一元函数微分学的应用PPT学习教案

1、会计学1一元函数微分学的应用一元函数微分学的应用 一、一、 柯西中值定理柯西中值定理 二、二、 洛必达法则洛必达法则 第1页/共86页定理定理 1 1 （柯西中值定理） 如果函数（柯西中值定理） 如果函数)(xf与与 )(xF满满足下列条件：足下列条件： (1) (1) 闭区间闭区间,ba上连续；上连续； (2) (2) 在开区间在开区间),(ba内可导内可导； (3) (3) )( xF在在),(ba内的每一点均不为零， 那么， 在内的每一点均不为零， 那么， 在),(ba内至少有一点内至少有一点， .f(b)f(a)f ()F(b)F(a)F ()使得使得第2页/共86页 把两个无穷小量之

2、比或两个无穷大量之比的极限把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为称为 00型或型或 型不定式型不定式( (也称为也称为 00型或型或 型未定型型未定型) )的极限的极限, ,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限方法方法 (1)(1) 0)(lim0 xfxx，0)(lim0 xgxx； (2) (2) )(xf与与)(xg在在 0 x的某邻域内（点的某邻域内（点 0 x可除外）可除外）可导，且可导，且0)( xg； 定定理理 2 2 ( (洛洛必必达达法法则则) ) 若若 第3页/共86页 (3) (3) Axgxfxx)()(lim0( (

3、 A为有限数，也可为为有限数，也可为或或 ) )，则，则 证证 由于我们要讨论的是函数在点由于我们要讨论的是函数在点 0 x的极限，的极限，而极限与函数在点而极限与函数在点 0 x的值无关， 所以我们可补充的值无关， 所以我们可补充)(xf与与)(xg在在0 x的定义，而对问题的讨论不会发生任何影的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响令响令0)()(00 xgxf，则，则)(xf与与)(xg在在点点 0 x就连就连续了在续了在 0 x附近任取一点附近任取一点 x，并应用柯西中值定理，并应用柯西中值定理，得得 Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim00 . . )()()()()

4、()()()(00gfxgxgxfxfxgxf (在x与 0 x之间) . 第4页/共86页由于由于0 xx 时，时，0 x ，所以，对上式取极限便得要证，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕的结果，证毕 注注：上述定理对：上述定理对x时的时的 00未定型同样适用，对于未定型同样适用，对于0 xx 或或x时的未定型时的未定型 ，也有相应的法则，也有相应的法则 第5页/共86页例例 1 1 求求123lim2331xxxxxx 解解 123lim2331xxxxxx = 12333lim221xxxx = 266lim1xxx = 46 = 23 例例 2 2 求求xxxtancos1lim

5、解解 xxxtancos1lim = xxx2cos1sinlim = 0 第6页/共86页例例 3 3 求求 arctan2lim1xxx 解解 arctan2lim1xxx = 22111limxxx = 221limxxx = 1 例例 4 4 求求 )0(lnlimnxxnx. . 解解 01lim1limlnlim1nxnxnxnxnxxxx 第7页/共86页例例 5 5 求求xxxxln11lim1 解解 这是这是未定型，通过“通分”将其化为未定型，通过“通分”将其化为 00未定型未定型 xxxxxxxxxxln) 1() 1(lnlimln11lim11xxxxxxx1ln1ln

6、1lim1 除未定型除未定型00与与之外， 还有之外， 还有00,1 ,0 ,0等未等未定型， 这里不一一介绍， 有兴趣的同学可参阅相应定型， 这里不一一介绍， 有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就的书籍，下面就未定型再举一例未定型再举一例 第8页/共86页 在使用洛必达法则时，应注意如下几点：在使用洛必达法则时，应注意如下几点： (1) (1) 每次使用法则前，必须检验是否属于每次使用法则前，必须检验是否属于 00或或 未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；未定型，若不是未定型，就不能使用该法则； (2) (2) 如果有可约因子， 或有非零极限值的乘积因子，如果有可约因子， 或有非零极限值

7、的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3) (3) 当当(x)g(x)flim不存在不存在( (不包括不包括 的情况的情况) )时，并不时，并不能断定能断定g(x)f(x)lim也不存在，此时应使用其他方法求极限也不存在，此时应使用其他方法求极限 xxxxln11lnlim121111lim21xxxx . . 第9页/共86页2 2把柯西中值定理中的“把柯西中值定理中的“)(xf与与)(xF在闭区间在闭区间,ba上连续”换成“上连续”换成“f(x)与与)(xF在开区间在开区间 ),(ba内连续”内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只

8、需画后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明出函数图象）说明 思考题思考题 1 1用洛必达法则求极限时应注意什么？用洛必达法则求极限时应注意什么？ 第10页/共86页 一、一、 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 二、二、 两个重要推论两个重要推论 三、三、 函数的单调性函数的单调性 第11页/共86页定理定理 1 1 如果函数如果函数)(xf满足下列条件：满足下列条件： （1 1） 在在 区间区间,ba上连续；上连续； （2 2） 在开区间在开区间),(ba内可导，那么，在内可导，那么，在),(ba内内至少有一点至少有一点 ，使得，使得 )()()(abfafbf .

