通信原理_第4讲_随机过程(2)_电07

1、第1页2022-5-10第2页2022-5-103.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念3.2 平稳随机过程平稳随机过程3.3 高斯随机过程高斯随机过程3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统3.5 窄带随机过程窄带随机过程3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声3.8 小结小结第3页2022-5-10本章重点：随机过程的分布函数随机过程的分布函数随机过程的数字特征随机过程的数字特征几种重要随机过程的统计特性几种重要随机过程的统计特性（平稳随机过程；高斯随机（平稳随机过程；高斯随机过程；窄带随机过程；正弦波加窄带高

2、斯噪声；高斯白噪过程；窄带随机过程；正弦波加窄带高斯噪声；高斯白噪声；带限白噪声）声；带限白噪声）随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统第4页2022-5-10一、一、确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统（复习）（复习）二、随机信号通过线性系统二、随机信号通过线性系统三、输出过程三、输出过程 o(t) 的均值的均值四、输出过程四、输出过程 o(t) 的自相关函数的自相关函数五、输出过程五、输出过程 o(t) 的功率谱密度的功率谱密度六、输出过程六、输出过程 o(t) 的概率分布的概率分布第5页2022-5-10 式中式中vi 输入信号，输入信号，vo 输出信号输出信号对应的傅里叶变换关系

3、：一、确知信号通过线性系统（复习）一、确知信号通过线性系统（复习） dthvthtvtvii)()()()()(0 )()()(0fHfVfVi 随机过程通过线性系随机过程通过线性系统的分析，完全是建统的分析，完全是建立在确知信号通过线立在确知信号通过线性系统分析基础上性系统分析基础上 dtvhtvthtvii)()()()()(0 第6页2022-5-10 假设：假设： i(t) 是平稳的输入随机过程是平稳的输入随机过程 a 均值均值 Ri( ) 输入随机过程自的相关函数输入随机过程自的相关函数 Pi( ) 输入随机过程的功率谱密度输入随机过程的功率谱密度 求输出过程求输出过程 o(t) 的

4、统计特性的统计特性，即它的，即它的均值均值、自相关函数自相关函数、功率谱功率谱以及以及概率分布概率分布。二、随机信号通过线性系统二、随机信号通过线性系统 dthti)()()(0是v0,n(t)的集合第7页2022-5-10 对下式两边取统计平均：对下式两边取统计平均： 得到：得到： 设输入过程是平稳的，则有：设输入过程是平稳的，则有： 式中：式中：H(0) 是线性系统在是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此处的频率响应，因此输出输出过程的均值是一个常数过程的均值是一个常数。三、输出过程三、输出过程 o(t) 的均值的均值 dthti)()()(0 dtEhdthEtEii)()()()(

5、)(0atEtEii )()( )0()()(0HadhatE 第8页2022-5-10 根据自相关函数的定义：根据自相关函数的定义： 根据输入过程的平稳性，有：根据输入过程的平稳性，有： 于是：于是： 上式表明：上式表明：输出过程的自相关函数仅是时间间隔输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数的函数。 结论：结论：若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。 四、输出过程四、输出过程 o(t) 的自相关函数的自相关函数 ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(11111010110 )()()(1

6、1 iiiRttE)()()()(),(0110 RddRhhttRi 第9页2022-5-10对下式进行傅里叶变换：对下式进行傅里叶变换：得出：得出：令：令： = + ，代入上式，得到：，代入上式，得到：即：即：结论：结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方应模值的平方。应用：应用：由由Po( f ) 的反傅里叶变换求的反傅里叶变换求 Ro( )。五、输出过程五、输出过程 o(t) 的功率谱密度的功率谱密度)()()()(),(0110 RddRhhttRi deddRhhdeRfPjij00)()()

7、()()( deRdehdehfPjijj)()()()(0)()()()()()(2*0fPfHfPfHfHfPii 第10页2022-5-10如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的的。从积分原理看：从积分原理看：可以表示为：可以表示为：由于已假设由于已假设 i(t) 是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是一个高斯随机变量。因此输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概

