电磁学第四次课1

1、一、描述静电场基本性质的两个物理量：一、描述静电场基本性质的两个物理量：0qFE电场强度：电场强度：某点场强等于某点场强等于单位正电荷单位正电荷在在该点所受的电场力该点所受的电场力00aaWq E dl“ ”电势能：电势能：ababUUUdbaEl电势差电势差( (电压电压) )()abababAQ UUQUQUaaWqU电势电势(0)U0daaaWUElq场强与电势的场强与电势的积分关系积分关系xUEx yUEy zUEz UE 场强与电势的微分关系场强与电势的微分关系二、反映静电场基本性质的两个定理：二、反映静电场基本性质的两个定理：LrE0d 保守场保守场（无旋场）（无旋场）场强环路定理

2、：场强环路定理：0内dQSESe有源场有源场高斯定理：高斯定理：积分形式积分形式微分形式微分形式 01 E0 E三、计算场强的方法三、计算场强的方法1、已知电荷分布，利用点电荷场强及叠加原理求解、已知电荷分布，利用点电荷场强及叠加原理求解204qrErr iiEE点电荷场点电荷场3、根据场强与电势的关系、根据场强与电势的关系EUxUEx EU 2、高斯定理、高斯定理电荷分布具有对称性：球对称、电荷分布具有对称性：球对称、面对称、柱对称面对称、柱对称四、计算电势的方法：四、计算电势的方法：1.根据场源电荷分布，利用点电荷电势叠加原理求解：根据场源电荷分布，利用点电荷电势叠加原理求解：iiUU04

3、qUrdaaUEl2.根据电场分布，利用电势与场强的积分关系求解：根据电场分布，利用电势与场强的积分关系求解：典型静电场场强及电势：典型静电场场强及电势：ERr 0 RrrQ 2o4 均匀带电球面均匀带电球面E RrRQr 3o4 RrrQ 2o4 均匀带电球体均匀带电球体E2orRr22orrRR无限长均匀带电柱体无限长均匀带电柱体04 qUR内内04qUr外 RrrqRrrRRqrU,4,38)(02230000022rln(),rRrU(r )rln(),rRR 思考题思考题下例说法对否？下例说法对否？ 举例说明。举例说明。（1）场强相等的区）场强相等的区域，电势处处相等域，电势处处相等

4、（2）场强为零处，）场强为零处，电势一定为零电势一定为零（3）电势为零处，）电势为零处，场强一定为零场强一定为零（4）场强大处，电）场强大处，电势一定高势一定高QQEU0aaUE drR+（5 5）电势不变的空间场强处处为零）电势不变的空间场强处处为零a0aU0E 19-5：如图，一偶极矩为如图，一偶极矩为P的电偶极子放在场强为的电偶极子放在场强为E的均匀外的均匀外电场中，电场中，P与与E的夹角为的夹角为。若若电偶极子绕垂直于电偶极子绕垂直于P、E平面平面的轴，沿的轴，沿增加的方向转增加的方向转180度，求电场力所做的功。度，求电场力所做的功。EP + +- -qE dlqlEcos WP E

5、 WqU WWWq(UU ) WqU 解：解：电偶极子在均匀外场中的电势能：电偶极子在均匀外场中的电势能：P与与E的夹角为的夹角为时的电势能：时的电势能：旋转旋转180度时电势能：度时电势能：电场力所做的功：电场力所做的功：Pql q q E1WPEcos 122A WWPEcos 02180WPEcos()PEcos PEcos 19-4：如图，如图，A、B是真空中的两块相互平行的无限大均匀带是真空中的两块相互平行的无限大均匀带电平面，电荷面密度分别为电平面，电荷面密度分别为和和22，若将，若将A A板选作电势板选作电势零点，求图中零点，求图中a a点的电势。点的电势。da2 bABdE解：

6、解：00003322dddldl 032d 00023222EabEdl baaUE dl x20-420-4：半径为半径为R R的圆弧的圆弧abab，所对圆心角，所对圆心角，如图所示，圆弧均匀，如图所示，圆弧均匀带正电，电荷线密度为带正电，电荷线密度为，试求圆弧中心处的电场强度和电势。，试求圆弧中心处的电场强度和电势。xyRO04RdR 04dQdUR 解：解：04d dQdQd 20044RddEdRR 04 004Ud 022sinR 202/xEdE 方向：沿方向：沿x轴正向轴正向2xdEdEcos() 22dE(coscossinsin)E 20-5：真空中有一个总电量为真空中有一个

