电磁场基本方程

1、第二章第二章 电磁场基本方程电磁场基本方程 2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量(9.10学时)2.2法拉弟电磁感应定律和全电流定律法拉弟电磁感应定律和全电流定律2.3麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组（11.12学时）2.4电磁场的边界条件电磁场的边界条件(13.14学时)2.5坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量（15.16学时）2.6唯一性定理唯一性定理返回第第9.109.10学时学时2.12.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量 2.1.1库仑定律和电场强度库仑定律和电场强度两点电荷间的作用力 返回221rqqKrF 其

2、中, K是比例常数, r是两点电荷间的距离, 为从q1指向q2的单位矢量。若q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。比例常数K的数值与力力, 电荷电荷及距离距离所用的单位有关。在SI制中, 库仑定律表达为 )(42021NrqqrF式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), 0是真空的介电常数: mF /1036110854. 89120设某点试验电荷q所受到的电场力电场力为F, 则该点的电场强度电场强度为 )/(mVqFE 由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为 204rqrE除电场强度电场强度E外，描述电场的另一个基本量是电通量密度电通量密度D， 又称为

3、电位移矢量。在简单媒质中，电通量密度由下式定义: )/(2mCED是媒质的介电常数，在真空中=0。则对真空中的点电荷q 有，24rqrD2.1.2高斯定理高斯定理,电通量密度电通量密度电通量为 qrrqdsDS2244此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。根据立体立体角角概念可知, 当所取封闭面非球面时, 穿过它的电通量将与穿过一个球面的相同,仍为q。如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠叠加原理加原理, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量 SQdsD这就是高斯定理高斯定理的积分积分形式，即穿过任一封闭面的电通量，等于此面所包围的自由电荷总电量。对于简单的电荷分布，可

4、方便地利用此关系来求出D。 若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度v分布的, 则所包围的总电量总电量为 dvQVvVVvdvDdv上式对不同的V都应成立, 则两边被积函数必定相等, 于是， vD2.1.3比奥比奥-萨伐定律萨伐定律,磁通量密度磁通量密度两个载流回路间的作用力 l lrrdlIIdlF20) (4r是电流元Idl至Idl的距离, 0是真空的磁导率: mH /10470lBIdlF302044llrrdlIrrdlIB矢量B可看作是电流回路l作用于单位电流元单位电流元(Idl=1 Am)的磁场力, 它是表征电流回路l在其周围建立的磁场特性的一个物理量, 称为磁通量密度磁通量密度或磁

5、感应强度磁感应强度。TmWbmsVmAN22磁通量密度磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力作用力为 BIdlF或用运动速度为v的电荷Q表示, Idl=JAdl=vAdlv=Qv, 其中A为细导线截面积, 得 BQvF对于点电荷q, 上式变成 BqvF通常将上式作为B的定义公式。点电荷q在静电场中所受的电场力为qE, 因此, 当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所受的总力为 )(BvEqF例例2.1 参看下图, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点的磁通量密度。载流直导线解解 采用柱坐标, 电流Idz到P点的距离矢量是)( ) (),( 2/122dzzzzdzzRdlzz

6、RzzzR222202/3220)()(4) (4lzzllzzlIzzdzIBll对无限长直导线, l, 有 20IB 对于无限长的载流直导线, 若以为半径绕其一周积分B, 可得 IdlBIdIdlBlll0002在简单媒质简单媒质中, H由下式定义: )/(mABH2.1.4安培环路定律安培环路定律,磁场强度磁场强度H称为磁场强度, 是媒质的磁导率。在真空中=0, 于是有 lIdlH该式最先由安培在1823年提出, 故称之为安培环路定律安培环路定律。它表明, 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流I。这里的I应理解为传导电流的代数和代数和。利用此定律可方便地计算一些具有对称特征

