直线与平面、平面与平面的相对关系

1、2.5 直线与平面、平面与平面的相对关系 2.5.1 直线与平面、平面与平面的平行2.5.2 直线与平面、平面与平面相交2.5.3 直线与平面、平面与平面的垂直2.5.4 点、直线、平面的综合题2.5.1 直线与平面、平面与平面的平行一、直线与平面相互平行二、平面与平面相互平行一、直线与平面相互平行1.直线与一般面相互平行2.直线与投影面垂直面相互平行1. 直线与一般面相互平行(1)直线与一般面相互平行(2) 直线与平面平行的几何条件:当平面外一直线平行于平面内一已知直线时,则直线与该平面平行。(2) 例题1HG(1) 直线与一般面相互平行CDAB平行于平面P EF平行于平面P ll (2)

2、例题1 过点A作一水平线平行于平面BCD。eeHVP2. 直线与投影面垂直面相互平行PHcdabcdabBACD(a)PHcdcdabba(b)abbaPH(c)cddc(d)QV 投影面垂直面和直线相互平行,则该投影面垂直面的积聚投影与该直线的同面投影平行。 2. 直线与投影面垂直面相互平行二、平面与平面相互平行1.两一般位置平面相互平行2. 两投影面垂直面相互平行3. 例题2 过点D作一平面与ABC平行1. 两一般位置平面相互平行 hihigg两平面平行的几何条件两平面平行的几何条件:如果一个平面内的相交两直线与另一平面内的如果一个平面内的相交两直线与另一平面内的相交两直线对应平行相交两直

3、线对应平行,则两平面相互平行。则两平面相互平行。2. 两投影面垂直面相互平行 PHQHPQ若两平行平面均垂直于某投影面时,则它们在该投影面上的积聚性投影相互平行。反之,若两平面在某投影面上的积聚性投影相互平行,则空间两平面相互平行。ef（3）例题2 过点D作一平面与ABC平行 ef2.5.2 直线与平面、平面与平面相交一、投影面垂直线与一般位置平面相交二、一般位置直线与投影面垂直面相交三、两投影面垂直面相交 四、一般位置线与一般位置面相交五、两一般位置面相交一、投影面垂直线与一般位置平面相交km(n)bm n c b a ac空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MNMN为铅垂线为铅垂线, ,

4、其水平投其水平投影积聚成一个点影积聚成一个点, ,故交点故交点K K的水的水平投影也积聚在该点上。平投影也积聚在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上位于平面上, ,在前在前; ;点点位于位于MNMN上上, ,在后。故在后。故k k 2 2 为为不可见。不可见。1 (2 )k 21作图作图用面上取点法用面上取点法x二、一般位置直线与投影面垂直面相交1. 直线与投影面垂直面相交2. 例题3 求四棱锥与正垂面Q的截交线cc 一般位置直线与投影面垂直面相交时,该面的积聚投影与直线的同面投影的交点,就是所求交点的同面投影。 1. 一般位置直线与投影面垂直面相交s2. 例题3 求四

5、棱锥与正垂面Q的截交线。 Qvefgh(h)ef(g)a三、两投影面垂直面相交 llQHPHmmPVQVPWQWnnn可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f db e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正正垂面垂面, ,它们的正面投影都它们的正面投影都积聚成直线。积聚成直线。交线必为一交线必为一条正垂线条正垂线, ,只要求得交线只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影。的投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出从正面投影上可看出, ,在交线左侧在

6、交线左侧, ,平面平面ABCABC在在上上, ,其水平投影可见。其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别如何判别?例例4 4: :求两平面的交线求两平面的交线MNMN并并判别可见性。判别可见性。四、一般位置直线与一般位置平面相交1.一般位置直线与一般位置平面相交,求交线2.一般位置直线与一般位置平面相交,判别其可见性1. 一般位置直线与一般位置平面相交gkffkgPH步骤步骤: :1 1过过DEDE作铅垂平作铅垂平面面P P。2 2求求P P平面与平面与ABCABC的交线的交线FGFG。3 3求交线求交线FGFG与与DEDE的交点的交点K K。4（4）2（2）

7、2. 直线DE与 ABC相交,判别其可见性。eaekk134213五、两一般位置平面相交1. 两一般位置平面相交的交线2 .两一般位置平面相交（辅助平面法）3 .两一般位置平面相交（线面交点法）4 .两一般位置平面相交,判别可见性1. 两一般位置平面相交的交线（a）交线在两平面图形之外 （b）交线在一个面的轮廓之内 （全交）（c）交线互相穿插 （互交）PVQV 两一般位置平面相交,求交线步骤:1用求直线与平面交点的方法,作出两平面的两个共有点K、E。2 .两一般位置平面相交（线面交点法）1221kee2连接两个共有点,画出交线KE。k3. 两一般位置平面相交（辅助平面法）PHQH1562438