9、. 如果令如果令abxax,，则上式为，则上式为 xfxfxxf)( )()( , 其 中其 中介 于介 于x与与xx之 间 ， 如 果 将之 间 ， 如 果 将 表 是 成表 是 成) 10(xx，上式也可写成，上式也可写成 ()( )()(01)f xxf xfxxx . 拉格朗日中值定理几何演示拉格朗日中值定理几何演示第12页/共86页推论推论 1 1 如果函数如果函数)(xf在区间在区间),(ba内满足内满足0)( xf，则在，则在),(ba内内Cxf)(（C为常数） 为常数） 证证 设设21,xx是区间是区间),(ba内的任意两点，且内的任意两点，且21xx ，于是在区间，于是在区间

10、,21xx上函数上函数)(xf满足拉格朗日满足拉格朗日中值定理的条件，故得中值定理的条件，故得 由于由于0)( f，所以，所以0)()(12xfxf，即，即)()(21xfxf. . 212112()()( )()(),f xf xf xxxx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第13页/共86页因为因为21,xx是是),(ba内的任意两点，于是上式表明内的任意两点，于是上式表明)(xf在在),(ba内任意两点的值总是相等的，即内任意两点的值总是相等的，即)(xf在在),(ba内是一个常数，证毕内是一个常数，证毕 推 论推 论 2 2 如 果

11、 对如 果 对),(ba内 任 意内 任 意 x， 均 有， 均 有)()(xgxf，则在，则在),(ba 内内)(xf与与)(xg之间只差一个之间只差一个常数，即常数，即Cxgxf)()(（C为常数） 为常数） 证证 令令)()()(xgxfxF，则，则0)( xF，由推论，由推论 1 1知 ，知 ，)(xF 在在),(ba内 为 一 常 数内 为 一 常 数C， 即， 即),(,)()(baxCxgxf，证毕，证毕 第14页/共86页如图观察区间如图观察区间,ba上的单调递上的单调递增函数增函数)(xf的图像，当的图像，当 x增大时，增大时，曲线上任一点处的切线与曲线上任一点处的切线与 x

12、轴正轴正向夹角为锐角，即向夹角为锐角，即0)( xf（个别点（个别点处处( )0fx） ，反过来是否也成立） ，反过来是否也成立呢？我们有如下定理：呢？我们有如下定理： 定理定理 2 2 设函数设函数)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内内可导，则有可导，则有 （1 1）如果在）如果在),(ba内内0)( xf，则函数，则函数)(xf在在,ba上单调增加；上单调增加； xy0ab第15页/共86页证证 设设21,xx是是,ba上任意两点上任意两点, ,且且21xx ，由拉格由拉格朗日中值定理有朗日中值定理有 )()()()(211212xxxxfxfxf . 如果如果0)( xf，

13、必有，必有0)(f，又，又012 xx， 于是有于是有0)()(12xfxf， 即即)()(12xfxf, ,由于由于21,xx)(21xx 是是,ba上任意上任意两点，所以函数两点，所以函数)(xf在在,ba上单调增加上单调增加 同理可证，如果同理可证，如果0)( xf，则函数，则函数)(xf在在,ba上上单调减少，证毕单调减少，证毕 （2 2）如果在）如果在),(ba内内0)( xf，则函数，则函数)(xf在在 ,ba上单调减少上单调减少 第16页/共86页函数单调区间的确定：函数单调区间的确定： （1 1） 求出使） 求出使0)( xf的点 （称这样的点为驻点） ，的点 （称这样的点为驻

14、点） ， （2 2）用这些驻点将）用这些驻点将)(xf的定义域分成若干个子的定义域分成若干个子区间，再在每个子区间上判断函数的单调性区间，再在每个子区间上判断函数的单调性. . 例例 讨论函数讨论函数323)(xxxf的单调性的单调性 解解 因为因为323)(xxxf, , 所以所以)2(336)( 2xxxxxf, , 令令0)( xf得驻点：得驻点：01x，22x, ,用它们将用它们将)(xf的的定义区间定义区间),(分成三个部分区间分成三个部分区间: : )0 ,(，)2 , 0(，), 2(. . 第17页/共86页当当)0 ,(x时， 有时， 有0)( xf； 当； 当)2 , 0(

15、x时时0)( xf; ;当当), 2( x时，时，0)( xf， 因此， 由定理， 因此， 由定理 2 2 知， 函数知， 函数)(xf在区间在区间)0 ,(与与), 2( 上单调减少，在区间上单调减少，在区间)2 , 0(单调增单调增加加 第18页/共86页1 1 将拉格朗日中值定理中的条件将拉格朗日中值定理中的条件)(xf“在“在闭区间闭区间,ba上连续”换为“在开区上连续”换为“在开区),(ba内连续”内连续”后后, ,定理是否还成立定理是否还成立? ?试举例试举例( (只需画图只需画图) )说明说明 罗尔罗尔(Rolle)(Rolle)中值定理中值定理 若若)(xf满足如下满足如下 3

16、 3 条条: : ( (1 1) ) 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续; ; (2) (2) 在开区间在开区间),(ba内可导内可导; ; (3) (3) 在区 间在区 间,ba端 点出的 函数 值相等端 点出的 函数 值相等 , ,即即)()(bfaf, ,则在开区间则在开区间),(ba内至少存在一点内至少存在一点, ,使使得得0)(f 思考题思考题 2 2 罗尔罗尔(Rolle)(Rolle)中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论, ,并回答所列问题并回答所列问题

