隐函数定理PPT学习教案

1、会计学1一个方程式所确定的函数例如：一个方程式所确定的函数例如：3221sinyx, zxy .2/32/32/333330 xya, xyzxy.一、隐函数概念显函数：显函数：因变量可由自变量的某一表达式来表示因变量可由自变量的某一表达式来表示的函数例如：的函数例如： 隐函数：隐函数：自变量与因变量之间的对应关系是由某自变量与因变量之间的对应关系是由某隐函数的一般定义：隐函数的一般定义： 设有一方程设有一方程( , )0,(1)F x y 第1页/共39页则成立恒等式则成立恒等式,IXJY , .,0) )(,(IxxfxF 其中其中 若存在若存在 :R,R,R.FXYXYyJ 对任一对任一

2、 有惟一确定的有惟一确定的 与之对应与之对应, 使使 xI , ( , )x y得得 满足方程满足方程 (1) ,则称由方程则称由方程 (1) 确定了一确定了一 个定义在个定义在 , 值域含于值域含于 的隐函数的隐函数IJ如果把此隐函如果把此隐函 , )(JyIxxfy 记为记为 第2页/共39页122 yx取值范围例如由方程可确定如下两取值范围例如由方程可确定如下两 个函数：个函数： 注注2 不是任一方程不是任一方程 都能确定隐函数都能确定隐函数, 0),( yxF例如例如 显然不能确定任何隐函数显然不能确定任何隐函数 0122 yx注注1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要隐函数一般不

3、易化为显函数，也不一定需要 )(xfy 化为显函数上面把隐函数仍记为化为显函数上面把隐函数仍记为 ，这，这 与它能否用显函数表示无关与它能否用显函数表示无关 注注3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的 第3页/共39页在在2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题. . 0,1, 1,1, )1()(; 1,0, 1,1, )1()(2221 yxxxfyyxxxfy.注注4 类似地可定义多元隐函数例如类似地可定义多元隐函数例如: 由方程由方程 0),( uzyxF,),(zyxfu 确定的隐函数确定的隐函数 0),(

4、 zyxF, ),(yxfz 确定的隐函数确定的隐函数 由方程由方程 第4页/共39页二、隐函数存在性条件分析 条件时，由方程条件时，由方程 (1) 能确定隐函数能确定隐函数 , 并使并使 )(xfy ),(yxF要讨论的问题是：当函数要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些满足怎样一些 该隐函数具有连续、可微等良好性质该隐函数具有连续、可微等良好性质? )(xfy ),(yxFz (a) 把上述看作曲面把上述看作曲面 与坐标与坐标 0 z平面的交线，故至少要求该交集非空，即平面的交线，故至少要求该交集非空，即 ),(000yxP . )(,0),(0000 xfyyxF ，满足，满足 连续是合理

5、的连续是合理的0P)(xfy 0 x),(yxF(b) 为使为使 在在 连续，故要求连续，故要求 在点在点 第5页/共39页0),(00 yxFy由此可见，是一个重要条件由此可见，是一个重要条件 00000000000d( ,( )(,)(,)()0 ,d(,)()(,)x xxyxyF x f xFxyFxyfxxFxyfx.Fxy点点 存在切线，而此切线是曲面存在切线，而此切线是曲面 在点在点 ),(yxFz 0P的切平面与的切平面与 的交线，故应要求的交线，故应要求 在在 0P),(yxF0 z)(xfy 0 x)(xfy (c) 为使为使 在在 可导，即曲线在可导，即曲线在 0P. )

6、0,0(),(, ),(0000 yxFyxFyx点点 可微，且可微，且 (d) 在以上条件下，通过复合求导数，得到在以上条件下，通过复合求导数，得到 第6页/共39页三、隐函数定理定理定理18.1 ( 隐函数存在惟一性定理隐函数存在惟一性定理 ) 设方程设方程 (1) 中中 ),(yxF的函数的函数 满足以下四个条件：满足以下四个条件： ),(000yxP2R D(i) 在以在以 为内点的某区域为内点的某区域 上连续；上连续； (ii) ( 初始条件初始条件 )；0),(00 yxFD),(yxFy(iii) 在在 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数 ； 00(,)0.yFxy (iv)

7、则有如下结论成立：则有如下结论成立：第7页/共39页00( ),(,).yf xxxx;0)(,(, )()(,(0 xfxFPUxfx在在 上连续上连续)(2xf),(00 xxDPU )(0)(0PU存在某邻域存在某邻域 ，在，在 内由方程内由方程 (1) 惟惟 一地确定了一个隐函数一地确定了一个隐函数 并且满足：并且满足： 00)(1yxf ),(00 xxx，当，当 时，使得时，使得 证证 首先证明隐函数的存在与惟一性首先证明隐函数的存在与惟一性证明过程归结起来有四个步骤证明过程归结起来有四个步骤 ( 图示如下图示如下 )： 第8页/共39页 (b) 正、负上下分正、负上下分_+_0