7、对称特征的磁场分布。 SsdsJdsH)(因为S面是任意取的, 所以必有 JH 2.1.5两个补充的基本方程两个补充的基本方程在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零: ldlE0利用斯托克斯定理可将左端化为E的面积分, 从而得 0E说明静电场是无旋场无旋场即保守场保守场。静电场的保守性质符合能量守能量守恒定律恒定律，它和重力场性质相似。物体在重力场中有一定的位能, 同样地, 电荷在静电场中也具有一定的电位能。从而可引入电位函数: E静电场既然是无旋场无旋场, 则必然是有散场有散场, 它的通量源就是电荷。电力线起止于正负电荷。静磁场的特性则正好相反。因为在自然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力

8、线总是闭合的。这样, 闭合的磁力线穿进封闭面多少条, 也必然要穿出同样多的条数, 结果使穿过封闭面的磁通量磁通量恒等于零零, 即 SdsB0将左端化为B的体积分知 0 B2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律 2.2.1法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷。它们相互独立, 基本方程之间并无联系。但随时间变化的电场和磁场是相互关联的。这首先由英国科学家法拉第法拉第在实验中观察到。即 导线回路所交链的磁通量随时间改变时, 回路中将感应一电动势, 而且感应电动势正比于正比于磁通的时间变化率时间变化率。楞次楞次

9、定律指出了感应电动势的极性, 即它在回路中引起的感应电流感应电流的方向是使它所产生的磁场阻碍阻碍磁通的变化。这两个结果的结合就是法拉第电磁感应定律, 其数学表达式为 dtdm上式可写成 SllSdlBvdstBdsBdtddlE)(右边第一项是磁场随时间变化在回路中“感生感生”的电动势; 第二项是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动动生生”电动势。应用斯托克斯定理斯托克斯定理, 上式左端的线积分线积分可化为面积分面积分。若回路静止, 则穿过回路的磁通量仅受B随时间变化的影响。 故 SSdstBdsE)(因为S任意任意, 从而有 tBE这是法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律的微分形式。

10、其意义是, 随时间变化的磁场将激发电场磁场将激发电场。称该电场为感应电场, 以区别于由电荷产生的库仑电场库仑电场。库仑电场是无旋场即保守场; 而感应电场是旋涡场。其旋涡源就是磁通的变化。 2.2.2位移电流和全电流定律位移电流和全电流定律微分形式基本方程如下: 0BDJHtBEv在任何时刻电荷守恒定律电荷守恒定律都应成立。其数学表达式为电流为电流连续性方程连续性方程: SdtdQdsJJ是电流密度即电流的体密度体密度, 其方向为所在点处正电荷流动的方向, 其大小为垂直于该方向单位面积上每单位时间内通过的电荷量, 单位为A/m2。因此, 若体积中各处都有电荷流动, 则通过某封闭面S的总电流为，它

11、是每单位时间流出S面的电荷量电荷量, 应等于S面内每单位时间所减少减少的电荷量-dQ/dt。 SIAdsJ把上式两端用体积分体积分表示, 对静止体积静止体积V有 VVVcvdvtdvtJdv上式对任意任意选择的V都成立, 故有 tJv微分形式微分形式的电流连续性方程： JH0)(tJHv0)(tDJH)(tDJH 的量纲是(库仑库仑/米米2)/秒秒=安安/米米2, 即具有电流密度的量纲, 故称之为位移电流密度位移电流密度(Displacement Current Density) Jd, 即 tD /tDJdlSdstDJdlH对左端应用斯托克斯定理斯托克斯定理, 便得到其积分积分形式: 上式

12、说明: 磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流全电流。 2.2.3全电流连续性原理全电流连续性原理dvctJJJJ0)(dvcJJJ对任意封闭面S有 0)()(dvJJJdsJJJVdvcSdvc即 0dvcIII穿过任一封闭面的各类电流之和电流之和恒为零零。这就是全电流连续全电流连续性性原理。将它应用于只有传导电流的回路中, 得知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号, 流入取负号)。即为基尔霍夫基尔霍夫电流定律: I=0。 例例设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容器的电流I与U的关系。 平板电容器 解解tEAtDAAJIIdd设平板尺寸远大于其间距,