17、 第19页/共86页需回答的问题需回答的问题: : ( (1 1) ) 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别区别? ? (2) (2) 若将罗尔中值定理中条件若将罗尔中值定理中条件(1)(1)换成“在开区间换成“在开区间),(ba内连续”内连续”, ,定理的结论还成立吗定理的结论还成立吗? ?画图说明画图说明 (3) (3) 不求不求)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的导数的导数, ,说明方程说明方程)(xf 有几个实根有几个实根, ,并指出它们所在的区间并指出它们所在的区间 第20页/共86页 一、一、函数的极值函数的极值 二、二、函数的最值

18、函数的最值 第21页/共86页定义定义 设函数设函数)(xf在在 0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义, ,且对且对此邻域内任一点此邻域内任一点)(0 xxx, ,均有均有)()(0 xfxf, ,则称则称)(0 xf是函数是函数)(xf的一个极大值的一个极大值; ;同样同样, ,如果对此邻域如果对此邻域内任一点内任一点)(0 xxx, ,均有均有)()(0 xfxf, ,则称则称)(0 xf是函是函数数)(xf的一个极小值函数的极大值与极小值统称为的一个极小值函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点函数的极值使函数取得极值的点 0 x, ,称为极值点称为极值点 第22页/共8

19、6页定理定理 1 1 ( (极值的必要条件极值的必要条件) ) 设设)(0 xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, , 且在点且在点0 x取得极值取得极值 , ,那么那么0)(0 xf 观察可导函数在取得极值处切线特征，观察可导函数在取得极值处切线特征， 可以看出可以看出, ,可导函数在取得极值处的可导函数在取得极值处的 切线是水平的切线是水平的, ,即极值点即极值点 0 x处处, ,必有必有 0)(0 xf, ,于是有下面的定理于是有下面的定理 证证 只证只证)(0 xf是极大值的情形由假设是极大值的情形由假设, , )(0 xf 存在存在, ,所以所以 00000)()(lim)()(l

20、im)(00 xxxfxfxxxfxfxfxxxx, , xyO第23页/共86页因为因为)(0 xf是是)(xf的一个极大值的一个极大值, ,所以对于所以对于 0 x的某的某邻域内的一切邻域内的一切 x, ,只要只要0 xx , ,恒有恒有)()(0 xfxf因此因此, ,当当0 xx 时时, , 有有0)()(00 xxxfxf于是于是, ,有有 00)()(lim0 xxxfxfxx0， 当当0 xx 时时, ,0)()(00 xxxfxf, ,所以所以 00)()(lim0 xxxfxfxx 0, ,从而得到从而得到0)(0 xf 类似可证类似可证)(0 xf为极小值情形为极小值情形,

21、 ,证毕证毕 第24页/共86页函数极值点特征：对于可导函数由定理函数极值点特征：对于可导函数由定理 1 1 知，可导函数知，可导函数)(xf的极值点必是的极值点必是)(xf的驻点反过来的驻点反过来, ,驻点却不一定驻点却不一定 是是)(xf的极值点如的极值点如0 x是函数是函数3)(xxf的驻点，但的驻点，但不是其极值点对于连续函数不是其极值点对于连续函数, ,它的极值点还可能是它的极值点还可能是使导数不存在的点使导数不存在的点, ,称这种点为尖点 例如称这种点为尖点 例如, ,xxf)(，但但0 x处导数不存在处导数不存在, ,但是，但是，0 x是它的极小值点是它的极小值点 定理定理 （极

22、值的第一充分条件）设（极值的第一充分条件）设)(xf在点在点 0 x连续，在点连续，在点 0 x的某一空心邻域内可导当的某一空心邻域内可导当 x由小由小增大经过增大经过 0 x时，如果时，如果 (1)(1) )(xf 由正变负，那么由正变负，那么 0 x 是极大值点；是极大值点；(2)(2) )(xf 由负变正，那么由负变正，那么 0 x是极小值是极小值点；点；(3) (3) )(xf 不变号，那么不变号，那么 0 x不是极值点不是极值点 第25页/共86页证证 （）由假设知，（）由假设知，)(xf在在 0 x的左侧邻近单调的左侧邻近单调增加增加, , 即当即当0 xx 时，时，)()(0 x

23、fxf; ;在在0 x的右侧邻近的右侧邻近单调减少，即当单调减少，即当0 xx 时，时，)()(0 xfxf. .因此因此 0 x是是)(xf的的极大值点极大值点, , )(0 xf是是)(xf的极大值的极大值 类似可以证明（类似可以证明（2 2） ） (3)(3) 由假设，当由假设，当 x在在 0 x 的某个邻域的某个邻域)(0 xx 内取内取值时，值时，)0(0)( xf，所以，在这个邻域内是单调增加，所以，在这个邻域内是单调增加（减少）的，因此（减少）的，因此0 x不是极值点，证毕不是极值点，证毕 定理定理 （极值的第二充分条件）（极值的第二充分条件） 设设)(xf在点在点 0 x处具有

