空间两条直线的位置关系

1、2.2.异面直线异面直线1.1.平行直线平行直线公共点个数公共点个数共面情况共面情况位置关系位置关系相交直线相交直线平行直线平行直线异面直线异面直线在同一平面内在同一平面内在同一平面内在同一平面内不同在任一平面内不同在任一平面内仅有一个仅有一个没有没有没有没有 平平 行行 直直 线线共共面面空空 间间 直直 线线相相 交交 直直 线线不不 共共 面面 异异 面面 直直 线线 平平 行行 直直 线线没没 有有 交交 点点空空 间间 直直 线线异异 面面 直直 线线只只 有有 一一 个个 交交 点点 相相 交交 直直 线线1.1.平行直线平行直线公理公理4:4:平行于同一条直线的两条直线平行平行于

2、同一条直线的两条直线平行abc /abacbc例例1.在长方体在长方体A-C1中中,已知已知E,F分别为分别为AB,BC的中点的中点,求证求证:EF/A1C1DABCA1D1B1C1EF证明证明:连接连接AC,因为因为 E,F为中点为中点所以所以 EF/AC又因为又因为 AA1/CC1 且且AA1=CC1所以所以 AC/A1C1所以所以 EF/A1C1等角定理等角定理: :如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同且方向相同, ,那么这两个角相等那么这两个角相等B1A1CBAC1E1ED1D已知已知: :如图如图, ,AB/AAB/A1 1B B

3、1 1，AC/AAC/A1 1C C1 1, ,BACBAC与与BB1 1A A1 1C C1 1的方向的方向相同相同求证求证:BAC=B:BAC=B1 1A A1 1C C1 1 111111/ABA BAA D DADA D四边形是平行四边形四边形是平行四边形11111111/AADDDDEEAAEEDD E E 同理同理四边形是平行四边形四边形是平行四边形111111111DED EADA DADEA D EAEA E 111BACB AC 111111111111,.BACB ACADA D AEA EAA DD EE DE D E 证证明明：分分别别在在和和两两边边上上截截取取连连结

4、结思考题思考题: :如果一个角的两边和另一个角的两边如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行分别平行, ,那么这两个角还相等吗那么这两个角还相等吗? ?为什么为什么? ?例例2.已知已知E,E1分别为正方体分别为正方体A-C1的棱的棱AD,A1D1的中点的中点,求证求证: C1E1B1=CEB.DABCA1D1B1C1EE1分析分析:设法证明设法证明E1C1/EC和和E1B1/EB即可即可.练习与思考HGFEDCBA如图如图,ABCD,ABCD为空间四边形为空间四边形, ,E,F,G,HE,F,G,H分别为中点分别为中点. .求证求证:EFHG:EFHG为平行四边形为平行四边形若将若将F,HF

5、,H点改为三等分点点改为三等分点, ,即即AF/FD=CH/HD=3/2.AF/FD=CH/HD=3/2.试问直线试问直线EFEF与直线与直线GHGH是否能相交是否能相交? ?2.2.异面直线异面直线C1B1D1A1DCBA如图如图1,1,在长方体在长方体A-CA-C1 1中中, ,直线直线ABAB与与A A1 1C C且有怎样且有怎样的位置关系的位置关系? ?异面直线的判定方法异面直线的判定方法: :AB,lABl BABl 若则直线与 是异面直线例例. .已知直线已知直线ABAB与直线与直线CDCD为异面直线为异面直线 求证求证; ;直线直线ACAC与直线与直线BDBD也为异面直线也为异面

6、直线DBCA证明证明: :假设假设ACAC与与BDBD不是异不是异 面直线面直线, ,无仿设无仿设AC,BDAC,BD 确定平面确定平面所以所以 A,B,C,DA,B,C,D,AB CDAB CD 与为异面直线与为异面直线相矛盾相矛盾假设错误,故AC,BD为异面直线假设错误,故AC,BD为异面直线异面直线所成的角的定义:a,b是异面直线,经过空间任一点O,作直线a1/a,b1/b, 我们把直线a1和b1所成的锐角(或直角) 叫做异面直线所成的角abb1a1oaba10 ,90由定义可知异面直线所成角范围为请问请问:异面直线所成的角异面直线所成的角的范围是的范围是_例例. .已知已知A-CA-C

7、1 1是棱长为是棱长为a a的正方体的正方体(1)(1)正方体的哪些棱所在的直线正方体的哪些棱所在的直线与直线与直线BCBC1 1是异面直线是异面直线; ;(2)(2)求异面直线求异面直线AAAA1 1与与BCBC所成的角所成的角; ;(3)(3)求异面直线求异面直线BCBC1 1与与ACAC所成的角所成的角. .DABCA1D1B1C1ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线A1B和和B1C所成的角？所成的角？A1B和和B1C所所成的角为成的角为60和和A1B成角为成角为60的面对角的面对角线共有线共有 条。条。DABCA1D1B1C1若两条异面直线a, b

8、所成的角是直角,则称这两条异面直线相互垂直相互垂直.记为ab .如图如图,在长方体在长方体A-C1中中,哪些棱所在的直哪些棱所在的直线与直线线与直线AA1是异面是异面垂直垂直?动动你的手动动你的手: 在两个相交平面内各画一条直线在两个相交平面内各画一条直线, 使它们成为使它们成为: 1.平行直线平行直线 2.相交直线相交直线 3.异面直线异面直线1.1.指出下列命题是否正确指出下列命题是否正确, ,并说明理由并说明理由: :(1)(1)过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线; ;(2)(2)过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直过直线外一点

9、只有一条直线与已知直线垂直. .2.2.如图如图, ,在长方体在长方体A-CA-C1 1中中, ,哪些棱所在直线与哪些棱所在直线与AAAA1 1所所在直线是异面垂直在直线是异面垂直? ?3.3.如果两条直线如果两条直线a a和和b b没有公共点没有公共点, ,那那么它们的位置关系为么它们的位置关系为_A.A.共面共面 B.B.平行平行 C.C.异面异面 D.D.平行或异面平行或异面DABCA1D1B1C14.直线a分b别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则它们的位置关系为_A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面5.指出下列命题是否正确.并说明理由:(1) / ,;(2),/ .ab cacbac bcab6.60 ,60_.abacbcABCD直线 与 所在的角为与 所成的角也为那么直线 与 的位置关系是相交 平行 异面 都有可能探究:如图,设点A为投影中心,PQR在平面上的投影为CBD,若直线QP和BC的延长线交于M点,直线QR与BD的延长线交于N点,直线RP与DC的延长线交于点K,那么