7、总电量为Q、半径为、半径为R的均匀带电球壳的均匀带电球壳和一块无限大、面电荷密度为和一块无限大、面电荷密度为的带电平面，如图。求（的带电平面，如图。求（1 1）x0 x0空间的电场强度分布；（空间的电场强度分布；（2 2）定性画出）定性画出B B点的场强叠加图；点的场强叠加图；（3 3）A A、B B两点电势差。（两点电势差。（OAOAOBOB2R2R，6060度）度）1220044QQEcos isinjrr 解：解：（1 1）球壳在）球壳在x0 x0空间某点处的空间某点处的场强（选点场强（选点B B点）点）2E1204QrErr 1Ex yrRB A2R202Ei 无限大平面产生的场：无限

8、大平面产生的场：22000424QQE(cos)isinjrr 02Ei 球球里里Ex yrRB A2R（3 3）A A、B B两点电势差。（两点电势差。（OAOAOBOB2R2R）ABE dl BABABAUUUE dl 02R 2202RRcosdl yxxEPLLodx图图18-6（1）2004()LPdxELx 08LryPdxxLrLrrxx2()2004()LL rPdxErx0111()4Lrr0PE 2Lr 183. 一均匀带电直线，长为一均匀带电直线，长为L。电荷线密度为。电荷线密度为 ， 求：求：（1）P点的电场强度；（点的电场强度；（2）带电直线上各点电场的方向的变化）带

9、电直线上各点电场的方向的变化情况。情况。)0(,02pLrE,02pLrE185.重力场中有一竖直向上的匀强电场，水平面上固定了一重力场中有一竖直向上的匀强电场，水平面上固定了一质量为质量为M、半径为、半径为R的半圆形光滑绝缘槽；一质量为的半圆形光滑绝缘槽；一质量为m、带电、带电量为量为+q的小球从的小球从A处由静止释放，求：（处由静止释放，求：（1）画出小球的受力）画出小球的受力图（忽略空气阻力）；（图（忽略空气阻力）；（2）写出小球的运动方程；（）写出小球的运动方程；（3）求）求小球作简谐振动的条件和振动角频率。小球作简谐振动的条件和振动角频率。（2）切向加速度）切向加速度 22daRRd

10、t0sin22mRqEmgdtd当当 时时5简谐振动022mRqEmgdtd切向分力切向分力()sinFmgqE2220ddt E图图17-7mgqEmR取取 增加的方向为正增加的方向为正 Fma qEamgRNAM193. 真空中有一半径为真空中有一半径为R、总电量、总电量 的均匀带电圆环。一的均匀带电圆环。一根不带电、两端开口的玻璃管与环同轴放置，在管内距离环心根不带电、两端开口的玻璃管与环同轴放置，在管内距离环心x处处由静止开始释放一个质量为由静止开始释放一个质量为m、电量为、电量为 q(q0) 的带电小球。求的带电小球。求（1）忽略摩擦等一切阻力，写出小球的运动方程；忽略摩擦等一切阻力

11、，写出小球的运动方程； （2）计算）计算 条件下的近似解，并判断小球的运动特点。条件下的近似解，并判断小球的运动特点。 （3）若）若 小球释放后如何运动？小球释放后如何运动？Rx 0qxxmq,oRQ解：圆环轴线上的电场解：圆环轴线上的电场322204()QxERx（1）22dtxdmmaqE232222004()d xqQxmdtRx04.302xRqdtdxmRx时当（3）当）当 时，受排斥力，向右做变加速运动。时，受排斥力，向右做变加速运动。0q)0(QQq2q2qq2llll如果认为如果认为张力为零张力为零，则由受，则由受力方程可以得到力方程可以得到2222422sin(2 sin )

12、qqkkll222222cos(2 cos )qqkkll31sin39.0431cos66.61617.4：四个可视为点电荷的带电小球，用四根长度为四个可视为点电荷的带电小球，用四根长度为 l 的线相连，稳定在水平面上，求平衡时菱形夹角的线相连，稳定在水平面上，求平衡时菱形夹角222222cos2 cos(2 cos )qqkkTll设张力为设张力为 ，由力的平衡条件，由力的平衡条件对对横向横向电荷电荷和和纵向电荷纵向电荷列方程列方程Tq2q2qq2llll2222422sin2 sin(2 sin )qqkkTll22322223444sin(2 cos )sin(2 sin )44cos

13、coskqkqllkqkq2232444sin2 sin(2 sin )kqkqTl223244cos2 cos(2 cos )kqkqTl22323224sin4 sinkqkqTl333sin4costan4因为张力为负因为张力为负，所以连接电荷的是轻杆而不是细绳！，所以连接电荷的是轻杆而不是细绳！57.8115.6sin0.53323231 4sin2sinkql2322321 4 0.8461.172 0.846kqkqll 33334 16sinsin1 16coscosq2q2qq2llll7.4 7.4 静电场中的导体静电场中的导体导体：导体：导电能力强的物体，导体具有大量的自由