24、二阶导数处具有二阶导数, ,且且0)(0 xf, ,0)( xf 第26页/共86页(1)(1) 如果如果0)(0 xf, ,则则)(xf在点在点 0 x取得极大值；取得极大值； (2) (2) 如果如果0)(0 xf, ,则则)(xf在点在点 0 x取得极小值取得极小值 证证 （）由于（）由于0)(0 xf, ,所以所以 0)( )( lim)(0000 xxxfxfxfxx， 所以，在所以，在0 x的某邻域内必有的某邻域内必有 0)()(00 xxxfxf , , )(0 xx ， 因为因为0)( xf，所以有，所以有0)(0 xxxf , , )(0 xx . . 第27页/共86页从而

25、知道， 当从而知道， 当0 xx 时，时，0)( xf； 当； 当0 xx 时，时，0)( xf, ,由定理知由定理知)(0 xf为为)(xf的极大值类似地可证明的极大值类似地可证明（） ，证毕（） ，证毕. . 例例 求函数求函数xxxxf96)(23的极值的极值. . 解解 一一 因 为因 为96)(23xxxf的 定 义 域 为的 定 义 域 为( (,),),且且 )3)(1(39123)(2xxxxxf, , 令令0)( xf，得驻点，得驻点11x, ,32x . . 在在) 1 ,(内，内，0)( xf，在，在)3 , 1 (内，内，0)( xf, ,故由定理故由定理2 2 知，知

26、，4) 1 (f为函数为函数)(xf的极大值的极大值 第28页/共86页解二解二 因为因为xxxxf96)(23的定义域为的定义域为),(， 且且 9123)(2xxxf, ,126)( xxf 令令0)( xf, ,得驻点得驻点11x, ,32x又因为又因为06) 1 ( f, ,所以，所以，4) 1 (f为极大值为极大值 06)3( f, ,所以所以0)3(f为极小值为极小值 例例 2 2 求函数求函数32) 1(2)(xxf的极值的极值 解解 因 为因 为32) 1(2)(xxf的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(, ,且且)(xf在在),(上连续，所以上连续，所以 第29页/共8

27、6页131322( )(1)(1)33(1)fxxxx , ,1x时时, ,)(xf 不存不存在在 , , 所 以所 以1x为为)(xf的 可 能 极 值 点 在的 可 能 极 值 点 在) 1 ,(内内, ,0)( xf; ;在在), 1 ( 内内, ,0)( xf, ,由定理知由定理知)(xf在在1x处取得极大值处取得极大值2) 1 (f 第30页/共86页对于闭区间对于闭区间,ba上的连续函数上的连续函数)(xf由最值存在定由最值存在定理知一定存在着最大值和最小值显然，函数在闭区理知一定存在着最大值和最小值显然，函数在闭区间间,ba上的最大值和最小值只能在区间上的最大值和最小值只能在区间

28、),(ba内的极内的极值点和区间端点处达到因此可得求闭区间值点和区间端点处达到因此可得求闭区间,ba上的上的连续函数连续函数)(xf的最值步骤为： （的最值步骤为： （1 1）求出一切可能的极）求出一切可能的极值点值点( (包括驻点和尖点包括驻点和尖点) )和端点处的函和端点处的函数值， （数值， （2 2）比较）比较这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值的值为函数的最小值 第31页/共86页例例 3 3 求函数求函数xxxxf1232)(23在在4 , 3上的最上的最大值和最小值大值和最小值 解解 因为因为 在在xxxx

29、f1232)(23在在4 , 3上连续，上连续，所以在该区间上存在着最大值和最小值所以在该区间上存在着最大值和最小值 又因为又因为) 1)(2(61266)(2xxxxxf, , 令令0)( xf, ,得驻点得驻点21x, ,12x, ,由于由于 20)2(f, ,7) 1 (f, ,9)3(f, ,128)4(f 比较各值可得函数比较各值可得函数)(xf的最大值为的最大值为128)4(f, ,最小值最小值为为7) 1 (f 对于实际问题的最值， 往往根据问题的性质就可断对于实际问题的最值， 往往根据问题的性质就可断定函数定函数)(xf在定义区间的内部确有最大值或最小值在定义区间的内部确有最大

30、值或最小值 第32页/共86页理论上可以证明： 若实际问题断定理论上可以证明： 若实际问题断定)(xf在其定义区间内在其定义区间内部（不是端点处）存在最大值（或最小值） ，且部（不是端点处）存在最大值（或最小值） ，且0)( xf在定义区间内只有一个根在定义区间内只有一个根0 x, ,那么，可断定那么，可断定)(xf在点在点 0 x取得相应的最大值（最小值） 取得相应的最大值（最小值） 例例 4 4 有一块宽为有一块宽为a2的长方形铁皮，将宽的两的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为形，高为x, ,问高问高 x

31、取何值时水槽的流量最大取何值时水槽的流量最大( (下图所下图所示为水槽的横截面）？示为水槽的横截面）？ 解解 设两边各折起设两边各折起 x, ,则横截面积为则横截面积为 )(2)(xaxxS )0(ax x2a-2xx第33页/共86页这样，问题归结为：当这样，问题归结为：当 x为何值时，为何值时，)(xS取得最大值取得最大值 由于由于xaxS42)(, ,所以令所以令0)( xS, ,得得)(xS的的惟惟一驻点一驻点2ax 又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积 所以