8、率论理论得知，这个是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个“和和”也是也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。结论：高斯过程经线性变换后仍为高斯过程高斯过程经线性变换后仍为高斯过程。六、输出过程六、输出过程 o(t) 的概率分布的概率分布 dthti)()()(0kkkkihttk )()(lim)(000第11页2022-5-10一、一、问题的提出问题的提出二、二、 c(t) 和和 s(t) 的统计特性的统计特性三、三、a (t) 和和 (t) 的统计特性的统计特性第12页2022-5-10 什么是窄带随机过程？什么是窄带随机过程？ 随机

9、过程随机过程 (t) 的谱密度集中在中心频率的谱密度集中在中心频率 fc 附近相对窄的附近相对窄的频带范围频带范围 f 内，即满足：内，即满足：q f fc的条件的条件q fc 远离零频率远离零频率称该称该 (t) 为窄带随机过程。为窄带随机过程。一、问题的提出一、问题的提出第13页2022-5-10典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数：窄带随机过程的频谱密度和波形示意图窄带随机过程的频谱密度和波形示意图一、问题的提出一、问题的提出第14页2022-5-10窄带随机过程的表示式窄带随机过程的表示式： 式中：式中：a (t) 随机包络随机包络 (t) 随机相位

10、随机相位 c 中心角频率中心角频率 显然：显然：a (t) 和和 (t) 的变化相对于载波的变化相对于载波 cos ct 的变化要缓慢得多。的变化要缓慢得多。一、问题的提出一、问题的提出0)(,)(cos)()( tatttatc 第15页2022-5-10窄带随机过程表示式展开窄带随机过程表示式展开： 可以展开为：可以展开为：一、问题的提出一、问题的提出tttttcscc sin)(cos)()( 0)(),(cos)()( tatttatc tttatttatcc sin)(sin)(cos)(cos)()( (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量第16页2022-5-10

11、结论： (t) 的统计特性由的统计特性由 a (t) 和和 (t) 或或 c(t) 和和 s(t) 的统的统计特性确定。若计特性确定。若 (t) 的统计特性已知，则的统计特性已知，则 a (t) 和和 (t) 或或 c(t) 和和 s(t) 的统计特性也随之确定的统计特性也随之确定。假设： (t) 是一个是一个均值为均值为0，方差为方差为 的平稳高斯窄带过的平稳高斯窄带过程程一、问题的提出一、问题的提出2 第17页2022-5-10(1) 数学期望：数学期望： 对下式求数学期望：对下式求数学期望： 得到：得到： 因为因为 (t) 平稳且均值为零，故对于任意的时间平稳且均值为零，故对于任意的时间

12、 t，都有，都有E (t)=0，所以：，所以：二、二、 c(t) 和和 s(t) 的统计特性的统计特性tttttcscc sin)(cos)()( ttEttEtEcscc sin)(cos)()( 0)(0)( tEtEsc 第18页2022-5-10(2) 自相关函数：自相关函数：由自相关函数的定义式：由自相关函数的定义式： 式中：式中： 二、二、 c(t) 和和 s(t) 的统计特性的统计特性 )(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),()()(),( ttttRttttRttttRttttRttEttRccsccsccccsccc)()(),

13、()()(),()()(),()()(),( ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccctttttcscc sin)(cos)()( 第19页2022-5-10(2) 自相关函数：自相关函数： 因为因为 (t) 是平稳的，故有：是平稳的，故有： 这就要求上式的右端与时间这就要求上式的右端与时间 t 无关，而仅与无关，而仅与 有关。有关。 因此，若令因此，若令t = 0，上式仍应成立，它变为：，上式仍应成立，它变为： 因与时间因与时间 t 无关，以下二式自然成立：无关，以下二式自然成立： 所以，上式变为：所以，上式变为： 再令再令t=/2 c，同理可以求得：，同

14、理可以求得：二、二、 c(t) 和和 s(t) 的统计特性的统计特性)(),( RttR ccsccttRttRRsin),(cos),()( )(),()(),( cscsccRttRRttR ccsccRRRsin)(cos)()( csccsRRRsin)(cos)()( 第20页2022-5-10 结论1：若窄带过程若窄带过程 (t) 是平稳的，则是平稳的，则 c(t) 和和 s(t) 也必然也必然是平稳的是平稳的。二、二、 c(t) 和和 s(t) 的统计特性的统计特性第21页2022-5-10 结论2：同相分量同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t) 具有相同的自相关具有