13、则板间电场可视为均匀, 即E=U/dtUdAItUCI式中C=A/d为平板电容器的电容。 第第11.12学时学时2.3麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2.3.1麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式麦克斯韦 返回麦克斯韦方程组及电流连续性方程麦克斯韦方程组及电流连续性方程这四个方程的物理意义可简述如下: (a) 时变磁场时变磁场将激发电场电场; (b) 电流电流和时变电场时变电场都会激发磁场磁场; (c) 穿过任一封闭面的电通量电通量等于此面所包围的自由电荷电量自由电荷电量; (d) 穿过任一封闭面的磁通量磁通量恒等于零零。 麦氏方程组中的四个方程并不都是独立独立的。

14、上表中两个散度方程可由两个旋度方程导出。例如, 对式(b)取散度, 得 0tDJ将连续性方程代入上式, 有 0)(Dttv则 )(常数CDv2.3.2本构关系和波动方程本构关系和波动方程对于简单媒质简单媒质,本构关系是)()()(hEJgHBfED对于真空(或空气), =0, =0, =0。 =0的媒质称为理想介理想介质质, =的导体称为理想导体理想导体, 介于二者之间的媒质统称为导电媒质导电媒质。 若媒质参数与位置无关, 称为均匀均匀(homogeneous)媒质媒质;若媒质参数与场强大小无关, 称为线性线性(linear)媒质媒质; 若媒质参数与场强方向无关, 称为各向同性各向同性(iso

15、tropic)媒质媒质; 若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质非色散媒质; 反之称为色色散散(dispersive)媒质媒质。利用上述关系式, 将表中的各式可化为 0/HEtEJHtHEv)()(2HtEEE222tEE022tEE即 0)(222tHHH为研究简单媒质中的有源区域有源区域时, J0, v0, 由类似的推导得 JtHHtJtEEv222222该二式称为E和H的非齐次矢量波动方程非齐次矢量波动方程。其中场强与场源的关系相当复杂, 因此通常都不直接求解这两个方程, 而是引入下述位函数位函数间接地求解E和H。 2.3.3电磁场的位函数电磁场的位函数由中的麦氏方程组式知, B=0

16、。由于(A)=0, 因而可引入下述矢量位函数矢量位函数A(简称矢位矢位或磁矢位磁矢位): AHAB1即 而由表中的麦氏方程组式(a)知, 0tBE0tAE由于=0, 故引入标量位函数标量位函数(简称标位或电标位): tAEtAE即前加负号是为了使 时化为静电场的E= -。 0/tAtAtJA因A=(A)-2A, 上式可改写为 tAJtAA222为使上述方程具有最简单的形式, 令 tA为洛仑兹规范洛仑兹规范JtAA222vAt2vt222JAtA)()(222Jtt222tJv例例 试用麦克斯韦方程组导出如图所示的RLC串联电路的电压方程(电路全长远小于波长)。 RLC串联电路 解解沿导线回路l

17、作电场E的闭合路径积分, 根据表麦氏方程式ldtddlE上式左端就是沿回路的电压降, 而是回路所包围的磁通。将回路电压分段表示, 得 0dtdUUUUdacdbcab设电阻段导体长为l1, 截面积为A, 电导率为, 其中电场为J/, 故 AlRIRlAIlJdlJUbaab111,电感L定义为m/I, m是通过电感线圈的全磁通, 得 dtdILdtdUmbc通过电容C的电流已得出: IdtCUdtdUCIcd1设外加电场为Ee, 则有 edaeadedaVdlEdlEU因为回路中的杂散磁通杂散磁通可略, d/dt0, 从而得 eVIdtCdtdILIR1这就是大家所熟知的基尔霍夫电压定律。对于