32、，所以，)(xS的最大值在的最大值在2ax 处取得，即当处取得，即当2ax 时，水槽的流量最大时，水槽的流量最大 例例 5 5 铁路线上铁路线上AB的距离为的距离为 100 km,100 km,工厂工厂C距距A处处为为 2020 km, km,AC垂直于垂直于AB, ,要在要在AB线上选定一点线上选定一点 D向工向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每厂修筑一条公路，已知铁路与公路每 kmkm 货运费之比为货运费之比为3 3：5,5,问问D选在何处，才能使从选在何处，才能使从B到到 C的运费最少的运费最少? ? 第34页/共86页解解 设设 xAD (km),(km),则则 xDB100, ,22

33、20 xCD 由于铁路每由于铁路每 kmkm 货物运费货物运费与公路每与公路每 kmkm 货物运费之比为货物运费之比为3 3：5 5，因此，不妨设铁路上每，因此，不妨设铁路上每km km 运费为运费为k3, ,则公路上每则公路上每 kmkm运费为运费为k5, ,并设从并设从 B 到到 C 点需点需要的总运费为要的总运费为 y, ,则则 )100(320522xkxky 0( x )100. . 由此可见，由此可见，x过大或过小，总运费过大或过小，总运费 y均不会变小，均不会变小，故有一个合适的故有一个合适的 x使总运费使总运费 y达到最小值达到最小值 C BAD 第35页/共86页又因为又因为

34、 340052xxky 令令0 y, ,即即2530400 xx, ,得得15x为函数为函数 y在在其定义域内的惟一驻点，故知其定义域内的惟一驻点，故知 y在在15x处取得最小处取得最小值，即值，即D点应选在距点应选在距 A为为 15 kmkm 处，运费处，运费最少最少 第36页/共86页 1. 1. 画图说明闭区间上连续函数画图说明闭区间上连续函数)(xf的极值与最的极值与最值之间的关系值之间的关系 2. 2. 可能极值点有哪几种可能极值点有哪几种？如何判断可能极值点如何判断可能极值点是否为极值点是否为极值点. . 思考题思考题 第37页/共86页 一、一、曲率的概念曲率的概念 二、二、曲率

35、的计算曲率的计算第38页/共86页设设和和 , ,是曲线是曲线)(xfy 上两个点，假如曲线在上两个点，假如曲线在点和点和点的切线与点的切线与 x 轴的夹角分别为轴的夹角分别为 和和 ，那，那么， 当点从么， 当点从沿曲线沿曲线)(xfy 变到变到 时，时， 角度改变了角度改变了 ，而改变这个角度所经过的路程则是弧长而改变这个角度所经过的路程则是弧长s AB，我们，我们自然就用比值自然就用比值s来刻画曲线段来刻画曲线段 AB上的弯曲程度，称上的弯曲程度，称为平均曲率为了刻画曲线在某点处的曲率，我们有如为平均曲率为了刻画曲线在某点处的曲率，我们有如下定义下定义 定义定义 称称sskxddlim0

36、为曲线在点为曲线在点 A的曲率的曲率 第39页/共86页例例 1 1 求半径为求半径为R的圆的平均曲率及曲率的圆的平均曲率及曲率. . 解解 在图中，由于在图中，由于BOA 等于等于 ， 又等于又等于Rs，所以，所以RsRss1 为弧为弧 AB 段的平均曲率，段的平均曲率， 当当 时，有时，有0s， 所以圆上任意一点所以圆上任意一点 A 的曲率的曲率 RRsakss11limlim00 . O xyOABa+aaa第40页/共86页可见可见, ,圆上任一点处的曲率都等于圆半径的倒数圆上任一点处的曲率都等于圆半径的倒数. .因而圆的半径愈大因而圆的半径愈大, ,曲率愈小曲率愈小; ;半径愈小半径

37、愈小, ,曲率愈大曲率愈大. .这这表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度. . 由于圆的半径等于圆的曲率的倒数由于圆的半径等于圆的曲率的倒数, ,所以对于一般所以对于一般的曲线的曲线, ,我们把它在各点的曲率的倒数称为它在该点的我们把它在各点的曲率的倒数称为它在该点的曲率半径曲率半径, ,记为记为R, ,因此因此, ,kR1( (如果如果0k, ,则说明曲率则说明曲率半径为半径为) ). . 第41页/共86页以以s表示这条曲线由基点表示这条曲线由基点0M到点到点M的一段弧的一段弧0M M的长的长度（当度（当M在在0M右边时规定右边时规定0s, ,当当M在在0M左边

38、时规定左边时规定0s）, ,弧长弧长 s是是 x的函数，的函数， 设函数设函数)(xfy 在在),(ba内具有连续导数，内具有连续导数， 0 x为为),(ba内一个定点；内一个定点；x, ,xx为为),(ba内两个邻近的点；内两个邻近的点；0M，M，M分别为曲线分别为曲线)(xfy 上与上与 0 x, , x, , xx对应的点对应的点. . Ox yabM0MMxyxxx0 x第42页/共86页设对应于设对应于 x的增量的增量 x，弧长，弧长 s的增量为的增量为 s， 则则00sM MM M. .于是有于是有0lim0MMx我们还我们还可以证明：可以证明：1lim0MMsx这就是说这就是说