15、相同的自相关函数函数。 分析下两式：分析下两式： 应同时成立，故有：应同时成立，故有：二、二、 c(t) 和和 s(t) 的统计特性的统计特性 ccsccRRRsin)(cos)()( csccsRRRsin)(cos)()( )()( scRR )()( sccsRR 第22页2022-5-10 结论3： (t)、 c(t) 和和 s(t) 具有相同的平均功率或方差具有相同的平均功率或方差。 根据互相关函数的性质，应有：根据互相关函数的性质，应有： 代入上式，得到：代入上式，得到： 上式表明上式表明Rsc( )是是 的奇函数，所以：的奇函数，所以：Rsc(0)=0 同理可证：同理可证： 将将

16、 ， 代入下两式：代入下两式： 得到：得到： 即：即：二、二、 c(t) 和和 s(t) 的统计特性的统计特性)()( scscRR)()( sccsRR0)0( csR ccsccRRRsin)(cos)()( csccsRRRsin)(cos)()( )0()0()0(scRRR 222sc 0)0( scR0)0( csR这表明这表明 (t)、 c(t)和和 s(t)具有相同的平具有相同的平均功率或方差（因为均值为均功率或方差（因为均值为0）第23页2022-5-10 结论4：因为因为 (t) 是高斯过程，所以是高斯过程，所以 c(t1)、 s(t2) 一定是高斯随机变量，一定是高斯随机

17、变量，从而从而 c(t)、 s(t)也是高斯过程也是高斯过程。 结论5：根据根据 Rcs(0) =0可知，可知， c(t) 与与 s(t) 在在 =0 处互不相关，又由于处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此它们是高斯型的，因此 c(t) 与与 s(t) 也是统计独立的也是统计独立的。 根据平稳性，过程的特性与变量根据平稳性，过程的特性与变量 t 无关，故由式：无关，故由式： 得到：得到：二、二、 c(t) 和和 s(t) 的统计特性的统计特性)()(,0111ttttc 时时)()(,2222ttttsc 时时tttttcscc sin)(cos)()( 第24页2022-5-10 总结：一

18、个均值为零的窄带平稳高斯过程一个均值为零的窄带平稳高斯过程 (t)，它的同相分，它的同相分量量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t) 同样是平稳高斯过程，而且均值同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的 c 和和 s 是互不相关的或统计独立的是互不相关的或统计独立的。二、二、 c(t) 和和 s(t) 的统计特性的统计特性第25页2022-5-10(1) 联合概率密度函数联合概率密度函数 f (a , )：根据概率论知识有：根据概率论知识有：由：由：可以求得：可以求得：三、三、a (t) 和和 (t) 的统计特性的统计

19、特性),()(),(),(, afafscsc sincosaasc aaaaaascscsc cossinsincos),(),( 22222exp21)()(),( scscscfff第26页2022-5-10(1) 联合概率密度函数联合概率密度函数 f (a , )： 于是有：于是有： 式中：式中：a 0， (02)三、三、a (t) 和和 (t) 的统计特性的统计特性 22222222exp22)sin()cos(exp2),(),( aaaaafaafsc第27页2022-5-10(2) a 的一维概率密度函数：的一维概率密度函数： 可见：可见：a 服从瑞利服从瑞利（Rayleigh

20、）分布。）分布。三、三、a (t) 和和 (t) 的统计特性的统计特性02exp2exp2),()(22220222 aaadaadafaf 2exp21)(2xxf 第28页2022-5-10(3) 的一维概率密度函数：的一维概率密度函数： 可见：可见： 服从服从均匀分布均匀分布。三、三、a (t) 和和 (t) 的统计特性的统计特性 20212exp21),()(02220 daaadaaff第29页2022-5-10结论：一个均值为零，方差为一个均值为零，方差为 2 的窄带平稳高斯过程的窄带平稳高斯过程 (t)，其包络其包络 a (t) 的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是瑞利分布，相

