专题11 一次函数背景的存在性-直角三角形（解析版）

1、初中数学函数专题-一次函数第11节 一次函数背景的存在性-直角三角形 内容导航方法点拨一、直角三角形的存在性1、勾股定理及其逆定理（1） 若ABC为直角三角形，那么：。（2）若，那么：ABC为直角三角形。2、直线与斜率的关系在平面直角坐标系中，若两直线垂直，（）二、等腰直角三角形的存在性第一步：易证BADECB，如果再加一个条件BD=BE，此时BADECB（AAS）所以，AB=CE，AD=CB第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。 例题演练1如图，已知一次函数y14x+b的图象与x轴、一次函数y2x2的图象分别交于点C，D，点D的坐标为（2，m）若在x轴上存在点E，使得以点C，D，E为

2、顶点的三角形是直角三角形，请写出点E的坐标（2，0）或（18，0）【解答】解：点D（2，m）在一次函数yx2上，m224，点D的坐标为（2，4），点D（2，4）在一次函数y4x+b上，44×（2）+b，得b4，一次函数y4x+4，当y0时，x1，点C的坐标为（1，0），如图，当点E为直角顶点时，过点D作DE1x轴于E1，D（2，4），E1（2，0）；当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；当点D为直角顶点时，过点D作DE2CD交x轴于点E2，设E2（t，0），C（1，0），E1（2，0），CE21t，E1E22t，D（2，4），DE14，CE11（2）1，在RtDE1E2中，DE22D

3、E12+（E1E2）242+（2t）2t2+4t+20，在RtCDE1中，CD212+4217，在RtCDE2中，CE22DE22+CD2，（1t）2t2+4t+20+17解得t18E2（18，0）；由上可得，点E坐标为（2，0）或（18，0），故答案为（2，0）或（18，0）二解答题（共12小题）2一次函数yx+3的图象分别交x、y轴于A、B两点，是否在坐标轴上存在一点C使得ABC为直角三角形？若有，请求出C点的坐标【解答】解：存在，理由如下：一次函数yx+3，当x0时，y3；当y0时，x3，B（0，3），A（3，0），OA3，OB3，tanABO，ABO60°，OAB30

4、6;，分三种情况：如图所示：当ABC90°时，ACB60°，OC，C（，0）；当ACB90°时，C与O重合，C（0，0）；当BAC90°时，ACO60°，OCOA3×39，C（0，9）；综上所述：存在一点C使得ABC为直角三角形，C点的坐标为（，0）或（0，0）或（0，9）3如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）是直线yx2上一点，点A向上平移5个单位长度得到点B（1）求点B的坐标；（2）在直线yx2上是否存在一点C，使得ABC是直角三角形，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由；（3）若一次函数ykx2图象与线段AB存在公共点D

5、，直接写出k的取值范围【解答】解：（1）点A（1，m）是直线yx2上一点，m123点A的坐标为（1，3），点A向上平移5个单位长度得到点B的坐标为（1，2）；（2）存在，当B90°时，如图，B（1，2），C点在yx2上，2x2，解得：x4，C（4，2），BC5，点A向上平移5个单位长度得到点B，ABBC5，CAB45°，当ACB90°时，作CGAB于G，CAB45°，ABC是等腰直角三角形，G为AB中点，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（1，2），G（1，0.5）点C在yx2上，0.5x2，解得：x1.5，C（1.5，0.5）综上，存在一点C，使得A

6、BC是直角三角形，C点坐标为（4，2）或（1.5，0.5）；（3）当直线ykx2过点A（1，3）时，得3k2，解得k1当直线ykx2过点B（1，2）时，得2k2，解得k4如图，若一次函数ykx2与线段AB有公共点，则k的取值范围是1k4且k04如图，已知一次函数yx2的图象与y轴交于点A，一次函数y4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数yx2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（2，4）（1）关于x、y的方程组的解为（2）求ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）一次函数y