39、s与与MM是是 0s时的两个等价无穷小量，因此时的两个等价无穷小量，因此 00220dlimlimd()()limxxxssMMxxxxyx 21y, 所以所以 xysd1d2. . 第43页/共86页又因为曲线又因为曲线)(xfy 在点在点 M处的切线斜率为处的切线斜率为tany 所以，所以，arctan y 2dd1yxy, , 因此因此 223/22dd1d(1)1dyxyyksyyx 这就是曲线这就是曲线)(xfy 的曲率计算公式的曲率计算公式 第44页/共86页例例 2 2 求直线求直线baxy的曲率的曲率 解解 因为因为ay , ,0 y, ,所以所以 0k, ,即直线的即直线的弯

40、曲程度为弯曲程度为 0（直线不弯曲） （直线不弯曲） 例例 3 3 一飞机沿抛物线路径一飞机沿抛物线路径40002xy 做俯冲飞行， 在做俯冲飞行， 在原点原点O处的速度为处的速度为400v m/s m/s 飞行员体重飞行员体重 7070 kg kg，求俯，求俯冲到原点时，飞行员对座椅的压力冲到原点时，飞行员对座椅的压力 解解 在在O点飞行员受到两个力作用，即重力点飞行员受到两个力作用，即重力 P和座椅对飞行员的反力和座椅对飞行员的反力 Q， 他们的合力， 他们的合力P-Q为飞行员为飞行员随飞机俯冲到随飞机俯冲到O点时， 所需的向心力点时， 所需的向心力 F, ,即即FP-Q或或FQ P，物体

41、做匀速圆周运动时，物体做匀速圆周运动时，向心力为，向心力为 2mRv（R为圆半径）为圆半径） 第45页/共86页O 点可看成是曲线在这点的曲率圆上点可看成是曲线在这点的曲率圆上的点，所以在这点向心力为的点，所以在这点向心力为 2mFRv（R为为 O点的曲率半点的曲率半径） ，径） ， 因为因为 020000 xxy, ,20001 y 故曲线在故曲线在 O O 点的曲率点的曲率20001k, ,曲率半径曲率半径 R R=2000=2000 m m，所以，所以 N5600N2000)400(702F )56008 . 970(QN N6286 N N 因为飞行员对座椅的压力和座椅对飞行员的反力因

42、为飞行员对座椅的压力和座椅对飞行员的反力大小相等，方向相反，所以，飞行员对座椅的压力为大小相等，方向相反，所以，飞行员对座椅的压力为62866286 N N. . yPOxQ第46页/共86页 1.1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？ 为什么？为什么？ 2.2.是否存在负曲率，为什么？是否存在负曲率，为什么？ 思考题思考题 第47页/共86页 一、一、曲线的凹向及其判别法曲线的凹向及其判别法 二、二、拐点及其求法拐点及其求法 三、三、曲线的渐近线曲线的渐近线 四、四、函数作图的一般步骤函数作图的一般步骤 第48页/共86页定义定义 1 1 若在某区间若

43、在某区间()a,b内曲线段总位于其上任意内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称曲线段在一点处切线的上方，则称曲线段在 ()a,b内是向上凹的内是向上凹的（简称上凹， 也称凹的） ； 若曲线段总位于其上任一点处（简称上凹， 也称凹的） ； 若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段切线的下方，则称该曲线段),(ba内是向下凹的（简称下内是向下凹的（简称下凹，也称凸的） 凹，也称凸的） 从图可以看出曲线段从图可以看出曲线段AB是下凹是下凹的；曲线段的；曲线段 BC是上凹的是上凹的 定理定理 1 1 设函数设函数 y= =)(xf在开在开区间区间()a,b内具有二阶导数内具有二阶导数

44、(1)(1)若在若在()a,b内内0)( xf, ,则曲则曲线线)(xfy 在在),(ba内是向上凹的；内是向上凹的； yOx ABCabc 第49页/共86页(2)(2)若在若在),(ba内内0)( xf, ,则曲线则曲线)(xfy 在在),(ba上是上是向下凹的向下凹的. 若把定理若把定理1 1中的区间改为无穷区间， 结论仍然成立中的区间改为无穷区间， 结论仍然成立 例例 1 1 判定曲线判定曲线xyln的凹向的凹向 解解 函数函数xyln的定义域为的定义域为), 0( , , xy1, , 21xy , ,当当0 x时，时，0 y， 故曲线， 故曲线xyln在在), 0( 内内是向下凹的

45、是向下凹的 第50页/共86页定义定义 2 2 若连续曲线若连续曲线 y= =)(xf上的点上的点 P是曲线向是曲线向上凹与向下凹的分界点，则称上凹与向下凹的分界点，则称 P是曲线是曲线)(xfy 的拐的拐点点 由于拐点是曲线凹向的分界点， 所以拐点左右两侧由于拐点是曲线凹向的分界点， 所以拐点左右两侧近旁近旁)(xf 必然异号因此，曲线拐点的横坐标必然异号因此，曲线拐点的横坐标 0 x，只可能是使只可能是使0)( xf的点或的点或)(xf 不存在的点从而可不存在的点从而可得求得求),(ba内连续函数内连续函数 y= =)(xf拐点的步骤：拐点的步骤： (1) (1) 先求出先求出)(xf ，

