OO1=8m,i_i_2_323Vp4BiCDi=SabcdPOi=62=24m?VABCDAB£iDabcdim)33V=VP邛£DiVABCD*iBCiDi=3i2m3,故仓库的容积为3i2m3；a)设POi=xm,仓库的容积为V(x)贝UOOi=4xm,AiOi=J36x2m,AB=a"36x2m,Vp_AB1clD1=SaBCDPOi=2213233：.722x：x=a72x_2x=24x-xm,2VABCD.A1B1C1Di=SabcdOOi=(J722x2)X4x=288x8x3m3,233Vx=Vp_aibic1d1'Vabcd

20、_aib1c1d1-24x-x，288xBx=-263x-x312x0:二x：6,V'(x)=-26x2+312=-26(x2-12)(0<x<6),当xW(0,2*3)时，V'(x)>0,V(x评调递增,当xW(273,6)时，V'(x)<0,V(x评调递减,因此，当x=2j3时，V(x评到最大值,即PO1=28m时，仓库的容积最大.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2y2-12x-14y60=0及其上一点A(2,41设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；设平行于OA的

21、直线l与圆M相交于B,C两点，且BC=OA,求直线l的方程；TTT设点T(t,0瘴足：存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取倬范围.(x-6)+(y-1J=1y=2x+5或y=2x152-2场2+2V2?I;4.因为N在直线x=6上，设N(6,n),因为与x轴相切,i.12-7+b贝UBC=252-d2臼25呼BC=2p,即2：25(5；外=2次,解得b=5或b=15,即l：y=2x+5或y=2x15;TA+Tp=TQ,即TA=TQ-Tp=pQ，即TA=PQ，TA'=向22+42,又PQw10,即J(t_22+42<10,解得tw22后,2+2格I,对于任意t

22、W22厉,2+2721，欲使tA=PQ,TA此时TA<10,只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为|25-,必然与圆交于P、Q两点，此时TA1='PQ因此对于任意tW仔-2后,2+2面I,均满足题意,综上tW22同2+27211.(本小题满分14分).,xx已知函数fx=aba0,b0,au1,b=1.一-1设a=2,b=.2求方程f(x)=2的根；若对于任意x亡R,不等式f(2x户mf(x)-6恒成立，求实数m的最大值;fx=2x1由f(x)=2可得2+二=2,2若0<a<1,ba1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点，求ab的值.则(2x)-2x2

23、x+1=0,即(2x1)=0,则2x=1,x=0;11由题意得22x+，x>m2x+,6恒成立,令t=2x+工，则由2x>0可得t封2j2xx2=2,222，2,、一一t，44,此时t2>mt-6恒成立，即mW=t+-恒成立tt1>2时1+4>24=4,当且仅当t=2时等号成立,因此实数m的最大值为4._xxgx=fx:；-2=ab-2,g'x=aIna»bInb=aInb由0<a<1,b.bb>1可得一a1,令h(x尸Ilna+21,则h(x)递增,Inb而Ina<0,lnb>0,因此x°=logb

24、9;-.a.Inbh(x)=0,因此xW(-0o,x0)时，h(x)<0,axInbA0,则g'(x)<0；xW(R,)时，h(x)0,axInb>0,则g'(x)>0；则g(x诈1-°0,x0)递减,(x°，依涯增，因此g(x)最小值为g(x°),若9(%)<0,x<loga2时，ax>aloga2=2,bx>0,则g(x)>0；xlogb2时，ax>0,bx>bl0gb2=2,则g(x)>0；因此为<loga2且x1<x°时，g(x1)0,因此g(x而

25、(为,)有零点,x2>log2.x2xq时，g(x2)A0,因此g(x)在(x°,x2)有零点,则g(x)至少有两个零点，与条件矛盾；为若g(小户0,由函数g(x)有且只有1个零点，g(x)最小值为g(%),可得g(x0)=0,由g0=a°b0-2=0,因止匕logb'-na=0,即-Ina=1,即Ina+lnb=0,a.InbInb因此In(ab)=0,则ab=1.(本小题满分14分)记U=1,2,|,100.对数列瓜(n£N*)和U的子集T,若T=0,定义St=0;若丁=ti,t2,|",tk,定义St=a11+a12+川+%.例如：T

26、=(1,3,66时，St=a+a3+a66.现设an(nWN*)是公比为3的等比数列，且当T=2,4时，St=30.求数列心口的通项公式；对任意正整数k(1<k<100),若T£1,2,|,k,求证：St<ak+；设C£U,D=U,ScSd,求证：Sc+Scd>2Sd.an=3n;详见解析；6.当T=怙4时，St=a2+a4=a?+9a2=30,因此a2=3,从而a1=旦=1,2=3n；32.k13k-1ka)Stwa+a2+|ak=1+3+3+l|+3=<3=ak书；21. 设A=%(CHD),B=eD(CnD)，则AIIB坨，Sc=Sa+S

27、cd,Sd=Sb,Sc+Scd-2Sd=Sa-2Sb,因此原题就等价于证明Sa>2Sb.由条件Sc>Sd可知Sa>Sb.若B=0,则Sb=0,所以Sa>2Sb.若B，由Sa>Sb可知A=0,设A中最大元素为l,B中最大元素为m,若m>l+1,则由第小题，Sa+wam<Sb,矛盾.因为aAb=0,所以l*m,所以l>m+1,c一,mm-Sb<a1+a2+lll+am=1+3+32+Hl+3m=-1<-w亘w且，即Sa>2Sb.2222综上所述，Sa>2Sb,因此Sc+Scid>2Sd.数学n(附加题)选做题本题包括A、

28、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳4-1:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在4ABC中，/ABC=90）BD_LAC,D为垂足，E是BC中点.求证：/EDC=/ABD.详见解析；xv.由BD_LAC可得ZBDC=90)1由E是BC中点可得DE=CE=BC,2由NBDC=90口可得ZC+NDBC=90口,由/ABC=90口可得ZABD+NDBC=90，因此.ABD=.C,又ZEDC=ZC可得ZEDC=/ABD.已知矩阵A=1一0B.选彳4-2:矩阵与变换（本小题满分10分）-2,求矩阵AB.2xvi.11B=：BI；=220：2V4121AB=_011412一0514一1C.选彳4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为1x=1t,2二yT（t为参数），椭