直线与圆的位置关系

1、陕西省数学第六章图形的性质(二)第25讲直线与圆的位置关系要点梳理 1直线和圆的位置关系 (1)设 r 是O 的半径，d 是圆心O 到直线l 的距离 直线和 圆的位置 图形 公共 点个 数 圆心到直线的 距离d 与半 径 r 的关系 公共点 名称 直线 名称 相交 2 dr 交点 割线 相切 1 dr 切点 切线 相离 0 dr 无 无 要点梳理 (2)切线的性质：切线的性质定理：圆的切线 经过切点的半径推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过 推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 垂直于垂直于圆心圆心切点切点要点梳理 (3)切线的判定定理：经过半径的外端并且 这条半径的直线是圆的切线(4

2、)三角形的内切圆：和三角形三边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是 ，内切圆的圆心叫做三角形的 ，内切圆的半径是内心到三边的距离，且在三角形内部垂直于垂直于相切相切三角形三条角平分线的交点三角形三条角平分线的交点内心内心要点梳理 2相关辅助线两种方法：欲证直线为圆的切线时：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连接公共点和圆心，证明直线垂直半径；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径两个防范：(1)直线和圆有一个公共点，则直线与圆相切分析：直线和圆有一个公共点，不排除还有另一个公共点正确说法：直线和圆有且只有一个公共点，则直线与圆相切(2)圆的切线垂

3、直于圆的半径分析：圆的半径有无数条，切线垂直于哪条半径呢？正确说法：圆的切线垂直于过切点的半径一种分类思想圆是一种极为重要的几何图形，由于图形位置、形状及大小的不确定，经常出现多结论情况解题时漏解出错时有发生，解决这类问题，一定要仔细分析，缜密思考，分类讨论，逐一解答，切忌因思维定势或考虑不周而造成漏解(1)由于点在圆周上的位置的不确定而分类讨论；(2)由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论；(3)由于弦的位置不确定而分类讨论；(4)由于直线与圆的位置关系的不确定而分类讨论1(2014陕西)如图， O的半径为4，B是 O外一点，连接OB，且OB6，过点B作 O的切线BD，切点为D，延长BO交

4、 O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.(1)求证：AD平分BAC；(2)求AC的长 2.(2013陕西)如图，直线l与 O相切于点D，过圆心O作EFl交 O于E，F两点，点A是 O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线l于B，C两点(1)求证：ABCACB90；(2)当 O的半径R5，BD12时，求tanACB的值 3(2012陕西)如图，PA，PB分别与 O相切于点A，B，点M在PB上，且OMAP，MNAP，垂足为N.(1)求证：OMAN；(2)若 O的半径R3，PA9，求OM的长 判断直线与圆的位置关系【例 1】 (1)如图，O 的半径为 4 cm，OAOB，OCAB 于 C，O

5、B4 5 cm，OA2 5 cm，试说明 AB 是O 的切线 解：(1)OAOB， ABOA2OB2（2 5）2（4 5）210.又SAOB12ABOC 12OAOB， OCOAOBAB2 54 5104.又O 的半径为 4，AB 是O 的切线 (2)如图，已知在OAB中，OAOB13，AB24， O的半径长为r5.判断直线AB与 O的位置关系，并说明理由【点评】在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证题方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证题方法是“作垂线，证半径”这两种情况可概括为一句话：“有交点连半径，无交点作垂线”1(1)如图，以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的

6、弦 AB 切小圆于点 C.若AOB120，则大圆半径 R 与小圆半径 r之间满足( ) AR 3r BR3r CR2r DR2 2r C(2)(2012兰州)如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm，小圆的半径为3 cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是 8AB10圆的切线的性质【例2】(2014黄冈)如图，在RtABC中，ACB90，以AC为直径的 O与AB边交于点D，过点D的切线，交BC于点E.(1)求证：EBEC；(2)若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断ABC的形状，并说明理由 解：当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，则DEB90，又DEBE，DEB是

7、等腰直角三角形，则B45，ABC是等腰直角三角形【点评】本题考查了切线的性质以及切线长定理、圆周角定理，解题的关键是连接CD构造直角三角形2(2014凉山州)如图，P是 O外一点，过点P引圆的切线PC(C为切点)和割线PAB，分别交 O于A，B，连接AC，BC.(1)求证：PCAPBC；(2)利用(1)的结论，已知PA3，PB5，求PC的长切线的判定与性质的综合运用【例3】(2014德州)如图， O的直径AB为10 cm，弦BC为6 cm，D，E分别是ACB的平分线与 O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PCPE.(1)求AC，AD的长；(2)试判断直线PC与 O的位置关系，并说明理由直线

8、PC与 O相切，理由：连接OC，OCOA，CAOOCA，PCPE，PCEPEC，PECCAEACE，CD平分ACB，ACEECB，PCBCAEACO，ACB90，OCPOCBPCBACOOCBACB90，OCPC，直线PC与 O相切【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理和圆周角，解题的关键是运用圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角3(2013凉山州)在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(3，1)，C(3，1)，D(2，2)，E(0，3)(1)画出ABC的外接圆 P，并指出点D与 P的位置关系；(2)若直线l经过点D(2，2)，E(0，3)，判断直线l与 P的位置关系连接PE，PD，直线l过点D(2，2)，E(0，3)，PE2123210，PD25，DE25.PE2PD2DE2.PDE是直角三角形，且PDE90.PDDE.点D在 P上，直线l与 P相切 试题已知：如图，P是 O外一点，PA切 O于点A，AB是 O的直径，BCOP交 O于点C. (1)判断直线PC与 O的位置关系，并证明你的结论；