46、找出在，找出在),(ba内使内使0)( xf的点的点和和)(xf 不存在的点；不存在的点； (2) (2) 用上述各点按照从小到大依次将用上述各点按照从小到大依次将),(ba分成小分成小区间区间, ,再在每个小区间上考察再在每个小区间上考察)(xf 的符号；的符号； 第51页/共86页(3) (3) 若若)(xf 在某点在某点 ix两侧近旁异号， 则两侧近旁异号， 则(,()iixf x是曲线是曲线y= =)(xf的拐点，否则不是的拐点，否则不是 例例 2 2 曲线曲线3xy 的定义域为的定义域为),(，画其草图，画其草图 解解 因为因为3xy 的定义域为的定义域为),(，且且23xy , ,

47、 xy6 , , 令令0 y，得，得0 x 用用0 x将将),(分成两个分成两个 小区间：小区间：)0 ,( 和和), 0( . . 当当)0 ,(x时，时，0 y, , 曲线曲线3xy 下凹下凹 当当), 0( x时，时，0 y, , 曲线曲线3xy 上凹上凹 所以，点所以，点)0 , 0(为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 yxO11-1-1第52页/共86页定义定义 3 3 若曲线若曲线C上动点上动点 P沿着曲线无限地远离沿着曲线无限地远离原点时，点原点时，点 P与某一固定直线与某一固定直线 L的距离趋于零，的距离趋于零， 则称直线则称直线 L为曲线为曲线 C的渐的渐近近线线 1 1斜渐斜

48、渐近近线线 定理定理 2 2 若若)(xf满足：满足： (1) (1) kxxfx)(lim; ; (2) (2) bkxxfx)(lim, , 则曲线则曲线y= =)(xf有斜渐有斜渐近近线线bkxy yOxCMNPLay kx b( )yf x第53页/共86页例例 3 3 求曲线求曲线3223xxxy的渐的渐近近线线 解解 令令32)(23xxxxf, ,因为因为 132lim)(lim22xxxxxfkxx, 2)32(lim)(lim23xxxxkxxfbxx, 故得曲线的渐故得曲线的渐近近线方程为线方程为2 xy 第54页/共86页2 2铅直渐铅直渐近近线线 定义定义 4 4 若

49、当若 当Cx 时（有时仅当时（有时仅当Cx或或Cx） ，） ，)(xf则称直线则称直线Cx 为曲线为曲线)(xfy 的铅的铅直渐近线（也叫垂直渐近线） （其中直渐近线（也叫垂直渐近线） （其中 C为常数） 为常数） 所以当所以当3x和和1x时时 ，有，有y，所以曲线，所以曲线3223xxxy有两条铅直渐近线有两条铅直渐近线3x和和1x 例例 ) 1)(3(32323xxxxxxy， 第55页/共86页例例 当当x时，有时，有2e0 x, ,所以所以0y为曲线为曲线2exy的水平渐近线的水平渐近线. . y O x 3 3水平渐水平渐近近线线 定义定义 5 5 若当若当x时，时，Cxf)(则称曲

50、线则称曲线)(xfy 有水平渐近线有水平渐近线Cy . . 第56页/共86页(1) (1) 确定函数的定义域及值域；确定函数的定义域及值域； (2) (2) 考察函数的周期性与奇偶性；考察函数的周期性与奇偶性； (3)(3) 确定函数的单增、单减区间、极值点、凹确定函数的单增、单减区间、极值点、凹凸区间及其拐点；凸区间及其拐点； (4) (4) 考察渐近线；考察渐近线； (5) (5) 考察与坐标轴的交点考察与坐标轴的交点 最后，根据上面几方面的讨论画出函数的图最后，根据上面几方面的讨论画出函数的图像像 第57页/共86页例例 4 4 描绘函数描绘函数xyx1e的图的图像像 解解 函数函数x

51、xfy1e)(x的定义域为的定义域为1x的全的全体实数，且当体实数，且当1x时，有时，有0)(xf，即，即1x时，图时，图像像在在x轴下方，当轴下方，当1x时，有时，有0)(xf, ,即即1x时，时，图图像像在在x轴上方轴上方 由于由于)(lim1xfx，所以，所以1x为曲线为曲线)(xfy 的的铅直渐铅直渐近近线线 又因为又因为01elimxxx，所以，所以，0y为该曲线的水为该曲线的水平渐平渐近近线线 第58页/共86页因为因为 2)1 (exxyx, , 32)1 () 1(exxyx ， 令令0 y, ,得得, 0 x又又1x时，时，y 不存在不存在 用用0 x, ,1x将定义区间分开

52、， 并进行讨论如将定义区间分开， 并进行讨论如下：下： x (,1) (1,0) 0 (0,+) y + y + + y 极小值 注注：符符号号 表表示示曲曲线线单单减减且且下下凹凹； 表表示示单单增增且且上上凹凹，其其余余类类推推 第59页/共86页极极小小值值0e(0)11 0f. .根根据据如如上上讨讨论论，画画出出图图像像 y O x 1 2 1 2 -1 第60页/共86页例例 5 5 描绘函数描绘函数xxxfln)(的图的图像像 （2 2） 渐渐近近线线 因为因为)(lim0 xfx，所以，所以0 x为铅直渐为铅直渐近近线线 又因为又因为0lnlimxxx，所以，所以y=0=0 为

