测量平差第四章学习教案

1、会计学1测量测量(cling)平差第四章平差第四章第一页，共204页。专业课：GPS（4）、GIS（3）、工程测量（4）、数字制图(zh t)（3）、近代平差（2）等第1页/共203页第二页，共204页。数学(shxu)政治英语测量平差第2页/共203页第三页，共204页。第3页/共203页第四页，共204页。第4页/共203页第五页，共204页。第一节 观测误差第二节 补充知识停止返回第5页/共203页第六页，共204页。v闭合、附合水准(shuzhn)路线v闭合、附合导线v距离测量v角度测量.停止返回第6页/共203页第七页，共204页。停止返回第7页/共203页第八页，共204页。三者综

2、合(zngh)起来为观测条件停止返回第8页/共203页第九页，共204页。停止返回系统误差的存在必然(brn)影响观测结果。削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数第9页/共203页第十页，共204页。停止返回第10页/共203页第十一页，共204页。停止返回测量(cling)平差的任务：对一系列带有观测误差的观测值，运用概率(gil)统计的方法来消除它们之间的不符值，求未知量的最可靠值。评定测量成果(chnggu)的质量第11页/共203页第十二页，共204页。停止返回测量平差产生(chnshng)的历史最小二乘法(chngf)产生的背景18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合(jh)

3、求出未知数的最佳估值？最小二乘的产生1794年，从概率统计角度，提出了最小二乘1806年，A.M. Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。决定彗星轨道的新方法1809年， ，天体运动的理论第12页/共203页第十三页，共204页。停止返回测量平差产生(chnshng)的历史最小二乘法(chngf)原理的两次证明形成测量平差的最基本(jbn)模型1912年， 对最小二乘原理进行证明，形成数学模型：最小二乘解：测量平差理论的扩展第13页/共203页第十四页，共204页。（1）由个数有次序(cx)地排列成m行n列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：停止返回第14页/共203页第十五页，共2

4、04页。(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素(yun s)a11、a22ann 称为对角元素(yun s)。(3)若一个(y )矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。(4)对于 的方阵，除对角(du jio)元素外，其它元素全为零，称为对角(du jio)矩阵。如：(5)对于 对角阵，若a11=a22=ann =1，称为单位阵，一般用E、I表示。停止返回第15页/共203页第十六页，共204页。（6）若aij=aji，则称A为对称(duchn)矩阵。停止返回第16页/共203页第十七页，共204页。矩阵的基本(jbn)运算：（1）若具有相同行列数的两矩阵(j zhn)各对应元

5、素相同，则：（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换(jiohun)性与可结合性。（3）设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,则A、B相乘才有意义，C=AB，C的阶数为m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）停止返回第17页/共203页第十八页，共204页。将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为(chn wi)C的转置。用：停止返回第18页/共203页第十九页，共204页。（6）若则A为对称(duchn)矩阵。停止返回第19页/共203页第二十页，共204页。lA矩阵(j zhn)

6、存在逆矩阵(j zhn)的充分必要条件是A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵(j zhn)，否则为奇异矩阵(j zhn)停止返回第20页/共203页第二十一页，共204页。停止返回第21页/共203页第二十二页，共204页。停止返回第22页/共203页第二十三页，共204页。（2）初等变换法：经初等变换：停止返回第23页/共203页第二十四页，共204页。停止返回第24页/共203页第二十五页，共204页。第一节 概述(i sh)第二节 偶然误差的规律性第三节 衡量精度(jn d)的指标第四节 协方差传播律停止返回第五节 协方差传播律在测量上的应用第六节 协方差传播律第七节 权与定权的常用方法

7、第八节 协因数与协因数传播律第25页/共203页第二十六页，共204页。观测值：对该量观测所得观测值：对该量观测所得(su d)的值，一般用的值，一般用Li表示表示 。真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用大小的数值，一般用 表示。表示。L一、几个一、几个(j )概念概念真误差：观测值与真值之差，真误差：观测值与真值之差， 一般用一般用 i= -Li 表示。表示。L第一节 概述(i sh)停止返回第26页/共203页第二十七页，共204页。观测向量(xingling)：若进行n次观测，观测值：L1、L2Ln可表示为：停止返回第27页/