8、xyO0 x0 x0 x0y0y0y (c) 同号两边伸同号两边伸 x0 xy0yO0 x0 x0 y0y(d) 利用介值性利用介值性 x0 xy0yO0 x0 x0()U P0y0y( )yf x (a) 一点正一点正,一片正一片正+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x0 x0 x0 x0y0y0yyO第9页/共39页0000, ,SxxyyD.其中其中,),(,0),(SyxyxFy 00(,)0.yFxy (a) “一点正一点正, 一片正一片正 ”由条件由条件 (i

9、v), 不妨设不妨设 ),(yxFy因为因为 连续，所以根据连续，所以根据 保号性，保号性， 使得使得 0, (a) 一点正一点正,一片正一片正+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x0 x0 x0 x0y0y0yySO第10页/共39页.0),(,0),(0000 yxFyxF (b) 正、负上下分正、负上下分_+_0 xyO0 x0 x0 x0y0y0y(b) “正、负上下分正、负上下分 ” ,),(,0),(SyxyxFy , ,00 xxx因因 故故 y),(yxF

10、,00 yy把把 看作看作 的函数，它在的函数，它在 上上 严格增，且连续严格增，且连续 ( 据条件据条件 (i) ) 0(, ),F xy特别对于函数特别对于函数 由条由条 00(,)0F xy 件可知件可知第11页/共39页因为因为 关于关于 连续，故由连续，故由 ),(, ),(00 yxFyxFx (b) 的结论，根据保号性，的结论，根据保号性， 使得使得 , )0( . ),(,0),(,0),(0000 xxxyxFyxF (c) 同号两边伸同号两边伸 x0 xy0yO0 x0 x0 y0y(c) “同号两边伸同号两边伸” (d) “利用介值性利用介值性” , ),(00 xxx)

11、, (yxFy因因 关于关于 连续连续, 且严且严 格增，故由格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理的结论，依据介值性定理, 存在惟存在惟 第12页/共39页(d) 利用介值性利用介值性 x0 xy0yO0 x0 x0()U P0y0y( )yf x满足满足00(,),yyy一的一的 就证得存在惟一的隐函数就证得存在惟一的隐函数: .0), ( yxF由的任意性由的任意性, 这这 x0000(,),(,).xIxxyJyy ,)(0JIPU 1若记若记 则定理结论则定理结论 得证得证 下面再来证明上述隐函数的连续性下面再来证明上述隐函数的连续性: 00(,) ,xxx即即欲证上述欲证上述

12、在在 连续连续. )(xfx( ),yf x 第13页/共39页.xxOyxxyyy0y0y0P.00,yyyy( ,)0 ,( ,)0 .F x yF x y类似于前面类似于前面 (c) ， 使得使得, 0 ( , )0,F x y ,0 取取 足够小，使足够小，使 ),(yxFy由由 对对 严格增，而严格增，而 ( ).yf x 其中其中推知推知 第14页/共39页, ),(),(00 xxxx.0),(,0),( yxFyxF, ),(,)( xxxyxfy在在 上处处连续上处处连续),(00 xx因此因此 在连续在连续. 由的任意性由的任意性, 便证得便证得 x)(xf)(xfx),(

13、 xxx且当且当 时，有时，有 类似于前面类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有，由于隐函数惟一，故有 第15页/共39页注注1 定理定理 18.1 的条件的条件 (i) (iv) 既是充分条件既是充分条件, 又又 是一组十分重要的条件是一组十分重要的条件. 例如：例如： 在点在点 虽虽 ,0)0 , 0(,0),(33 yFxyyxF)0,0(.xy 不满足条件不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数，但仍能确定惟一的隐函数 0)(),(22222 yxyxyxF (双纽线双纽线), 在在 点点 同样不满足同样不满足 )0,0(xyO11 条件条件 (iv)，而在该点，而在该点 无论

14、多小的邻域内无论多小的邻域内, 第16页/共39页用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验， 的作用的作用二则是在后面的定理二则是在后面的定理 18.2 中它们还将起到实质性中它们还将起到实质性 注注3 读者必须注意读者必须注意, 定理定理 18.1 是一个是一个局部性局部性的隐的隐 函数存在定理例如从以上双纽线图形看出函数存在定理例如从以上双纽线图形看出: 除了除了 )0, 1( , )0, 1( , )0, 0( 三点以外三点以外, 曲线上其余各点处都曲线上其余各点处都 确实不能确定惟一的隐函数确实不能确定惟一的隐函数 (见图见图).注注 2 条件