7、x2的图象与一次函数y4x+b的图象交于点D，且点D的坐标为（2，4），关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是，故答案为：；（2）把点D的坐标代入一次函数y4x+b中得：8+b4，解得：b4，B（0，4），A（0，2），AB4（2）6，SABD6；（3）存在，如图1，当点E为直角顶点时，过点D作DEx轴于E，D（2，4），E（2，0）；当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；当点D为直角顶点时，过点D作DECD交x轴于点E，作DFx轴于F，设E（t，0），当y0时，4x+40，x1，C（1，0），F（2，0），CE1t，EF2t，D（2，4），DF4，CF1（2）1，在RtDEF中，

8、DE2EF2+DF242+（2t）2t2+4t+20，在RtCDF中，CD212+4217，在RtCDE中，CE2DE2+CD2，（1t）2t2+4t+20+17，解得t18，E（18，0），综上，点E的坐标为：（2，0）或（18，0）5如图，一次函数yx+2的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，直线ykx+b经过点B与点C（2，0）（1）点A的坐标为（3，0）；点B的坐标为（0，2）；（2）求直线ykx+b的表达式；（3）在x轴上有一动点M（t，0），过点M做x轴的垂线与直线yx+2交于点E，与直线ykx+b交于点F，若EFOB，求t的值（4）当点M（t，0）在x轴上移动时，是否存在t的值使得

9、CEF是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，直接答不存在【解答】解：（1）一次函数yx+2的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，令y0，则x3；令x0，则y2，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，2），故答案为：（3，0），（0，2）（2）直线ykx+b经过点B与点C（2，0）解得：直线ykx+b的表达式为yx+2（3）MEx轴，点M、E、F的横坐标都是t，点E（t，t+2），点F（t，t+2）EF|t|，EFOB2，2|t|t±（4）当点M在点C左边时，点E与点A重合时，CEF90°，CEF是直角三角形，t3；当点M在点C右边，且ECF90°时，E

10、CF90°，ECM+FCM90°，且ECM+CEF90°，CEFFCM，且CMFCME90°，CMEFMC，（t2）2（t+2）（t2）t2（不合题意舍去），t12综上所述：t3或t12时，CEF是直角三角形6如图，平面直角坐标系中，已知直线yx上一点P（1，1），过点B（3，0）作直线ABx轴，直线AB与直线yx交于点A直线yx+3与y轴交于点C，与直线AB交于点D，DCO60°（1）点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（3，3）；（2）在直线AB上有一点M，使PBM是直角三角形，求点M的坐标；（3）在直线yx+3上有一点N，使PN+ND最小

11、，求此时点N坐标，及PN+ND的最小值【解答】解：（1）令x0，则yx+33，C（0，3），ABx轴，且D在AB上，B的坐标为（3，0），令x3，则yx+33，D（3，3），故答案为：（0，3），（3，3）；（2）设点P坐标为（3，t），P（1，1），B（3，0）PB，MBt，MP，当PB2+MB2MP2时，（）2+t2（）2，解得t0（舍去），当PB2+MP2MB2时，（）2+（）2t2，解得t5，当MB2+MP2PB2时，t2+（）2（）2，解得t1或t0（舍去），M的坐标为（3，5）或（3，1）；（3）过点N作NHx轴，垂足为H，过点D作DMy轴，垂足为M，两线交于点Q，DCO60

12、76;，DNQ60°，在RtDNQ中，NQND，作点P关于CD的对称点为P'，过点P'作P'RQD于R，则PN+ND的最小值为P'R，点P关于CD的对称点为P'，P'（）PN+NH的值最小时，PN+ND最小，当P与N共线垂直于x轴时，PN+NH值最小，N（1，3），PN+ND2×（31）47一次函数ykx+（k0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点（1）求一次函数解析式和m的值；（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处点P在直线AB上，直线CP把ABC分成面积之比为2：1的两部分求直线C

13、P的解析式；（3）在第二象限是否存在点D，使BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把点A（1，0），B（0，m）代入ykx+，得，解得，一次函数解析式为y+，m的值为；（2）过点P作PQx轴，垂足为点Q，由（1）得，B（0，），点A（1，0），OA1，OB，AB2，线段A绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处，ABAC2，C（1，0），SABC，若直线CP把ABC分成面积之比为2：1的两部分，则有以下两种情况：当SBCP：SACP2：1时，SACPSABC，P1Q1，点P1的纵坐标为，将其代入一次函数y+得，点P1的坐标为（