8、共203页第二十八页，共204页。 误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.006

9、0.0301.60000000和1810.5051770.495 停止返回第28页/共203页第二十九页，共204页。l例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部(qunb)内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250

10、.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501停止返回第29页/共203页第三十页，共204页。(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示(biosh):停止返回面积= (K/n)/d* d= K/n所有(suyu)面积之和=k1/n+k2/n+.=1第30页/共203页第三十一页，共204页。 频数/d0

11、0.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差0.630 频数/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差0.475 频数/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差 00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差停止返回提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列(xli)，分布不同。但其极限分布均是正态分布。第31页/共203页第三十二页，共204页。1、在一定(ydng)条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定(ydng)的界限；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现(chxin)的次数多；3、绝对值相等的正

12、负误差出现(chxin)的次数大致相等；4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零，即Limni=1nni=Limnn=0偶然误差的特性：停止返回第32页/共203页第三十三页，共204页。第三节 衡量(hng ling)精度的指标精度：所谓精度是指偶然误差分布精度：所谓精度是指偶然误差分布(fnb)的密集离散程的密集离散程度。度。一组观测值对应一种分布，也就代表一组观测值对应一种分布，也就代表(dibio)这这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。精度也就不同。提示：提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然一组观测值具有相同的分布

13、，但偶然误差各不相同。误差各不相同。第33页/共203页第三十四页，共204页。 频数/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差 00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差停止返回可见：左图误差分布曲线可见：左图误差分布曲线(qxin)较高较高 且陡峭，精度高且陡峭，精度高 右图误差分布曲线右图误差分布曲线(qxin)较低较低 且平缓，精度低且平缓，精度低第34页/共203页第三十五页，共204页。一、方差一、方差(fn ch)/中误差中误差 f(

14、)0 0.40.60.8-0.8 -0.6 -0.4闭合差 1122面积为122221)(ef第三节第三节 衡量衡量(hng ling)精度精度的指标的指标停止返回方差方差(fn ch)：中误差：nnlim2提示：提示： 越小，误差越小，误差曲线越陡峭，误差分曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高布越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。第35页/共203页第三十六页，共204页。方差(fn ch)的估值：第36页/共203页第三十七页，共204页。二、平均误差二、平均误差停止返回在一定的观测条件在一定的观测条件(tiojin)下，一组独立的偶然误差绝对值下，一组独立的偶然误差绝对值的

15、数学期望。的数学期望。与中误差与中误差(wch)的关系：的关系：第37页/共203页第三十八页，共204页。三、或然误差三、或然误差(wch) f()0闭合差1150%停止返回第38页/共203页第三十九页，共204页。四、极限四、极限(jxin)误差误差四、相对误差四、相对误差(xin du w ch)中误差中误差(wch)与观测值之比，一般用与观测值之比，一般用1/M表示。表示。第39页/共203页第四十页，共204页。对于对于(duy)变量变量X，Y，其协方，其协方差为：差为：停止返回第40页/共203页第四十一页，共204页。表示表示X、Y间互不相关，对于间互不相关，对于(duy)正态

16、分正态分布而言，相互独立。布而言，相互独立。表示表示(biosh)X、Y间间相关相关第41页/共203页第四十二页，共204页。对于向量对于向量X=X1，X2，XnT，将其元素，将其元素(yun s)间的方差、协方差阵表示为：间的方差、协方差阵表示为：停止返回22122221112212121nnnnnnnxxxxxx矩阵矩阵(j zhn)表示表示为：为：方差方差(fn ch)协方差协方差(fn ch)阵阵第42页/共203页第四十三页，共204页。特点：特点：I 对称对称 II 正定正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵各观测量互不相关时，为对角矩阵(j zhn)。当当 对角元对角元

17、相等时，为等精度观测。相等时，为等精度观测。2212222111221nnnnnXXD第43页/共203页第四十四页，共204页。若：若若DXY=0，则，则X、Y表示为相互独立表示为相互独立(dl)的观测量的观测量。第44页/共203页第四十五页，共204页。已知：那么(n me)：停止返回证明证明(zhngmng)：设：设：那么那么：第45页/共203页第四十六页，共204页。停止返回第46页/共203页第四十七页，共204页。 例1: 设 ，已知 ， 求 的方差 。21221132xxyxxyDXX3114Fyy12F2例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已知每公里观测中误差(wc