18、场源随时间作简谐变化简谐变化的情形, 设角频率为, 上式可化为 CLjIIRUs1例例 证明导电媒质内部v=0。 ;解解 利用电流连续性方程, 并考虑到J=E, 有 tEv在简单媒质中, E=v/, 故上式化为 0vvt其解为 )/(3)/(0mCetvv可见, v随时间按指数减小。衰减至v0的1/e即36.8%的时间 (称为驰豫时间驰豫时间)为=/(s)。对于铜, =5.8107S/m, =0, 得=1 .510-19s。因此, 导体内的电荷极快地衰减, 使得其中的v可看作零。 第第13.1413.14学时学时2 .4 2 .4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件2 .4 .1 2 .4 .1

19、 一般情况一般情况电磁场边界条件 返回得到E和H的切向分量边界条件边界条件为 ttEE21对此回路应用表中的麦氏旋度方程式(a) , (b),可得 lJdstDlHHdlEdstBlElElElEdlEsSlttStlt10)(212121计算穿出体积元Sh表面的D, B通量时, 考虑S很小, 其上D, B可视为常数, 而h为高阶微量, 因此穿出侧壁的通量可忽略, 从而得 SBBdsBSSDDSnDSnDdsDnnSsnnS)()()(212121式中s是分界面上自由电荷的面密度面密度。对于理想导体, , 其内部不存在电场(否则它将产生无限大的电流密度J=E), 其电荷只存在于理想导体表面理想

20、导体表面, 从而形成面电荷s。于是有 nnsnnBBDD2121电磁场的边界条件电磁场的边界条件上述边界条件的含义可归纳如下: 任何分界面上E的切向分量是连续连续的; 在分界面上若存在面电流(仅在理想导体表面上存在), H的切向分量不连续不连续, 其差等于面电流密度; 否则, H的切向分量是连续的; 在分界面上有面电荷(在理想导体表面上)时, D的法向分量不连续不连续, 其差等于面电荷密度; 否则, D的法向分量是连续连续的; 任何分界面上B的法向分量是连续连续的。两种理想介质间的边界条件两种理想介质间的边界条件2.4.2两种特殊情况两种特殊情况理想介质理想介质是指 ，即无欧姆损耗的简单媒质。

21、在两种理想介质的分界面上不存在面电流和自由电荷，即Js=0, 。00s理想介质理想介质和理想导体和理想导体间的边界条件间的边界条件理想导体表面的电磁场 例例 同轴线横截面如图(a)所示。设通过直流I,内外导体上电流大小西等，方向相反。求各区中的H和H，并验证各分界处的边界条件。(a) 同轴线; (b)平板电容器 解解直流情形下内外导体中电流密度是均匀的,分别为 )(1,1222bcJaJba22222,22:) 1 (aIHaIHaIJHaa由于H只有H分量，可知，aJaIzaIzHzzHH22221)(1(2)021,2,2:IzHIHIHba(3)bbJbcIzbccIzHbccIHbcc

22、IbJIHcb)(212,)(2:22222222222222220, 0, 02:HHIIHc(4)以上H结果证明表中的麦氏方程组式(b)处处成立。下面再验证边界条件边界条件: aIHHaIHHaaIHHatttt22,2:2122211 处bIHHbIHbIHbtttt22,2:3232 处00, 02:43422223ttttHHHbccccIHc处例例 设平板电容器二极板间的电场强度为3 V/m, 板间媒质是云母, r=7 .4, 求二导体极板上的面电荷密度。 解解 把极板看作理想导体, 在A , B板表面分别有 210121012111/1097. 1/1097. 1310854.

23、84 . 7mCDmCEDnSBnnSA第第15.16学时学时2.5坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量2.5.1坡印廷定理的推导和意义坡印廷定理的推导和意义JEtDEtBHHEtDJEtBHHEHEEHHE)()()()()()()(返回上式两端对封闭面S所包围的体积V进行积分, 并利用散度定理散度定理SVdvJEtDEtBHdsHE)(222221212121EttEtEtEtEEtEEtEEtEEtDEzyxzzyyxxsVVJdvEdvHEtdsHE222121)(式中右端各项被积函数的含义是: 221Ewe电场能量密度电场能量密度, 单位: (F/m) (V2/m2)=J/m3; 221Hwm磁场