chapter可靠性数学基础学习教案

1、第2章 可靠性数学(shxu)基础 电子科技大学(dxu) 第1页/共49页第一页，共50页。本章(bn zhn)内容数理统计基本概念常用的概率分布随机变量函数均值(jn zh)与方差的近似计算 第2页/共49页第二页，共50页。数理统计(sh l tn j)的基本概念 总体（母体）是研究对象(duxing)的全体。 总体可以是尺寸、寿命、时间和强度等。 总体可以分为有限总体和无限总体。 个体是组成总体的每个基本单元抽样(chu yn)和样本 总体与个体抽样是随机的抽取和组成样本的过程。样本是取自总体的部分个体的集合。样本所包含的个体数目，称为样本容量。 第3页/共49页第三页，共50页。 集

2、中趋势的是指分布(fnb)密度的图形集中趋向于哪里，即分布(fnb)的中心位置在哪里。 随机变量集中趋势(qsh)的尺度 均值 分布(fnb)的平均值 中位数 分布(fnb)密度图的中间值 众数 频率(或频数)为最大的随机变量的位置 第4页/共49页第四页，共50页。第5页/共49页第五页，共50页。随机变量(su j bin lin)分散性的尺度 分散性是指分布(fnb)的离散程度 方差 2X标准差 X变异系数 XCXXXC变异系数的值越小，变量(binling)的分散性越小 极差 RmaxminRxx第6页/共49页第六页，共50页。样本(yngbn)经验分布函数定义(dngy)：设总体的

3、一组样本(yngbn)观测值，将其按从小到大排列12.nttt经验分布函数是总体分布函数的近似。下标i表示失效数据的序号。110( )/1iiinttF ti nttttt 对一批观测数据，若样本量较大，20n 第7页/共49页第七页，共50页。样本量较大时，也可以根据可靠度定义，直接计算(j sun)其经验分布经验(jngyn)分布函数的计算( )( )nr tF tnt时刻(shk)失效样本数参加试验的产品数第8页/共49页第八页，共50页。经验(jngyn)分布函数的计算样本量较小时(xiosh)( )0.5 /niF tinHansen公式( )/1niF tin数学期望公式 ( )0

4、.3 /0.4niF tin中位秩公式 median rank第9页/共49页第九页，共50页。本章(bn zhn)内容数理统计基本概念常用的概率分布随机变量函数均值(jn zh)与方差的近似计算 第10页/共49页第十页，共50页。概率分布的作用(zuyng)制定(zhdng)合理的维修和保修制度计算产品(chnpn)的可靠性参数计算产品的寿命特征预测产品的故障规律第11页/共49页第十一页，共50页。离散型随机变量(su j bin lin)的常用分布（0-1）分布Beroulli分布（二项分布） 部分(b fen)冗余Poisson分布几何分布与负二项分布超几何分布第12页/共49页第十

5、二页，共50页。分布类型分布类型可靠性工程中的应用可靠性工程中的应用（0-1）分布分布描述具有两种结果的随机试验描述具有两种结果的随机试验二项分布二项分布部分冗余时，计算系统成功的概率部分冗余时，计算系统成功的概率Poisson分布分布描述产品在某个时间区间内受到外界描述产品在某个时间区间内受到外界“冲击冲击”的次数。的次数。几何分布和二几何分布和二项分布项分布描述试验中失败次数的分布描述试验中失败次数的分布超几何分布超几何分布适用于较小规模的抽样问题适用于较小规模的抽样问题离散型随机变量的分布类型(lixng)及其应用第13页/共49页第十三页，共50页。连续型随机变量(su j bin l

6、in)的常用分布正态分布截尾正态分布对数(du sh)正态分布G分布指数分布威布尔分布极值分布第14页/共49页第十四页，共50页。1. 指数分布 Exponential Distribution( )tR te( )1tF te ( )( )tF tf tedt1( )E t21( )D t第15页/共49页第十五页，共50页。指数分布在可靠性计算(j sun)中的应用( )( )( )ttf tetR te故障率11( )lnt RR可靠寿命11(0.5)ln0.5t中位寿命描述电子设备寿命分布规律；描述大型复杂(fz)系统故障时间间隔的分布规律。第16页/共49页第十六页，共50页。例