18、h)等于5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差(wch)不大于10mm,问该路线长度最多可达几公里? 停止返回第47页/共203页第四十八页，共204页。已知：,.,211 ,XXTnnDXXXX 0221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZ停止返回第48页/共203页第四十九页，共204页。停止返回例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角(ni jio)L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例4：设有函数，1 ,11 ,11 ,rrtnnttY

19、FXFZ已知XYYYXXDDD求ZYZXZZDDD第49页/共203页第五十页，共204页。四 、非线性函数(hnsh)的情况设有观测设有观测(gunc)值值X的非线性的非线性函数：函数：已知：第50页/共203页第五十一页，共204页。停止返回将Z按台劳级数(j sh)在X0处展开：第51页/共203页第五十二页，共204页。TXXZZKKDD第52页/共203页第五十三页，共204页。例例4、根据、根据(gnj)极坐标法测设极坐标法测设P点的坐标，设点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为已知点无误差，测角中误差为m，边长中误差，边长中误差ms，试推导，试推导P点的点位中误差。点的点位中误差

20、。ABPmssmump停止返回第53页/共203页第五十四页，共204页。停止返回第54页/共203页第五十五页，共204页。a1b1a2b2abaNbN1（s)2(s)N(s)ABTP1TP2TPN-1协方差传播(chunb)在测量中的应用一、水准测量的精度(jn d)停止返回第55页/共203页第五十六页，共204页。作业1、在高级水准点A、（高程为真值）间布设水准路 线，如下图，路线长分别为 ，设每公里(n l)观测高差的中误差为 ，试求： （1）将闭合差按距离分配之后的p1、p2点间高差的中误差；（2）分配闭合差后P1点的高程中误差。AP1P2B作业2、在相同条件下，观测两个角度A=1

21、50000，B=750000，设对A观测4个测回的测角精度（中误差(wch)）为3，问观测9个测回的精度为多少？停止返回第56页/共203页第五十七页，共204页。第七节 权与定权的常用(chn yn)方法一、权的定义(dngy)称为观测(gunc)值Li的权。权与方差成反比。第57页/共203页第五十八页，共204页。（三）权是衡量(hng ling)精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。（四）只要(zhyo)事先给定一定的条件，就可以定权。第58页/共203页第五十九页，共204页。二、单位(dnwi)权中误差三、常用三、常用(chn yn)的定权方法的定权方法1

22、、水准测量的权、水准测量的权或第59页/共203页第六十页，共204页。2、边角、边角(bin jio)定权定权停止返回第60页/共203页第六十一页，共204页。第八节 协因数(ynsh)与协因数(ynsh)传播律一、协因数(ynsh)与协因数(ynsh)阵第61页/共203页第六十二页，共204页。不难得出(d ch)：QXX为协因数阵第62页/共203页第六十三页，共204页。特点：特点：I 对称，对角元素为权倒数对称，对角元素为权倒数 II 正定正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。各观测量互不相关时，为对角矩阵。当当 为等精度为等精度(jn d)观测，单位阵。观测，单位阵。第

23、63页/共203页第六十四页，共204页。二、权阵二、权阵第64页/共203页第六十五页，共204页。第一节 测量(cling)平差概述第二节 测量(cling)平差的数学模型第三节 参数估计与最小二乘原理停止返回第65页/共203页第六十六页，共204页。一、必要(byo)观测、多余观测确定(qudng)平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可,称其必要(byo)元素个数为2，必要(byo)元素有 种选择确定平面三角形的形状与大小s1s3s26个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。停止返回第66页/共2

24、03页第六十七页，共204页。必须(bx)有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等确定(qudng)如图四点的相对高度关系ADCBh1h6h5h2h4h3必要观测: 能够唯一确定(qudng)一个几何模型所必要的观测 一般用t表示。停止返回特点: 给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。 必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。 确定几何模型最大独立观测个数第67页/共203页第六十八页，共204页。多余观测: 观测值的个数n与必要观测个数t之差 一般(ybn)用r表示，r=n-t。确定几何(j h)模型最大独立观测个数为