15、条件 (iii) 、 (iv) 在证明中只是用来保证在邻在证明中只是用来保证在邻 )(0PU域域 内内 关于为严格单调之所以采关于为严格单调之所以采 ),(yxFy第17页/共39页存在局部隐函数存在局部隐函数 ( 这不难用定理这不难用定理 18.1 加加 )(xfy 以检验，见以检验，见 四、例四、例) 注注4 在方程在方程 中中, 0),( yxFxy与与 的地位是平等的地位是平等 的的. 当条件当条件 (iii) 、 (iv) 改为改为 . )( ygx 时，将存在局部的连续隐函数时，将存在局部的连续隐函数 ),(yxFx0),(00 yxFx 连续连续, 且且 “”第18页/共39页)

16、,(yxF定理定理 18.2 ( 隐函数可微性定理隐函数可微性定理 ) 设函数设函数 满满 D足定理足定理 18.1 中的条件中的条件 (i) (iv), 在在 内还存在连内还存在连 ),(yxFx0),( yxF续的续的 . 则由方程则由方程 所确定的隐所确定的隐 函数函数 在在 I 内有连续的导函数，且内有连续的导函数，且)(xfy ( , )( )( , ).(2)( , )xyFx yfx,x yIJFx y ( 注注: 其中其中00(,)Jyy与与),(00 xxI示于定理示于定理18.1 的证明的证明 (d) ).第19页/共39页( )()yf x , yyf xxJ.0),(,

17、 0),( yyxxFyxF使用微分中值定理使用微分中值定理, 使得使得 , )10( 0(,)( , )F xx yyF x y,Ixxx 证证 设则设则 由条件易知由条件易知 F 可微，并有可微，并有 (,)yFxx yyy,(,)xFxx yyx第20页/共39页.),(),(yyxxFyyxxFxyyx 显然也是连续函数显然也是连续函数)(xf 0 x,0 yyxFFf,因因 都是连续函数都是连续函数, 故故 时时并有并有 00(,)( )limlim(,)xxxyFxx yyyfxxFxx yy 0( , )lim,( , ).( , )xxyFx yyx yIJx Fx y 第21

18、页/共39页,0),(),( yyxFyxFyx.0)( yFyyFFyFFyyyxyyxxx(3)2232.xyxyyxxxyyyF F FF FF FF),(yxF注注1 当当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函存在二阶连续偏导数时，所得隐函 数也二阶可导应用两次复合求导法，得数也二阶可导应用两次复合求导法，得 将将 (2) 式代入上式，经整理后得到式代入上式，经整理后得到 21(2)xxxyyyyyFF yF yF第22页/共39页注注2 利用公式利用公式 (2) , (3) 求隐函数的极值求隐函数的极值:0 y 00 xFF( , )A x y% % %(a) 求使求使 的点的点 , 即即

19、 的解的解 0 xFA(b) 在点在点 处因，而使处因，而使 (3) 式化简为式化简为 .AyxxAFFy (4)0 (0)Ay 或或(c) 由极值判别法由极值判别法, 当当 时时, 隐函数隐函数 在在 取得极大值取得极大值(或极小值或极小值).y( )yf x x第23页/共39页设在以点设在以点 为内点的某区域为内点的某区域 上上, ),(0000zyxP3R D,0),(000 zyxF.0),(000 zyxFz则存在某邻域则存在某邻域 在其内存在惟一的、连在其内存在惟一的、连 ,)(0DPU 续可微的隐函数续可微的隐函数 ，且有，且有),(yxfz 注注3 由方程由方程 0),( z

20、yxF(5),(yxfz 确定隐函数的相关定理简述如下：确定隐函数的相关定理简述如下： F 的所有一阶偏导数都连续，并满足的所有一阶偏导数都连续，并满足 第24页/共39页0),(21 yxxxFn,.yxxyzzFFzzffxFyF (6)更一般地，由方程更一般地，由方程 ),(21nxxxfy 确定隐函数确定隐函数 的相关定理的相关定理, 见教见教 材下册材下册 p.149 上的上的定理定理18.3 , 这里不再详述这里不再详述. 第25页/共39页0)(22222 yxyx解解 令令 它有连续的它有连续的 ,)(),(22222yxyxyxF .2)(4,2)(42222yyxyFxyx