21、位 (t) 的一维分的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，布是均匀分布，并且就一维分布而言，a (t) 与与 (t) 是统是统计独立的，即有：计独立的，即有：三、三、a (t) 和和 (t) 的统计特性的统计特性)()(),( fafaf 第30页2022-5-10正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声的表示式：的表示式： 正弦波的随机相位，均匀分布在正弦波的随机相位，均匀分布在02 间间 A和和 c 确知振幅和角频率确知振幅和角频率 于是有：于是有： 式中：式中：)()cos()(tntAtrc )(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(tttzttzttz

22、ttnAttnAtrccScccscc )(sin)()(cos)(tnAtztnAtzsscc n(t)=nc(t)cosctns(t)sinct窄带高斯噪声窄带高斯噪声 )(sin)(costzztzzsc 第31页2022-5-10正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式：的包络和相位表示式： 包络：包络： 相位：相位：0)()()(22 ztztztzsc)20()()()(1 tztztgtcs第32页2022-5-10正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性：的包络的统计特性： 设：包络的概率密度函数设：包络的概率密度函数 f(z)，利用上一节的结

23、果，如果，利用上一节的结果，如果 值已给定，值已给定，则则 zc、zs 是相互独立的高斯随机变量，且有：是相互独立的高斯随机变量，且有： 所以，在给定相位所以，在给定相位 的条件下的的条件下的 zc 和和 zs 的联合概率密度函数为：的联合概率密度函数为：222sincosnscscAzEAzE 2222)sin()cos(21exp21)/,( AzAzzzfscnnsc )(sin)()(cos)(tnAtztnAtzsscc 第33页2022-5-10正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性：正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性： 利用与上一节分析利用与上一节分析 a 和和 相似的方法，根据

24、相似的方法，根据 zc，zs 与与 z， 之间的随之间的随机变量关系：机变量关系： 可以求得在给定相位可以求得在给定相位 的条件下的的条件下的 z 与与 的联合概率密度函数：的联合概率密度函数： 然后求给定条件下的边际分布，然后求给定条件下的边际分布， 即：即： sincoszzzzsc )cos(221exp2)/,(),(),()/,()/,(2222 AzAzzzzfzzzzzzfzfnnscscsc 202222220)cos(exp2exp2)/,()/(dAzAzzdzfzfnnn第34页2022-5-10正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性：正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性：

25、由于：由于：故有：故有：式中：式中：I0(x)第一类零阶修正贝塞尔函数第一类零阶修正贝塞尔函数因此：因此：由上式可见：由上式可见：f(z / )与与 无关，故无关，故r(t)的包络的包络z的概率密度函数为的概率密度函数为: 200)(cosexp21xIdx 20202)cos(exp21nnAzIdAz 2022222)(exp)/(nnnAzIAzzzf 02)(exp)(202222 zAzIAzzzfnnn 称为广义瑞利分称为广义瑞利分布，又称莱斯布，又称莱斯（Rice）分布。）分布。02exp)(222 aaaaf 2exp21)(2xxf 第35页2022-5-10 正弦波加窄带高

26、斯噪声的包络的统计特性：正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性： 结论：q 当信号很小时，即当信号很小时，即A0时，信噪比时，信噪比 0， ，上式，上式的的莱斯分布退化为瑞利分布莱斯分布退化为瑞利分布。q 当信噪比当信噪比 很大时，有：很大时，有： ，这时上式近似为高斯这时上式近似为高斯分布分布，即：，即：222nA 120 nAzI 222nA xexIx 2)(0 222)(exp21)(nnAzzf 第36页2022-5-10 正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性：正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性：第37页2022-5-10一、一、白噪声白噪声 n(t)二、低通白噪声二、低通白噪声三、