25、t, 那么再多进行一个观测就相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。观测值: 为了确定几何(j h)模型中各元素的大小进行的实际 观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。nt,，可以确定模型，还可以发现粗差。第68页/共203页第六十九页，共204页。二、测量(cling)平差必要观测可以(ky)唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。ADCBh1h6h5h2h4h3停止返回实际上：第69页/共203页第七十页，共204页。第二节 测量(cling)平差的数学模型一、条件(tiojin)平差法以条件方程为函数模型的平差方法(fngf)，称为条件平

26、差法。即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程个数。二、间接平差法间接平差法 选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，成为间接平差法。停止返回第70页/共203页第七十一页，共204页。三、三、 附有参数附有参数(cnsh)的条件平差法的条件平差法 设在平差问题中，观测值个数为设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则为必要观测数，则可列出可列出r=n-t个条件方程，现有个条件方程，现有(xin yu)增设了增设了u个独立个独立量作为参数，而量作为参数，而0ut个参数，其中包含

27、t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数(hnsh)，亦即在u个参数之间存在着s个函数(hnsh)关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。在选定ut个参数进行平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方法为附有限制件的间接平差法。lBx 0 xWCx停止返回)(1 ,1 ,unXFL 0)(1 ,1 ,usX第72页/共203页第七十三页，共204页。五、五、 平差的随机平差的随机(su j)模型模型数学模型数学模型停止返回函数函数(hnsh)模型模型随机随机(su j)模型：模型：第73页/共203页第七十四页，共204页。第三节 函数(hns

28、h)模型的线性化条件方程的综合条件方程的综合(zngh)形形式为：式为：),(1 ,1 ,1 ,uncXLFF 为了(wi le)线性化，取X的近似值：取 的初值： L将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：第74页/共203页第七十五页，共204页。停止返回第75页/共203页第七十六页，共204页。一、条件(tiojin)平差法0WA二、间接(jin ji)平差法第76页/共203页第七十七页，共204页。三、三、 附有参数附有参数(cnsh)的条件平差的条件平差法法0WBxA四、四、 附有限制附有限制(xinzh)条件的间接平差条件的间接平差法法lBx 0 xWCx)(1

29、,1 ,unXFL 0)(1 ,1 ,usX第77页/共203页第七十八页，共204页。第四节 参数估计与最小二乘原理(yunl) 为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而(cng r)可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。 一、一、 参数估计及其最优性质参数估计及其最优性质(xngzh)对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差为例：0WA条件的个数r=n-t n，即方程的个数少，求解的参数多，方程多解。其它模型同。数理统计中所述的估计量最优性质，主要

30、是估计量应具有无偏性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘估计。停止返回第78页/共203页第七十九页，共204页。例：匀速运动的质点(zhdin)在时刻的位置y表示为：实际上：第79页/共203页第八十页，共204页。写成矩阵写成矩阵(j zhn)：间接间接(jin ji)平差函数模型平差函数模型第80页/共203页第八十一页，共204页。第81页/共203页第八十二页，共204页。二、二、 最小二乘原理最小二乘原理(yunl)按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量(su j bin lin)，最小二乘原理可用数

31、理统计中的最大似然估计来解释，两种估计准则的估值相同。 设观测向量(xingling)为L，L为n维随机正态向量(xingling)，其数学期望与方差分别为：停止返回第82页/共203页第八十三页，共204页。其似然函数(hnsh)为：以间接(jin ji)平差法为例，顾及间接(jin ji)平差的模型与E（）=0得：按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的 作为X的估计量。X停止返回第83页/共203页第八十四页，共204页。由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小值时，lnG才能取得极大值，换言之， 的估计量应满足如下条件：X即最小二乘原则(yunz)。停止返回第8

32、4页/共203页第八十五页，共204页。第 四 章 条件(tiojin) 平 差第一节 条件(tiojin)平差原理第二节 条件(tiojin)方程第三节 精度评定第四节 水准网平差示例停止返回第85页/共203页第八十六页，共204页。第一节 条件(tiojin)平差原理一、基础(jch)方程和它的解011rnnrWVA最小PVVT按求函数极值的拉格朗日乘数(chn sh)法，构造新的函数：停止返回)(LFW 0WA12020PQD数学模型第86页/共203页第八十七页，共204页。求其一阶偏导数(do sh)，并令其为0：上式也称为(chn wi)法方程式停止返回第87页/共203页第八十