8、778651234nmnm(2)(4)424 .两一般位置平面相交,判别可见性342131 2.5.3 直线与平面、平面与平面的垂直一、直线与平面相互垂直二、平面与平面相互垂直一、直线与平面相互垂直1.直线垂直于一般位置平面2.2. 直线垂直于投影面垂直面1. 直线垂直于一般位置平面fgfgddbb2. 直线垂直于投影面垂直面abAB二、平面与平面相互垂直1. 两平面相互垂直2. 例题3 试判别ABC是否垂直于平面EFHG。1. 两平面相互垂直 2. 例题3 试判别ABC是否垂直于平面EFHG。ijijdd5.4 点、直线、平面的综合题例题5 求作底边为AB、顶点落在直线DE上的等腰三角形 A

9、BC的两面投影 例题6 作一直线与两交叉直线AB和CD相交,同时与另一直线EF平行例题7 给出一个矩形相邻两边AB、BC的V投影及其中一边AB的H投影,试完成矩形的投影 例题5 求作底边为AB、顶点落在直线DE上的等腰三角形 ABC的两面投影 。PABEDsnn22llsccMCmm平面P垂直平分AB 例题6 作一直线与两交叉直线AB和CD相交,同时与另一直线EF平行 ggnmnmGNM 例题7 给出一个矩形相邻两边AB、BC的V投影及其中一边AB的H投影,试完成矩形的投影。 eflcefl5-5 换面法一、问题的提出二、换面法的基本概念三、新投影面的选择原则四、点的投影变换规律五、六个基本问

10、题一、问题的提出1. 定位问题和度量问题2. 两平行线间距离求解方法的比较 1. 定位问题和度量问题aabb 直线的实长aabbcc平面的实形aabbccdd 直线与平面的交点fefeabcdabcd 两平面夹角2. 两平行线间距离求解方法的比较 换面法就是保持空间几何元素不动,用新的投影面替换旧的投影面,使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。二、换面法的基本概念a1c1b1V1X1X1 换面法空间几何元素的位置保持不动,用新的投影面来代替旧的投影面,使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置,然后找出其在新投影面上的投影。c1b1a1V1O1X1三、新投影面的选择原则a1b1四、点的

11、投影变换规律1点在H/V1体系中的投影2点在V/H1体系中的投影3点的两次变换V1a1V11. 点在H/V1体系中的投影zzzzzX1O1aX1a12. 点在V/H1体系中的投影H1a1H1aX1a1X1O1yyyya2a1X1HV13 点的两次变换X2H2V12X2a2zzll五、六个基本问题（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 （二） 把投影面平行线变为投影面垂直线（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面（六） 把一般位置平面变为投影面平行面 （一） 把一般位置直线变为投影面平行线例1 求一般位置直线的实长及角例2

12、 求一般位置直线的实长及 角V1X1 例1 求一般位置直线的实长及角 a1 b1a1b1 X1V1H 例2 求一般位置直线的实长及 角X1H1Va1b11X1a1b1X1H1Va1 b1（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线例题3 把一般位置直线变为投影面垂直线例题4 求两平行线的距离例题5 求点C到直线AB的距离例题6 求两直线AB与CD的公垂线例题7 求两相邻斗壁的夹角 例题3 把一般位置直线变为投影面垂直线V1X1 a1 b12a2 b2 例题3 把一般位置直线变为投影面垂直线X2H2V1a2 b2X1HV1a1b1例题4 求两平行线的距离H2V1

13、Xlb2 (a2)d2 (c2)d1a1b1c1V1HX1例题5 求点C到直线AB的距离 例题5 求点C到直线AB的距离c2c1b1a1X2H1V2H1X1Vkkk1b2 k2a2距离211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b 例题6 求两直线AB与CD的公垂线 DEa2b2 例题7 求两相邻斗壁的夹角样卡PC 例题7 求两相邻斗壁的夹角X2H1V2f1b1c1d1e1a1d2a2(b2）f21HVX1作X2轴垂直于a1b1作X1 平行于a b（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面例题8 求平面与H面的夹角例题9 求平面与V面的夹角例题10 求平面ABC

14、与直线DE的交点例题11 求两平行平面A BC与 DFE的距离例题12 求平面ABC与平面DEF的交线例题13 求平面ABC与平面DEF的交线a cXVHbb ac 例题8 求平面与H 面的夹角 c ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d1d 例题9 求平面与H面的夹角c1a1（d1）V1X1Hdb1作X1轴垂直于ad 例题10 求点F 到平面ABC 的距离f1dc1a1（d1）V1X1Hdb1ggg1作X1轴垂直于ad作FG于X1（3）3（1） 例题11 求平面ABC与直线DE的交点a1fVH1X1b1c1d1e1kk1f 作X1轴垂直于a f k2121434作图步骤:1.在三角形平面ABC上作正平线AF ;2.作X1轴垂直于a f ;3. 求三角形平面ABC和DE在垂直于AF的新投影面上的投影a1b1c1和d1e1; 4.求三角形平面ABC和DE的交点在新投影面上的投影k1,再求出k和k;5.利用重影点的特点判别可见性。 例题13 求平面ABC与平面DEF的交线HX1V1e1f1d1b1c1 a11mnmn1m1nc作X1轴垂直于a 11（五）把投影面垂直面变为投影面平行面H1yyb1a1c1O1X1XH1Va1b1c1（a）（b）（c）（六） 把一般位置平面变为投影面垂直面例题14 把一般位置平面变为投影面平行面例题15 求ABC的实形例题