7、题求该设备使用(shyng)100小时和1000小时后的可靠度。 已知某设备的失效率 415 10 h ( )tR te工作100h后的可靠度为 45 101000.05(100)0.95Ree 工作1000h后的可靠度为45 1010000.005(1000)0.61Ree 第17页/共49页第十七页，共50页。2. 正态分布 Normal Distribution (Gaussian distribution )22()21( ) (- + )2tf tet22()21( )d (-)-2ttF tett 概率密度函数累积分布(fnb)函数描述由于磨损、腐蚀引起失效的产品寿命；对制造(zh

8、zo)的产品及其性能进行分析和质量控制。第18页/共49页第十八页，共50页。tt正态分布的概率密度曲线(qxin)第19页/共49页第十九页，共50页。标准(biozhn)正态分布2( )21( ) (- + )2zzez0,1的正态分布称为标准正态分布。221( ) d - +-2zzzezz标准(biozhn)正态分布的概率密度函数标准(biozhn)正态分布的累积分布函数查正态分布表。第20页/共49页第二十页，共50页。例 题(1.96)P Z (1.96)P Z (1.96)P Z ( 1.961.96)PZ已知(0,1)ZN第21页/共49页第二十一页，共50页。2( ,)(0,

9、1)NN 非标准正态分布如何(rh)变为标准正态分布？tz令221( ) d()=( ) 2-ztzF tez=z( )1-( ) R tz第22页/共49页第二十二页，共50页。例 题有100个某种材料的试件进行抗拉强度试验，测得试件材料的强度极限的均值(jn zh)与标准差分别为 600MPa50MPa求：（1）试件材料(cilio)的强度小于600MPa的概率； （2）强度在（550450）MPa区间内的概率。 600600050 xz(600)( )(0)0.5P xF z解：（1）第23页/共49页第二十三页，共50页。（2）若强度(qingd)落在（550450）MPa区间内550

10、600450600(450550)5050 130.15870.00130.1574Px第24页/共49页第二十四页，共50页。22ln)11( )exp (0)22yyyxf xxt 22ln)111( )expd (0)022yyyxxF xxxx 如果随机变量X 的自然对数Y=ln(X)服从正态分布(fnb)，则X服从对数正态分布(fnb) ，概率密度函数和累积分布(fnb)函数分别为：对数(du sh)正态分布 Log-Normal Distribution随机变量(su j bin lin)Y的均值和标准差第25页/共49页第二十五页，共50页。2lnln1( )expdZ=22yy

11、yyxxzF x累积分布概率(gil)的计算对数(du sh)正态分布 Log-Normal Distribution利用标准(biozhn)正态分布求解21( )exp()2xyyE x222var( )exp1xyyx均值和标准差第26页/共49页第二十六页，共50页。21ln2yxy222ln1xyxlnYX的均值和标准差用对数变换可将较大的数缩小为较小的数，在机械(jxi)零、部件的疲劳寿命、疲劳强度、耐磨寿命以及描述维修时间的分布等研究中，常应用对数正态分布。对数(du sh)正态分布 Log-Normal Distribution第27页/共49页第二十七页，共50页。例题(lt)

12、某工程机械的正常运行时间（两次失效之间的时间）服从对数(du sh)正态分布，其均值为6个月，标准差为个月。若要求在任何时间内一台设备能处于运行状态的概率至少为，试计算每台设备的维修周期。 6x1.5x222221.5ln1ln10.06066xyx2211lnln60.06061.761422yxy解：第28页/共49页第二十八页，共50页。要求设备处于运行状态(zhungti)的概率为，则不可靠度为 ()1 0.900.10()ppF xz ln1.282pypyxz 查正态分布表，得 1.282 0.246 1.76144.24pyyZpxee则维修(wixi)周期为 （月）第29页/共