33、八页，共204页。二、条件(tiojin)平差的计算步骤停止返回1.根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r。 2.根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r。 3.解算法方程，求出联系数K值。 4.将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值5.为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。 VLLL第88页/共203页第八十九页，共204页。1L3L2LBADh1h4h2h3C第89页/共203页第九十页，共204页。BADh1h4h2h3C第90页/共203页第九十一页，共204页。h

34、1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=6123第91页/共203页第九十二页，共204页。第二节 条件(tiojin)方程一、水准(shuzhn)网列条件(tiojin)的原则：1、闭合水准路线2、附合水准路线包含的线路数最少为原则停止返回第92页/共203页第九十三页，共204页。h1h7h5h6h3h4h2h8AODCBBAFGEDCh1h6h7h2h5h4h3停止返回第93页/共203页第九十四页，共204页。二、测角网4个必要(byo)的起算数据为：一个已知点（2个坐标(zubio)）一个方位（1个）一个尺度（1个

35、两已知点（4个坐标(zubio)）停止返回第94页/共203页第九十五页，共204页。列条件(tiojin)的原则：将复杂图形(txng)分解成典型图形(txng)。条件类型：图形(txng)条件、圆周条件 、极条件、固定方位条件、固定边长条件、固定坐标条件三角形大地四边形中心多边形扇形停止返回第95页/共203页第九十六页，共204页。AFEDCBG16543211109872220211918171615141312S、T第96页/共203页第九十七页，共204页。第三节 精度(jn d)评定一、计算(j sun)单位权中误差二、协因数阵 停止返回第97页/共203页第九十八页，共204页

36、。第四节 水准(shuzhn)网平差示例例：如图，A、B是已知的高程(gochng)点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条件平差求各点的高称平差值。路线号观测高差（m）路线长度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B停止返回第98页/共203页第九十九页，共204页。解：1、列条件(tiojin)方程停止返回第99页/共203页第一百页，共204页。2、定权取C=1，则：3、

37、形成(xngchng)法方程停止返回第100页/共203页第一百零一页，共204页。4、解算法(sun f)方程5、计算(j sun)改正数6、计算(j sun)平差值7、计算高程平差值停止返回第101页/共203页第一百零二页，共204页。作业(zuy)1：如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度(chngd)及观测高差列入下表。线号高差（m）路线长度（km）点号高程（m）11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.0002 53.4042 63.4524 AoooBC123456P1P2P3

38、如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度(chngd)及观测高差列入下表 试用条件平差法求P1、P3、P3点高程的平差值 。第102页/共203页第一百零三页，共204页。第一节 间接(jin ji)平差原理第二节 误差(wch)方程第三节 精度(jn d)评定第四节 平差示例第 五 章 停止返回第103页/共203页第一百零四页，共204页。第一节 间接(jin ji)平差原理一、基础(jch)方程和它的解lBxV最小PVVT按函数(hnsh)极值的求法，极值函数(hnsh)：求其一阶偏导数，并令其为0：停止返回第104页/共203

39、页第一百零五页，共204页。代入误差(wch)方程：即为法方程式停止返回第105页/共203页第一百零六页，共204页。二、间接(jin ji)平差法平差步骤1、选择t个独立(dl)的未知参数2、将每个观测值表示(biosh)成未知参数的函数，形成误差方程。3、形成法方程4、求解法方程5、计算改正数6、精度评定第106页/共203页第一百零七页，共204页。一、确定一、确定(qudng)待定参数待定参数的个数的个数水准网qpt1测角网qpt42测边网边角网qpt32第二节 误差(wch)方程停止返回GPS网33 Pt采用GPS尺度与方位73 Pt不采用GPS尺度与方位第107页/共203页第一