14、，），设直线CP1的解析式为ym1x+n1，将点C（1，0），点P1（，）代入得，解得，直线CP1的解析式yx+；当SBCP：SACP1：2时，SACPSABC，P2Q2，将其代入一次函数y+得，点P2的坐标为（，），设直线CP2的解析式为ym2x+n2，将点C（1，0），点P2（，）代入得，解得直线CP2的解析式yx+；综上所述：直线CP的解析式yx+或yx+；（3）存在，BCD是以BC为腰的等腰直角三角形，当BCCD1时，BCD190°，M1CD1+OCBOCB+OBC90°，M1CD1OBC，在RtM1CD1和RtOBC中，RtM1CD1RtOBC（AAS），CM1O

15、B，D1M1OC1，点D1（1，1）；当BCBD2时，类比可证RtBD2M2RtCBO（AAS），BM2OC1，D2M2OB，点D2（，）；综上所述，D点坐标（1，1）或（，）8如图，在平面直角坐标系中，一次函数yk1x+b的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数yk2x的图象交点为C（3，4）（1）求正比例函数与一次函数的关系式（2）若点D在第二象限，DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标（3）在y轴上是否存在一点P使POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标【解答】解：（1）A（3，0），C（3，4）代入yk1x+b得：，解得，一次函数

16、关系式为yx+2，C（3，4）代入yk2x得：43k2，解得k2，正比例函数关系式为yx；（2）DAB90°，过D作DEx轴于E，如图：由yx+2可得B（0，2），OB2，A（3，0），OA3，AB，DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，ADAB，ADE90°DAEOAB，而DEAAOB90°，ADEBAO（AAS），AEOB2，DEOA3，OEOA+AE5，D（5，3），ABD90°，过D作DEy轴于E，如图：同可得：BEOA3，DEOB2，OE5，D（2，5），综上所述，DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，D坐标为（5，3）或（2，5）；（3）

17、存在y轴上的点P，使POC为等腰三角形，理由如下：设点P（0，m），而C（3，4），O（0，0），OC5，OP|m|，CP，当OPOC时，|m|5，m±5，P（0，5）或（0，5），当CPOC时，5，m8或m0（舍），P（0，8），当CPOP时，|m|，m，P（0，），综上所述，POC为等腰三角形，P坐标为（0，5）或（0，5）或（0，8）或（0，）9如图，一次函数yx+7与正比例函数yx的图象交于点A，且与x轴交于点B过点A作ACy轴交y轴于点C动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时点R以相同速度从B出发沿BO方向运动过R作x轴的垂线交直线AB于点

18、Q，当点P到达点A时，点R停止运动在运动过程中，设动点P运动时间为t秒（1）求点A和点B的坐标；（2）当P在线段OC上运动时，设APR的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）是否存在t值使得APQ为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）联立得：，解得：，即A（3，4），在yx+7中，令y0，得到x7，即B（7，0）；（2）OPBRt，ACy轴，如图（1）所示，AC3，OC4，CPCOPO4t，OROBBR7t，S梯形ACOROC×4202t，SAPC×3（4t）6t，SOPRt（7t）tt2，SSAPRS

19、梯形ACORSAPCSOPR202t（6t）（tt2）t24t+14（0x4）；（3）分三种情况即可：情况1：当点P在线段OC上时，PAQ90°，PAAQ，直线RQ与CA延长线交于点M，如图（2）所示，1+290°，1+390°，23，在ACP和QMA中，ACPQMA（AAS），MQAC3，设直线AB与y轴交于点D，即D（0，7），ODOB7，ABO45°，QRBRt，MQ+QROC，3+t4，即t1；情况2：当点P在线段AC上时，APQ90°，PAPQ，如图（3）所示，此时APAC+OCt7t，QPQRPRt4，7tt4，即t；情况3：当点P