14、移动的带导电能力强的物体，导体具有大量的自由移动的带电粒子，能够很好地传导电流，如金属、电解质溶液等。电粒子，能够很好地传导电流，如金属、电解质溶液等。静电感应：静电感应：当把导体放入静电场中当把导体放入静电场中，导体中的自由电子在电，导体中的自由电子在电场力的作用下做宏观定向运动运动，使导体上的电荷重新分场力的作用下做宏观定向运动运动，使导体上的电荷重新分布，这种现象称为布，这种现象称为静电感应。静电感应。金属导体：金属导体：是由带正电的晶格点阵和带负电的自由电子组成。是由带正电的晶格点阵和带负电的自由电子组成。一、一、导体的静电平衡导体的静电平衡E0+EE0静电平衡状态静电平衡状态：导体各

15、处（内部和表面）均无电荷定向运动。：导体各处（内部和表面）均无电荷定向运动。 电荷运动非常快，很快达到静电平衡。电荷运动非常快，很快达到静电平衡。注意：导体内场注意：导体内场强为零，不意味强为零，不意味着外场不进入导着外场不进入导体内部。体内部。静电平衡条件静电平衡条件:用场强来表述用场强来表述 ： 导体内部场强处处为零导体内部场强处处为零, ,用电势来表述用电势来表述 ： 导体成为等势体，导体成为等势体，E内内= 0等势体等势体E表表等等势势面面 表面表面常量常量U表面场强与该处表面垂直表面场强与该处表面垂直.表面成为等势面。表面成为等势面。0UE静电平衡状态静电平衡状态：导体内部和表面均无

16、电荷定向运动：导体内部和表面均无电荷定向运动 的状态。的状态。0内内E二、静电平衡时导体上电荷的分布：二、静电平衡时导体上电荷的分布：1.1.实心导体：实心导体： 内部无净电荷，电荷分部在外表面。内部无净电荷，电荷分部在外表面。 内内=0SVSP0 内内E00 内内qSESd所以该处无净电荷。所以该处无净电荷。P点是任意的，因此内部无净电荷点是任意的，因此内部无净电荷2. 2. 导体球壳（空腔导体）：导体球壳（空腔导体）： 空腔内无带电体时：空腔内无带电体时：（2 2）空腔内无电场，腔内为等势区。）空腔内无电场，腔内为等势区。（1 1）空腔导体内表面无电荷，电荷）空腔导体内表面无电荷，电荷 只

17、能分布在外表面只能分布在外表面。 外外 内内0E内内= 0 外外E内内 内内S在导体中，包围空腔作在导体中，包围空腔作高斯面高斯面S如图如图 ，00 内内导内导内qsESd若若 内内 0，则，则 内内必有正负，必有正负， 与导体为等势体矛盾与导体为等势体矛盾E线从正电荷到负电荷线从正电荷到负电荷= 0= 0则有：则有：证明证明： 内内 0 ，E内内0只能只能 内内 =0，且腔内无，且腔内无 线线内内E只能只能 。0 内内E? 不管空腔导体本身是否带电，也不管导体不管空腔导体本身是否带电，也不管导体外是否存在其他带电体，该结论都成立。外是否存在其他带电体，该结论都成立。 外外=Q+q内表内表=-

18、qE内内 内内q 0 0空腔内有带电体空腔内有带电体q时：时：（1）内表面带与腔内带电体等量反号电荷。）内表面带与腔内带电体等量反号电荷。（2）外表面带与腔内带电体等量同号电荷。）外表面带与腔内带电体等量同号电荷。（3）腔内表面电荷的分布只与腔内带电体）腔内表面电荷的分布只与腔内带电体有关；腔内电荷分布荷和电场分布不受腔有关；腔内电荷分布荷和电场分布不受腔外电荷的影响外电荷的影响Q Q 为空腔导体所带电量为空腔导体所带电量在导体中包围空腔在导体中包围空腔做高斯面做高斯面S ，d0SEsqq 内表内表 则：则：【证明【证明】01()0qq表所以所以 外外S由电荷守恒定律：由电荷守恒定律：如果导体