40、百零八页，共204页。二、参数二、参数(cnsh)的选取的选取高程(gochng)控制网：待定点的高程(gochng)平面控制(kngzh)网：待定点的二维坐标三维控制网：待定点的三维坐标停止返回第108页/共203页第一百零九页，共204页。三、误差三、误差(wch)方程的组方程的组成成1、水准、水准(shuzhn)路线的误路线的误差方程差方程ijXiXjhij当i点已知时：当j点已知时：停止返回第109页/共203页第一百一十页，共204页。2、方向的误差(wch)方程N零方向jkljkLjlLjXjYkXkYjZ定向(dn xin)角未知数jXjYkXkY设j、k的坐标为未知参数：即：零

41、方向(fngxing)的方位角jk的方位角为：停止返回第110页/共203页第一百一十一页，共204页。为非线性函数(hnsh)，要进行线性化。对上式在初始近似值0jX0jY0kX0kY处进行Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：停止返回第111页/共203页第一百一十二页，共204页。停止返回第112页/共203页第一百一十三页，共204页。停止返回第113页/共203页第一百一十四页，共204页。停止返回第114页/共203页第一百一十五页，共204页。停止返回第115页/共203页第一百一十六页，共204页。停止返回第116页/共203页第一百一十七页，共204页。当j点已知时：

42、停止返回第117页/共203页第一百一十八页，共204页。当k点已知时：停止返回第118页/共203页第一百一十九页，共204页。2、距离的误差(wch)方程jkjXjYkXkY设j、k的坐标为未知参数：jk的距离(jl)为：停止返回第119页/共203页第一百二十页，共204页。为非线性函数(hnsh)，要进行线性化。对上式在初始近似值0jX0jY0kX0kY处进行Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：停止返回第120页/共203页第一百二十一页，共204页。停止返回第121页/共203页第一百二十二页，共204页。停止返回第122页/共203页第一百二十三页，共204页。停止返回第

43、123页/共203页第一百二十四页，共204页。当j点已知时：停止返回当k点已知时：第124页/共203页第一百二十五页，共204页。第三节 精度(jn d)评定rPVVT0二、协因数阵一、计算单位(dnwi)权中误差停止返回第125页/共203页第一百二十六页，共204页。测角网间接(jin ji)平差算例：ABDC123456789121110131415161718P2P1设有一测角三角网，A、B、C、D为已知点，P1、P2为待定点，同精度观测了18个角度，按间接(jin ji)平差求平差后P1、P2点的坐标及精度。已知数据见下表。第四节 平差示例(shl)停止返回第126页/共203页

44、第一百二十七页，共204页。点名坐标（m）边长方位角X（m)Y（m)A9684.2843836.82B10649.5531996.5011879.602743938.4C19063.6637818.8610232.16344056.3D17814.6349923.1912168.60955329.1A10156.112164906.5角度编号观测值角度编号观测值角度编号观测值11261424.17220243.013463856.42233946.981300314.214663454.73300546.79275359.315664608.241172246.210655500.816295

45、835.55312650.011670249.4171200831.16311022.612470211.418295255.4停止返回第127页/共203页第一百二十八页，共204页。解：n=18, t=2*6-4-4=4, r=18-4=14设P1、P2点的坐标作为未知参数(cnsh)X1、Y1、X2、Y2，根据前方交会可以求出P1、P2的近似坐标：根据(gnj)角度的误差方程：停止返回第128页/共203页第一百二十九页，共204页。VBxl停止返回第129页/共203页第一百三十页，共204页。定权，P为单位(dnwi)阵，形成法方程为：停止返回第130页/共203页第一百三十一页，共

46、204页。精度(jn d)评定：停止返回第131页/共203页第一百三十二页，共204页。例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据(shj)与观测数据(shj)列于下表。按间接平差求各点的高程平差值。路线号观测高差（m）路线长度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B第132页/共203页第一百三十三页，共204页。解：1、列误差(wch)方程n=7, t=5-1-1=3,

47、 r=7-3=4设P1、P2点的高程为未知参数21XX求相应的近似值列误差(wch)方程：022xv011xv8316xxv7215xxv037xv413xv324xvh2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B第133页/共203页第一百三十四页，共204页。写成矩阵(j zhn)的形式：定权，取C=1第134页/共203页第一百三十五页，共204页。第135页/共203页第一百三十六页，共204页。例：线号高差（m）路线长度（km）点号高程（m）11.6524.5A34.7882-0.4183.1B35.25930.7143.4C37.82541.2433.8 5-0.5774.2 6-0