27、带通白噪声三、带通白噪声四、窄带高斯白噪声四、窄带高斯白噪声第38页2022-5-10什么叫什么叫“白噪声白噪声”？功率谱密度在所有频率上均为常数的功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即：噪声，即： 双边功率谱密度双边功率谱密度 或：或： 单边功率谱密度单边功率谱密度 式中：式中：n0正常数正常数一、白噪声一、白噪声 n(t)(2)(0 fnfPn)0()(0 fnfPn第39页2022-5-10白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：函数：表明：表明：白噪声仅在白噪声仅在=0时才相关，而在任意两个时刻（时才相关，而在任意两个

28、时刻（0）的随机变）的随机变量都不相关量都不相关。一、白噪声一、白噪声 n(t)(2)(0 nR 第40页2022-5-10 白噪声的功率：由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即：由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即： 或或q 因此，真正因此，真正“白白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。噪声形式。q 实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。q 如果如果白噪声取值的概率分

29、布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。q 高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的关的，而且还是统计独立的。一、白噪声一、白噪声 n(t) dfnR2)0(0 )0(2)0(0 nR第41页2022-5-10什么叫低通白噪声？如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。功率谱密度： 由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在由上式可见，白噪

30、声的功率谱密度被限制在 |f| fH 内，通常把这样的内，通常把这样的噪声也称为噪声也称为带限白噪声带限白噪声。自相关函数： 二、低通白噪声二、低通白噪声 其其它它02)(0HnffnfP HHHfffnR22sin)(0 第42页2022-5-10 由曲线看出，这种带限白噪声只有在由曲线看出，这种带限白噪声只有在 上得到的上得到的随机变量才不相关。随机变量才不相关。 二、低通白噪声二、低通白噪声), 3 , 2 , 1(2 kfkH 第43页2022-5-10什么叫带通白噪声？如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白

31、噪声。通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。功率谱密度：设理想带通滤波器的传输特性为：设理想带通滤波器的传输特性为： 式中：式中：fc中心频率，中心频率，B通带宽度，则输出噪声的功率谱密度为：通带宽度，则输出噪声的功率谱密度为： 三、带通白噪声三、带通白噪声 fBffBffHcc其其他他0221)( fBffBfnfPccn其其它它0222)(0第44页2022-5-10自相关函数：三、带通白噪声三、带通白噪声 cfjBfBffjBfBffjnfBBBndfendfendfefPRcccc2cossin22)()(0222022202 载波第45页2022-5-10自相关函数：三、带通白噪声三

32、、带通白噪声第46页2022-5-10通常，带通滤波器的通常，带通滤波器的 Bfc，因此称，因此称窄带滤波器窄带滤波器，相应地，相应地把带通白高斯噪声称为把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声。窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节。节。平均功率：平均功率：N=n0B四、窄带高斯白噪声四、窄带高斯白噪声第47页2022-5-10(1) 通信中的信号和噪声都可看作随时间变化的随机过程。通信中的信号和噪声都可看作随时间变化的随机过程。(2) 随机过程具有随机变量和时间函数的特点，可以从两个不同却又紧密随机过程具有随机变量和时间函数的特点，可以从两个不

33、同却又紧密联系的角度来描述：联系的角度来描述：随机过程是无穷多个样本函数的集合；随机过程是无穷多个样本函数的集合；随机过随机过程是一族随机变量的集合。程是一族随机变量的集合。(3) 随机过程的统计特性由其分布函数或概率密度函数描述。若一个随机随机过程的统计特性由其分布函数或概率密度函数描述。若一个随机过程的统计特性与时间起点无关，则称其为过程的统计特性与时间起点无关，则称其为严平稳过程严平稳过程。(4) 数字特征则是另一种描述随机过程的简洁手段。若过程的均值是常数，数字特征则是另一种描述随机过程的简洁手段。若过程的均值是常数，且自相关函数且自相关函数R(t1, tl+)=R()，则称该过程为，则称该过程为广义平稳过程广义平稳过程。(5) 若一个过程是严平稳的，则它必是广义平稳的，反之不一定成立。若一个过程是严平稳的，则它必是广义平稳的，反之不一定成立。(6) 若一个过程的时间平均等于对应的统计平均，则该过程是各态历经性若一个过程的时间平均等于对应的统计平均，则该过程是各态历经性的。的。第48页2022-5-10(7) 若一个过程是各态历经性的，则它也是平稳的