13、49页第二十九页，共50页。Waloddi Weibull1887-1979A statistical distribution function of wide applicability. Journal of Applied Mechanics, 1951,18(3):293297 3. 威布尔分布(fnb) Weibull Distribution第30页/共49页第三十页，共50页。1( )expttf tt若随机变量T服从三参数(cnsh)威布尔分布，则其概率密度函数：累积分布函数为 ( )()1exptF tP Ttt 其中：000形状参数尺寸参数位置参数3. 威布尔分布(fnb

14、) Weibull Distribution第31页/共49页第三十一页，共50页。两参数威布尔分布(fnb)的概率密度函数和累积分布(fnb)函数分别： 1( ) ttf te( )1exptF t 时，三参数威布尔分布(fnb)转变为两参数威布尔分布(fnb)。3. 威布尔分布(fnb) Weibull Distribution第32页/共49页第三十二页，共50页。威布尔分布变量的数学(shxu)期望和方差分别为： 2221var( )11T1( )1E T t式中：为伽马函数(hnsh)第33页/共49页第三十三页，共50页。01取值对概率密度曲线形状(xngzhun)的影响概率密度函

15、数曲线(qxin)第34页/共49页第三十四页，共50页。02取值对概率密度曲线形状(xngzhun)的影响概率密度函数曲线(qxin)第35页/共49页第三十五页，共50页。12取值对概率密度曲线(qxin)形状的影响概率密度函数曲线(qxin)第36页/共49页第三十六页，共50页。描述疲劳(plo)寿命的威布尔分布模型 00()1 expbaNNF NNN 疲劳寿命的分布函数 100000()expbbaaaNNNNbf NNNNNNN0NN位置参数，即最小寿命参数；特征寿命参数；形状参数。 0NaNb疲劳寿命的概率密度函数 第37页/共49页第三十七页，共50页。本章(bn zhn)内

16、容 数理统计(sh l tn j)基本概念 常用的概率分布 随机变量函数均值与方差的近似计算 第38页/共49页第三十八页，共50页。随机变量函数均值(jn zh)与方差的近似计算 工程中有许多随机事件(shjin)，大多需要用两个、三个或多个随机变量的函数来描述，当已知其中每一个随机变量的均值及标准差，可以通过一些方法来估计和计算随机变量函数的均值和标准差。 三种方法： 基本函数(hnsh)法泰勒级数法变异系数法第39页/共49页第三十九页，共50页。基本(jbn)函数法第40页/共49页第四十页，共50页。泰勒(ti l)级数法1( )()() var( )2xxE yffx2var( )

17、( )var( )xyfx一维随机变量(su j bin lin)函数的近似解多维随机变量(su j bin lin)函数的近似解21221()( )(,.,)var()iinniiixfE yfxx X21( )var( )var( )iiniiixfyxxX第41页/共49页第四十一页，共50页。例 题 已知某一销轴半径(bnjng)r的均值和标准差分别为10mmr0.5mmr求此销轴截面积A的均值和标准差。2Ar2222()3.14 (100.5 )314.8mmArr 224 1/2(42)231.4mmArrrrr 解：第42页/共49页第四十二页，共50页。2Ar2( )Af rr

18、( )2frr( )2fr1( )()() var( )2ArrE Affr2221()22Arrrrf 222100.5314.9mm第43页/共49页第四十三页，共50页。2( )Af rr( )2frr( )2fr2222var( )()var( )2985.96mmrrrAfr2985.96=31.4mmA2Arr 第44页/共49页第四十四页，共50页。例 题一拉杆受外力(wil)作用，若外力(wil)的均值和标准差分别为221000mm ,80mmAA20000NP ?SS2000NP杆横截面积的均值(jn zh)和标准差分别为求拉应力(yngl)的均值和标准差。第45页/共49页第四十五页，共50页。解：( ,)PSf P AA220000( )20N/mm20MPa1000PE SSA22var( )var( )va