48、.7862.5 BoooAC165423P1P2P3如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度(chngd)及观测高差列入下表 试用间接(jin ji)平差法求P1、P3、P3点高程的平差值估算精度 。第136页/共203页第一百三十七页，共204页。解：1、列误差(wch)方程n=6, t=6-1-2=3, r=6-3=3设P1、P2、P3点的高程为未知参数321XXX求相应(xingyng)的近似值列误差(wch)方程：BoooAC165423P1P2P3440.36652.1788.34101hHXA973.35714.0259.

49、35302hHXB248.37577.0825.37503hHXC第137页/共203页第一百三十八页，共204页。定权，取C=1220320490101100110010011001321654321xxxvvvvvv第138页/共203页第一百三十九页，共204页。第139页/共203页第一百四十页，共204页。第140页/共203页第一百四十一页，共204页。第一节 基础(jch)方程和它的解第二节 精度(jn d)评定第 六 章 附有参数(cnsh)的条件平差停止返回第141页/共203页第一百四十二页，共204页。 一、测量(cling)平差方法回顾（1）条件(tiojin)平差法观

50、测数为观测数为n，必要，必要(byo)观测数为观测数为t，多余观测数，多余观测数r=n-t，条件方程个数，条件方程个数c。停止返回在最小二乘原则下有：在最小二乘原则下有：第142页/共203页第一百四十三页，共204页。（2）间接(jin ji)平差法观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测数，多余观测数r=n-t，设，设t个相互独立的未知参数，则条件个相互独立的未知参数，则条件(tiojin)个数个数c=n+t-t=n,即即n个误差方程：个误差方程：在最小二乘原则在最小二乘原则(yunz)下有：下有：rPVVT20PlBPBBxTT1)(第143页/共203页第一百四十四页

51、，共204页。（3） 附有参数附有参数(cnsh)的条件平差法的条件平差法 设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为(zuwi)参数，而0ut，则，则u个未知参数间肯定个未知参数间肯定(kndng)存在存在u-t个函数关系，称为约束条件。个函数关系，称为约束条件。第156页/共203页第一百五十七页，共204页。0)(1),(xtu联合(linh)基础基础(jch)方方程程第157页/共203页第一百五十八页，共204页。最小PVVT基础方程基础方程(fngchng)线性线性化形式：化形式：按求函数极值的拉格朗日乘数按求函数极值的拉

52、格朗日乘数(chn sh)法，法，构造新的函数：构造新的函数：停止返回111nuunnlxBV第158页/共203页第一百五十九页，共204页。求其一阶偏导数求其一阶偏导数(do sh)，并令其为，并令其为0：法方程式法方程式停止返回第159页/共203页第一百六十页，共204页。写成矩阵写成矩阵(j zhn)形式：形式：第160页/共203页第一百六十一页，共204页。显式表示显式表示(biosh)：第161页/共203页第一百六十二页，共204页。第二节 精度(jn d)评定一、计算单位一、计算单位(dnwi)权中误差权中误差二、协因数阵二、协因数阵停止返回第162页/共203页第一百六十

53、三页，共204页。三、平差值函数三、平差值函数(hnsh)的协因数的协因数第163页/共203页第一百六十四页，共204页。四、附有限制条件平差的间接(jin ji)平差计算步骤1.根据平差问题的具体情况，设定参数，列出误差方程式与限制条件。 2.根据观测值的权组成法方程式。 3.解算法方程，求出联系数X与K值。 4.将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与参数平差值。5.精度评定。VLLL第164页/共203页第一百六十五页，共204页。例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据(shj)与观测数据(shj)列于下表。按间接平差求各点的高程平差值。路线号路

54、线号观测高差观测高差（m）路线长度路线长度（km）已知高程已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016hAB=1.0002+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2AP3h1h3h4h5h6h7P1P2B第165页/共203页第一百六十六页，共204页。解：1、列误差(wch)方程n=7, t=5-1-1=3, r=7-3=4设B、P1、P2、P3点的高程(gochng)为未知参数相应(xingyng)的近似值列误差方程：列误差方程：U=4，S=1h2AP3h1h3h4h5h6h7P1P2B第166页/共20