53、水平渐为水平渐近近线；线； （3 3） 因为因为2/32ln2xxy，2/548ln3xxy 所以所以，令令0 y得得2ex389. 7令令0 y得得 38ex39.14; ; 解解 （1 1）定义域）定义域), 0( ； 第61页/共86页（4 4） 列表讨论：列表讨论： x (0,e2) e2 (e2,e8/3) e8/3 (e8/3,+) y + y + y 极大值极大值 2e 拐点拐点48/338(e, e)3 第62页/共86页y O x 1 e2 e8/3 (5)(5) 令令ln0 xx，得，得 x=1=1 为曲线与为曲线与 x 轴交点的横轴交点的横坐标坐标 (6) (6) 根据上

54、述讨论画出曲线根据上述讨论画出曲线 第63页/共86页1 1 若 若)(,(00 xfx为连续曲线弧为连续曲线弧)(xfy 的拐点， 问：的拐点， 问： (1) (1) )(0 xf有无可能为有无可能为)(xf的极值，为什么？的极值，为什么？ (2) (2) )(0 xf 是否一定存在？为什么？画图说明是否一定存在？为什么？画图说明 2. 2. 根据下列条件，画曲线：根据下列条件，画曲线： (1) (1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正；处为正； (2) (2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，

55、但一阶导数处处为正；但一阶导数处处为正； (3) (3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负；但一阶导数处处为负； (4) (4) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为负处为负 思考题思考题 第64页/共86页 一、一、成本函数与收入函数成本函数与收入函数 二、二、边际分析边际分析 三、三、弹性与弹性分析弹性与弹性分析第65页/共86页一个企业的经营效益取决于该企业的成本支出、收一个企业的经营效益取决于该企业的成本支出、收 入以及二者关于产量变化率等因素本节重点研究导数入以及二者关于产量

56、变化率等因素本节重点研究导数 应用于成本函数和收入函数应用于成本函数和收入函数 成本函数成本函数( )C q给出了生产给出了生产数量为数量为 q的某种产品的总的某种产品的总成本成本 )(qC是单增函数是单增函数. .对一些产对一些产品来说，如汽车或电视机等，产品来说，如汽车或电视机等，产量量q只能是整数，所以只能是整数，所以)(qCC 的图像由彼此孤立的点组成 （右的图像由彼此孤立的点组成 （右图一） ；对糖、煤等产品来说，图一） ；对糖、煤等产品来说，产量产量q可以连续变化，所以可以连续变化，所以)(qCC 的图像可能是一条连的图像可能是一条连续曲线（右图二） 续曲线（右图二） O C q

57、图二 O C q 图一 第66页/共86页总假定成本函数总假定成本函数)(qCC 对一切非负实数有意义对一切非负实数有意义 由于任何企业在正式生产之前，都要先期投入，即企由于任何企业在正式生产之前，都要先期投入，即企业的产量业的产量0q时，成本时，成本0)0(CC一般不为零，通常成为固一般不为零，通常成为固定成本，几何上，固定成本定成本，几何上，固定成本 C0 0就是成本函数曲线在就是成本函数曲线在 C 轴上轴上的截距的截距 一般来说，成本函数最初一段时间增长速度很快，然一般来说，成本函数最初一段时间增长速度很快，然后逐渐慢下来（即成本函数后逐渐慢下来（即成本函数)(qCC 的曲线的斜率由大到

58、的曲线的斜率由大到小变化，曲线下凹） ，因为生产产品数量较大时要比数量小变化，曲线下凹） ，因为生产产品数量较大时要比数量较小时的效率高较小时的效率高这称为经济规模 当产品保持较高水这称为经济规模 当产品保持较高水平时， 随着资源的逐渐匮乏， 成本函数再次开始较快增长，平时， 随着资源的逐渐匮乏， 成本函数再次开始较快增长，当不得不更新厂房等设备时，成本函数就会急速增长因当不得不更新厂房等设备时，成本函数就会急速增长因此，曲线此，曲线)(qCC 开始时是下凹的，后来是上凹的（如上开始时是下凹的，后来是上凹的（如上页页图图二二） ） 第67页/共86页 收入函数收入函数)(qR表示企业售出数量为

59、表示企业售出数量为 q的某种产品所的某种产品所 获得的总收入由于售出量获得的总收入由于售出量 q 越多，收入越多，收入)(qR越大，所越大，所 以以)(qR是单增函数是单增函数. . 如果价格如果价格p是常数是常数, ,那么那么 qpR ,数量价格收入 且且R的图像是通过原点的图像是通过原点的直线（图一） ，实际上，当的直线（图一） ，实际上，当产量产量q的值增大时， 产品可能的值增大时， 产品可能充斥市场，从而造成价格下充斥市场，从而造成价格下落，落，R的图像如图二的图像如图二 作出决策常考虑到利润作出决策常考虑到利润 L, , 成本收入利润, ,即即CRL. . O R q 图一 O R

60、q 图二 第68页/共86页例例 1 1 如果成本函数如果成本函数)(qC及收入函数及收入函数)(qR由下图给由下图给 出，问出，问q的值多大时，企业可获得利润的值多大时，企业可获得利润 ？ 解解 只有当收入大于只有当收入大于成本时，即成本时，即 R C 时，企业时，企业才可以获得利润 由右图可才可以获得利润 由右图可知， 当知， 当200100 q时，时，R的的图像位于图像位于C的图象之上，因的图象之上，因此产量介于此产量介于100和和200之间，之间，可获得利润可获得利润 C O R q C R 100 200 第69页/共86页边际概念是经济学中的重要概念，通常指经济变化边际概念是经济学