竟赛数学整数的整除性讲解ppt

1、LOREM IPSUM DOLOR LOREM 整数的整除性2预备知识整除的定义整除的定义：对于两个整数a、b（b0），若存在一个整数c使得 成立，则称b整除a，或a被b整除，记作d|a。否则，称b不整除a，记作b a。bca 预备知识性质一性质一设设a、b、c是整数是整数1.a|a；2.若a|b，b|c，则a|c；3.若a|b，a|c，则对任意的整数m、n有a|bm+cn（这一性质还可以推广到更多项的和）；4.若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am；5.若a|b，b|a，则|a|=|b|；性质二1.若（a，b）=1，且a|bc，则a|c；2.若（a，b）=1，且a|c、b

2、|c，则ab|c；3.若a|bc，而a为素数，则a|b，或a|c预备知识性质三性质三设设m、n、 、 是整数是整数若等式 中，除某一项外，其余各项都能被c整除， 则这一项也能被c整除。 例如：若2|2a+4b-3c，则2|3c，即2|c m1in1jjibaiajb04数学归纳法02利用连续整数之积的性质Lorem ipsum 05反证法Lorem ipsum 03利用整数的奇偶性Lorem ipsum 01利用利用数的数的整除性整除性特征特征例例1、例、例2、例、例3整除性问题的证明方法Lorem ipsum 例题讲解例1：如果u和v是整数， 能被9整除，那么，u和v都能被3整除。 22vu

3、vu例题讲解例1：如果u和v是整数， 能被9整除，那么，u和v都能被3整除。 证明： 3是素数 ，即 从而 ，故3|u或者3|v 当3|u时，结合 3|（u-v） ，则3|v.问题得证。 22vuvu22222vuvu|3 uv3v-uvuvu 2v-u|3 v-u|3 2v-u|9 uv|3性质三性质三 性质二（性质二（3）性质三性质三例题讲解例2：1987可以在b进位制中写成三位数 ，如果请确定所有可能的x、y、z和b（加拿大，1987）解析：书本42页例13xyz7891zyxxyz1987x2zybb25zyx分析：1987用b进位制表示成三位数 ，即 同时知道 ，将1987表示成b进

4、制，如果求出b的值，那么x、y、z的值可直接求出。例题讲解例3：一个八位数19abcd83能被1983整除求这个八位数。解：设这个八位数为A， 则： A=19abcd83=19000083+ 100 =19839581+960+ 100 =19839581+10（96+ 10） 因为1983|A，（1983，10）=1，所以1983|（96+ 10） 即：96+ 10=1983k （kZ） 10=1983k-96 等式左边个位上是0，所以k的个位上应该是2 （*） 又因为 1983k-96 100000，所以k50.47 （*）综合（*）和（*）可知k能取2、12、22、32、42，相对应的

5、的值可以为0387、2370、4353、6336、8319，故所求八位数可取：19038783、19237083、19455383、19633683、19831983 abcdabcdabcdabcdabcdabcdabcd04数学归纳法Lorem ipsum 02利用连续整利用连续整数之积的性数之积的性质质例例4、例、例505反证法Lorem ipsum 03利用整数的奇偶性Lorem ipsum 01利用数的整除性特征利用数的整除性特征例例1、例、例2、例、例3整除性问题的证明方法预备知识任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积，因此一定可被2整除。任意三个连续整数之中至少有一个偶

6、数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被23=6整除。这个性质可以推广到任意个连续整数之积。例题讲解例4：设n是正整数，求证 可被30整除证明： 因为 是五个连续整数，故这五个整数中一定有2,3,5的倍数又因为2,3,5互素，所以30| ，同理可得6| ，即30| 因此30| -nn5) 1)(1(52n)2-)(1)(1()54-)(1)(1() 1)(1)(1() 1)(1(1-nn-nn222245nnnnnnnnnnnnnnnnnn）（）（)2)(1)(2)(1(nnnnn)2)(1)(2)(1(nnnnn) 1)(1(nnn) 1)(1(5n