20、在线段AC上时，AQP90°，QAPQ，如图（4）所示，设AC与QR交于点K，AP2AK，即7t2（t4），解得：t5，综上，存在APQ是等腰直角三角形，此时t1或t或t510如图1，一次函数yx+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是射线OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，连接OD，设点C的横坐标为m（1）求A，B两点的坐标；（2）直接写出点D的坐标（用含m的代数式表示），并求当线段CD的长为1时，BOD的面积（3）如图2，当m2时，试探究坐标平面内是否存在点P，使ODP是以OD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解

21、答】解：（1）在yx+3中，当y0时，x+30，解得x4，即A（4，0），当x0时，y3，即B（0，3）；（2）点C的横坐标为m，且CDx轴，点D的横坐标为m，在yx+3中，当xm时，ym+3，D（m，m+3），CD1，|m+3|1，解得m或m，当m时，BOD的面积为×3×4；当m时，BOD的面积为×3×8；综上，BOD的面积为4或8；（3）当m2时，点D的坐标为（2，），设P（a，b），则PO2a2+b2，PD2（a2）2+（b）2，OD222+（）2，ODP是以OD为斜边的等腰直角三角形，PO2PD2，且PO2+PD2OD2，则，解得或，点P的坐标为

22、（，）或（，）11如图，在平面直角坐标系中，直线AB：yx+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处（1）点A的坐标是 （3，0），点B的坐标是 （0，4），AB的长为 5；（2）求点C的坐标；（3）点M是y轴上一动点，若SMABSOCD，直接写出点M的坐标（4）在第一象限内是否存在点P，使PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）令x0得：y4，B（0，4）OB4令y0得：0x+4，解得：x3，A（3，0）OA3在RtOAB中，AB5故答案为：（3，0），（0，4），5；（

23、2）由折叠的性质可知BCCD，ABAD5，ODOA+AD8，设OCx，则CDCBx+4，在RtOCD中，CD2OC2+OD2，（x+4）2x2+82，解得：x6，C（0，6）；（3）SOCD×6×824，SMABSOCD，SMAB×248，设点M的坐标为（0，y），SMAB×3×|4y|8，解得：y或y，点M的坐标为（0，）或（0，）；（4）存在，理由如下：若BAP90°，ABAP，如图，过点P作PGOA交A于点G，BAP90°，ABAP，OAB+PAG90°，OAB+OBA90°，PAGOBA，AOBP

24、GA90°，ABAP，AOBPGA（AAS），OBAG4OAPG3，OGOA+AG7此时点P的坐标为（7，3）；若ABP90°，ABBP，如图，过点P作PHOB交OB点H，同理可得，此时点P的坐标为（4，7）；若APB90°，BPAP，如图，过点P作PMOA交OA于点M，PNOB交OB于点N，BPA90°，BPN+NPA90°，NPA+APM90°，BPNAPM，BPNAPM（AAS），PNPM，BNAM，设点P的坐标为（a，a），4aa3，解得：a，此时点P的坐标为（，），综上所述，点P的坐标为（7，3）或（4，7）或（，）12如图

25、1，平面直角坐标系中，直线yx+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BCAB（1）求ABC的面积（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S时，求t的值M为线段BA延长线上一点，且AMBP，在直线AC上是否存在点N，使得PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把A（4，0）代入得：m3，一次函数解析式为，令x0，得y3，B（0，3），在RtAOB中，AB2OA2+OB2，AB5，BCAB5，C（

26、0，2），；（2）设，P在线段AB上，0t4，设直线AC的解析式为ykx+b，代入A（4，0），C（0，2）得，又PQy轴，则，S四边形APOQSAOP+SAOQAO×|yP|+AO×|yQ|×4×PQ×4×（5t），又，解得t1；如图所示，当N点在x轴下方时，BPAM，BP+APAM+APAB，PMAB5，PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形，当NPM90°时，PNPM5，设，过P点作直线M'N'轴，作MM'M'N'，NN'M'N'，MM'OB，ABOPMM'，在AOB与PM'M中，AOBPM'M（AAS），MM'OB3，PM'OA4，NPN'+MPM'90°，NPN'+N'NP90°，MPM'N'NP，在PNN'与MPM'中，PNN'MPM'（AAS），PN'MM'3，NN'PM'4，M'N'7，作MHNN'，则NH1，M在直线AB上，a1，当N点在x轴上方时，点N&