19、球壳带电为零，如果导体球壳带电为零，Q0q（3）腔内表面电荷的分布只与腔内带电体有关；腔内电荷分）腔内表面电荷的分布只与腔内带电体有关；腔内电荷分布荷和电场分布不受腔外电荷的影响布荷和电场分布不受腔外电荷的影响qABQ0 内内Eq 外外=+q静电屏蔽：静电屏蔽：在静电平衡状态下，空腔导体（不论接地与否）内部电场在静电平衡状态下，空腔导体（不论接地与否）内部电场不受腔外电荷的影响；接地空腔导体外部空间电场不受腔不受腔外电荷的影响；接地空腔导体外部空间电场不受腔内电荷的影响，这个现象称为内电荷的影响，这个现象称为静电屏蔽。静电屏蔽。3. 3. 孤立导体表面上电荷的分布孤立导体表面上电荷的分布 孤立

20、的带电导体，外表面各处的电荷孤立的带电导体，外表面各处的电荷面密度与该处曲率半径成反比。面密度与该处曲率半径成反比。实验可以证明：实验可以证明：rRQ QqrqRQV004141 Rr 小小大大 2244RRrr大小QRqr 静电平衡导体静电平衡导体尖端放电尖端放电雷击尖雷击尖端端4 4、导体表面各处的面电荷密度与的该处表面附近场强的关系：、导体表面各处的面电荷密度与的该处表面附近场强的关系：处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷密度与该表处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷密度与该表面附近的电场强度大小成正比。面附近的电场强度大小成正比。ESE=0P证明：证明：在导体表面外无限靠近表面

21、处任取一点在导体表面外无限靠近表面处任取一点P P在在P P点临近的导体表面上取小面积元点临近的导体表面上取小面积元S S001E ssE nE0n由导体内指向外由导体内指向外由高斯定理：由高斯定理：注：注：E是导体面上所有电荷及周围带电体上电荷所激发的和场强是导体面上所有电荷及周围带电体上电荷所激发的和场强基本依据基本依据:三、有导体存在时静电场的分析与计算三、有导体存在时静电场的分析与计算(2)利用电荷守恒利用电荷守恒ii.Q常常量量(3)利用高斯定利用高斯定理理iiSQsE01 d(4)利用环路定理利用环路定理LlE0d(1)利用静电平衡条件利用静电平衡条件0 0内内ECU E表面表面

22、表面表面静电平衡的导体上的电荷分布静电平衡的导体上的电荷分布Q内内=0， 0 0E E P21 2 21 11 1 2 21 12 2解解: :设金属板面电荷密度设金属板面电荷密度 、 导体体内任一点导体体内任一点P P场强为零场强为零x0 02 2 0 01 12 2 0 02 22 2 无限大的带电平面无限大的带电平面() )的场中的场中平行放置一无限大金属平板。平行放置一无限大金属平板。例题例题1 1求：金属板两面电荷面密度求：金属板两面电荷面密度（1）由电量守恒由电量守恒( + )s=0022202010（2） Q Q例题例题2 2两块面积均为两块面积均为S的金属平板靠近平行放置，一块

23、的金属平板靠近平行放置，一块带电带电Q，另一块不带电，忽略边缘效应。，另一块不带电，忽略边缘效应。解解: :设金属板面电荷密度设金属板面电荷密度 、 、 3 3 、 4 4x 3 4由电荷守恒定律由电荷守恒定律 1)(21 QS 20)(43 SM求：求：（1 1）金属板的电荷分布；（金属板的电荷分布；（2 2）空间电场分布；）空间电场分布；（3 3）右板接地，再求电荷、电场分布。）右板接地，再求电荷、电场分布。SQ241SQ232P导体内场强为零导体内场强为零) 4.(0222204030201) 3.(0222204030201P：M：x（2 2）空间电场分布）空间电场分布A B C040

24、122AESQ0 02 2 BQES32000222SQEC0 02 2 （3 3）右板接地）右板接地, ,再求电荷及场强分布再求电荷及场强分布0 04 41 1 23QS 0 0CAEESQEB0 0 总场强总场强nnEE 3 4SQ241SQ232A B cQ Qx 3 4MP两个平行等大的导体板两个平行等大的导体板A、B，面积，面积S比板的厚度和两板间比板的厚度和两板间距离大得多，两板分别带电距离大得多，两板分别带电QA和和QB，求两导体板各表面，求两导体板各表面的电荷分布。的电荷分布。例题例题4 4解解: :设金属板面电荷密度设金属板面电荷密度 、 、 3 3 、 4 4由电荷守恒定律由电荷守恒定律 12()1ASQ 34()2BSQ) 4.(0222204030201) 3.(0222204030201导体内场强为零导体内场强为零 3 4A B 142ABQQS232ABQQS 讨论：讨论：14230,QS （1）当两板带等量异号电荷时：当两板带等量异号电荷时：ABQQQ 232AQS 142AQS（3）只有一个板带电时：只有一个板带电