55、3页第一百六十七页，共204页。定权，取C=1限制限制(xinzh)条条件：件：第167页/共203页第一百六十八页，共204页。1 . 16 . 09 . 31 . 03 . 49 . 23 . 07654321vvvvvvvmmrPVVT2 . 2475.190mmmmmmXXX35. 21432. 19 . 17739. 06 . 15320. 0000321第168页/共203页第一百六十九页，共204页。第 八 章 概括平差函数(hnsh)模型停止返回第二节 基础(jch)方程和它的解第三节 精度(jn d)评定第一节 概述第169页/共203页第一百七十页，共204页。 一、平差模

56、型(mxng)的回顾（1）条件）条件(tiojin)平差法平差法观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余，多余(duy)观测数观测数r=n-t，条件方程个数，条件方程个数c。停止返回（2）间接平差法间接平差法111nttnnlxBV观测数为观测数为n，必要观测数为，必要观测数为t，多余观测数，多余观测数r=n-t，设，设t个个相互独立的未知参数，则条件个数相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n,即即n个误差个误差方程：方程：第170页/共203页第一百七十一页，共204页。（3） 附有参数附有参数(cnsh)的条件平的条件平差法差法 观测值个数为n，t为必要观测数，则可

57、列出r=n-t个条件方程(fngchng)，现有u个独立量作为参数，而0ut，包含，包含t个独立参数，则条件个数个独立参数，则条件个数r+u,其中，有其中，有s个限制条件：个限制条件：)(XFL 第171页/共203页第一百七十二页，共204页。二、条件二、条件(tiojin)方程式形式方程式形式停止返回0),(XLF0)( X)(XFL 0)(LF一般条件方程式一般条件方程式,用用C表表示个数示个数限制限制(xinzh)条件式条件式第172页/共203页第一百七十三页，共204页。（1）条件）条件(tiojin)平差法平差法:停止返回（2）间接(jin ji)平差法:（3） 附有参数附有参数

58、(cnsh)的条件平差的条件平差法法（4）附有限制条件的间接平差法）附有限制条件的间接平差法第173页/共203页第一百七十四页，共204页。三、概括三、概括(giku)平差模型平差模型的引入的引入停止返回对于一个对于一个(y )几何模型，独立参数的个数几何模型，独立参数的个数u 满满足：足：0utu 0tu tu 0条件条件(tiojin)平差平差间接平差间接平差附有参数的条件附有参数的条件平差平差第174页/共203页第一百七十五页，共204页。停止返回对于一个对于一个(y )几何模型，可选参数的个数几何模型，可选参数的个数u：tu 0utu tu 相关相关(xinggun)包含包含(bo

59、hn)独独立参数数立参数数t包含独立参数包含独立参数数数=t附有限制条件附有限制条件的间接平差的间接平差概括平差概括平差第175页/共203页第一百七十六页，共204页。观测观测(gunc)数为数为n，必要观测，必要观测(gunc)数数为为t，多余观测，多余观测(gunc)数数r=n-t，现有，现有u个参个参数，则条件个数数，则条件个数r+u,其中，设其中，设u 个参数中其个参数中其中可以形成中可以形成s个限制条件，一般条件个数为：个限制条件，一般条件个数为：c=r+u-s:四、概括四、概括(giku)平差模型平差模型0),(1 ,XLFc0)(1 , Xs0111cuucnncWxBVA01

60、1sxuusWxC停止返回线性化线性化c+s=r+u第176页/共203页第一百七十七页，共204页。一、基础一、基础(jch)方程：方程：第二节第二节 基础基础(jch)方程和它的解方程和它的解0111cuucnncWxBVA011sxuusWxC最小PVVT条件平差条件平差011rnnrWVA最小PVVTrc 0u00CB第177页/共203页第一百七十八页，共204页。间接平差间接平差0111nttnnWxBV最小PVVT0111cuucnncWxBVA011sxuusWxC最小PVVTntrsurc独立独立tu 0CIA第178页/共203页第一百七十九页，共204页。附有参数的附有参