7、nn-nn5例题讲解例5 已知a，b，c是正整数，若6|a+b+c，则证明：因为由于3个连续的数既能被2整除，又能被3整除，所以故333cba|6) 1)(1( c) 1)(1(b) 1)(1(a c-cb-ba-acba-cba333333ccbbaa）（）（）（）（) 1)(1( c) 1)(1(b) 1)(1(a|6ccbbaa333cba|604数学归纳法Lorem ipsum 02利用连续整数利用连续整数之积的性质之积的性质例例4、例、例505反证法Lorem ipsum 03利用整数的奇偶性利用整数的奇偶性例例6、例、例701利用数的整除性特征利用数的整除性特征例例1、例、例2、例

8、、例3整除性问题的证明方法例题讲解例6：n个整数a1、a2、a3、a4、.an 其积等于n，其和等于0，试证4|n证明：假设n为奇数，由 ， 知 a1、a2、a3、a4、.an 全为奇数则 是奇数，与 矛盾，故2|n 假设4 n，那么a1、a2、a3、a4、.an 中只有一个偶数，不妨设a1是偶数，a2、a3、a4、.an 是奇数，则 是奇数即 与 矛盾综上所述4|n nain1in1iia0an1iin2iia奇数奇数偶数n2ii1n1iiaaa0an1ii例题讲解例7：设a、b、c是三个互不相等的正整数，求证a3b-ab3，b3c-bc3，c3a-ca3三个数中至少有一个数能被10整除 （

9、40页，例9）例题讲解例7：设a、b、c是三个互不相等的正整数，求证a3b-ab3，b3c-bc3，c3a-ca3三个数中至少有一个数能被10整除 整除10被三个数中至少有一个能ca-ac，bc-cb，ab-ba从而整除5中至少有一个能被ca-ac，bc-cb，ab-ba故整除5，必能被5或者0两个其两两之差为从中，1,4,6,9的尾数为c、b、a整除，则5都不能被c、b、a若整除，则除，则结5中有一个能被c、b、a若整除2都是偶数，都能被ca-ac，bc-cb，ab-ba由上式知a-ca+caca-cac=ca-ac c-bc+bbcc-bbc=bc-cb b-ab+aabb-aab=ab-

10、ba 整除即可5和2被个数同所以只需证以只需证明 ，1=）2,5，（10=52证明：由于 333333333333222333333223322332233任取）（）（）（）（）（）（时04数学归纳法数学归纳法例例802利用连续整数利用连续整数之积的性质之积的性质例例4、例、例505反证法Lorem ipsum 03利用整数的奇偶性利用整数的奇偶性例例6、例、例701利用数的整除性特征利用数的整除性特征例例1、例、例2、例、例3整除性问题的证明方法例题讲解例8：设n是正整数，求证：512| 1-n24n32-32n2例题讲解例8：设n是正整数，求证：512| 1-n24n32-32n2）成立（

11、）（，用数学归纳法证明）（设即可只需证明）（）（）（）（）（）成立，下证（假设）成立（）（，用归纳法证明）（证明：设1h|6401h1-8n-3nh1-8n-3|648645121-8n-388-n64-3 8241n232-3-3nf-1nf1nf |512nf |5121f |51201f1-n24n32-3nfn2n2n2n2n22n22n2例题解析例8：设n是正整数，求证：512| 1-n24n32-32n21-n24n32-3|5121-8n-3|641nh|64nh-1nh|64nh|6419996419991-981-988-38nh-1nh1nh|64n|642n2n23-n2-n1-n3-n2-n1-nnn2综上所述）（根据性质三可知：）（）（），且（又由假设）（）（）（）（）（）（）成立，下证（假设04数学归纳法数学归纳法例例802利用连续整数利用连续整数之积的性质之积的性质例例4、例、例505反证法反证法例例9、例、例1003利用整数的奇偶性利用整数的奇偶性例例6、例、例701利用数的整除性特征利用数的整除性特征例例1、例、例2、例、例3整除性问题的证明方法例题讲解例9：证明对每个整数x，x2+5x+16不能被16