21、xFyx 求解求解 分别得到分别得到 ,0),(0),(0),(0),( yxFyxFyxFyxFyx与与四、隐函数求导数举例 例例1 试讨论双纽线方程试讨论双纽线方程 ( )( ).yf xxg y或或所能确定的隐函数所能确定的隐函数 第26页/共39页再考虑隐函数的极值由于再考虑隐函数的极值由于 )(xfy 26(0,0)(,)0,44xxFF在其他所有点处都存在局部的可微隐函数在其他所有点处都存在局部的可微隐函数( ).xg y )0, 1( , )0, 0( 所以，除所以，除 这三点外，曲线上在其他这三点外，曲线上在其他 . )(xfy 所有点处都存在局部的可微隐函数所有点处都存在局部

22、的可微隐函数 )42,46(, )0, 0( 同理，除同理，除 这五点外，曲线上这五点外，曲线上 (0,0)1,00.yyFF第27页/共39页, )126(2),(22 yxyxFxx2().4 值值26( )(,)44f x在点取得极小在点取得极小由对称性可知由对称性可知, 622,( )(,);444f x 因此在点取得极大值因此在点取得极大值622623(,),(,),442442yxxFF 62(,)443 2320222y第28页/共39页各点处都能确定局部的隐函数各点处都能确定局部的隐函数)(xfy 例例2 讨论讨论 Descartes 叶形线叶形线 )0(333 aaxyyx(

23、7)(xfy 所确定的隐函数所确定的隐函数 的存的存 在性，并求其一阶、二阶导数在性，并求其一阶、二阶导数 .3),(33axyyxyxF 解解 令令 0)(32 xayFy先求出在曲线先求出在曲线 (7) 上使上使 的点为的点为 )2,4(, )0 , 0(33aaBO . 除此两点外除此两点外, 方程方程 (7) 在其他在其他 第29页/共39页然后再算出然后再算出:.)(3)(32222xayxyaxayyaxFFyyx .)(54,)(54, )(54222222222yaxyFFxayxFFyaxxayaFFFyyxxxyyxyx 为了使用公式为了使用公式 (3) , 先算出先算出:

24、 由公式由公式 (2) 求得求得 第30页/共39页.)(2)()3(32)()(32)(27)()()(54232332322323332232222222322xayyxaxayayxayxyxaxayayxyxyxaxayyaxyxayxyaxxayaFFFFFFFFyyyyxxxyyxyx 第31页/共39页平切线和垂直切线平切线和垂直切线0 y类似于例类似于例1 的方法的方法, 求出曲线上使求出曲线上使 的点为的点为 . )4,2(33aaA在几何上，它是两条曲线在几何上，它是两条曲线 0),( yxF0),( yxFx和和,024|3 ayA的交点的交点 (见图见图). 容易验证容

25、易验证 所以所以 )(xfy A34 .a隐函数在点隐函数在点 取得极大值取得极大值 AB以上讨论同时说明以上讨论同时说明, 该曲线在点该曲线在点 和和 分别有水分别有水 例例3 试求由方程试求由方程 所确定的隐所确定的隐 3230 xyzxyz函数函数 在点在点 处的全微分处的全微分 (0,1,1)P( , )zf x y 第32页/共39页2(31)d0,xyzz332(2 )d(3)dyzxxxzyyd3dd0,dd3d .Pxyzzxy解法解法 1 ( 形式计算法形式计算法 ) 对方程两边微分，得对方程两边微分，得( , , )(0,1,1)x y z 将将 代入，又得代入，又得 解法

26、解法 2 ( 隐函数法隐函数法 ) 设设 323( , , ).F x y zxyzxyz由于由于 上处处连续上处处连续, 而而 3(0,1,1)0,RxyzFFFF 在在2(0,1,1)(31)10,zPFxyz 第33页/共39页.313,31222323zyxyzxFFyzzyxxzyFFxzzyzx 因此在点因此在点 P 附近能惟一地确定连续可微的隐函数附近能惟一地确定连续可微的隐函数 ( , );zz x y 且可求得它的偏导数如下：且可求得它的偏导数如下： 以以 代入代入, 便得到便得到 ( , , )(0,1,1)x y z 1,3,x Py Pzzdd3d .Pzxy例例4 用隐函数方法处理反函数的存在性及其导数用隐函数方法处理反函数的存在性及其导数. 解解 设设 在在 的某邻域内有连续的导函数的某邻域内有连续的导函数 )(xfy 0 x, )(xf 且且 现在来考察方程现在来考察方程 00().f xy 第34页/共39页由于由于 , )(),(, 1,0)