双原子之间的作用力

1、晶体的总相互作用势一、双粒子模型（两个原子间的相互作用势能）晶体中粒子的相互作用能可以看成是由一对对粒子的相互作用能叠加而得蛊先只考虑晶体中一对粒子的相互作用能,然后再对晶体中所有粒子求和，可求出晶体的相互作用能。条件：1、组成晶体的原（离）子具有封闭的电子壳层，电子云分布近似球对称;2、考虑晶体的结构因素星期三小出已爼第二章晶体的结合第1页N个原子组成的晶体的总相互作用能可表示为:、NNNE=U（r）=3££u（G）=2u（G）（J工1,J=2,3,，N）2丨j2开1式中A（r/y）表示相距r的两个原子之间的相互作用势能。二、两个非极性分子间的互作用势能由范德瓦耳斯一伦敦

2、力所引起的两分子间的互作用势可写成下面形式'曲）=-异+尹两个一维线性振子模型1、两个独立振子的总能量=3令r为两振子平衡点间的距离,产+e当r很大则两振子间无互作用，此时系统的总能量为：一维的范德瓦耳斯-伦敦力的模型星期三小加沁第二章晶体的结合第3页_呂+民=以+虽+霆+衣2m22m2C为简谐振子的恢复力常数（劲度系数），每个线性振子具有相同的频率)(2)星期三皿幻魁第二章晶体的结合第7页2、两个有相互作用振子的互作用势能一维的范德瓦耳斯-伦敦力的模型如果两个分子靠得很近，足以发生相互作用的话，互作用势能可表示为：(122eee1r+x2r+x2xlrxYj星期三皿幻魁第二章晶体的结

3、合第8页因为r»xi、X2,上式后三项分别利用公式:展开，取前三项，则:27ce0r3%12R27C£0r3(3)3、两个有相互作用振子的总能量两个分子有相互作用，则系统的总能量（1）式就改写为:22222y+w鈿分鈿分帶为了讨论方便，引入正则坐标:+兀2）了亍（兀x2）目的：把两个相互作用的振子看作为正则坐标系中以不同频率作“独立”振动的振子。代入(4)式，有以+喧+屋+£(6)式中益)振子的振动频率为=丄2龙1+-A2矿(8)2m22m2星期三皿幻魁第二章晶体的结合第10页上面是经典力学的结果。根据量子力学求解谐振子的结果，谐振子的振动能量表示为:E=(+n)

4、/zu,n=0,1,2系统的零点振动能为(n=0时)如卜2厂、1/2/+1+2I2矿、丿aY/2叫一莎严(9)这里计算时,运用了展开公式:丁匚=1+2X上式前一项是两个振子在独立时的零点振动能，有了互作用后，能量就降低了"其差值是第二项4琢严（1。）这表明，分子间的范德瓦尔斯一伦敦力引起的互作砂能与严成正比.而由泡利原理产生的斥力作用，较难计算，一般由实验求得，排斥势与广12成反比因此,一对分子间总的互作用势能为:星期三小加沁第二章晶体的结合第12页心)=-£+吕(11)u(r)=（(b/6A2"£=4Ba和w是两个经验参数。（12）式称为雷纳德一琼斯势

5、.星期三小加沁第二章晶体的结合第13页晶体的宏乱可測量晶格常数a（或原包体积V）、体积弹性模量K、抗张强度和结合能的关系晶体的宏观可测量NNNE=（于）=3££心丿）=丁工"（巧丿）（丿H1，丿=2,3,，N）1j原子的数目原子相互作用势能的大小由两个因素决定:Y匚原子相互作用势能是晶体体积的函数。L原子的间距已知原子相互作用势能可以求出与体积相关的有关常数：晶体的晶格常数、体积弹性模量和压缩系数、抗张强度等。晶体压缩系数:由热力学，压缩系数的定义是:单位压强引起的体积的相对变化,星期三皿幻魁第二章晶体的结合第12页、三维晶体参数与结合能的关系相距的两个原子之间的

6、互作用势能用U(c表示:4B=-pr+pr(m<n)星期三小加沁第二章晶体的结合第17页A、B、m、n皆为大于零的常数。-A/已:代表吸引能,来自异性电丘荷间的库仑吸引力，长程作用;+B/B:代表排斥能,来自同性电荷间的库仑斥力及泡利原理所引起的排斥力，总体表现短程作用。/*Attractive-相互作用势能的一般性质(1)平衡位置r°的确定:图(a):互作用势能曲线图(b):互作用势能曲线的微商曲线一、-du(r)mA")rm+1nB严+i它相应于两原子间的互作用力，当r=rodu(r)=0原子间的相互作用(«)互作用势能和原子间徙的关系;(6互作用力和顶

7、子间距的关系dr星期三小加沁第二章晶体的结合第21页/(G=oBn=nmAm(2)AUc=U(r0)=-互作用势能达极小值，由此决定原子间的平衡距离心。此时的状态称为稳定状态。T原子间的相互作用(«)互作用势能和原子间徙的关系;(6互作用力和顶子间距的关系结合具体的晶体结构，便可确定晶格常数肛2.原胞体积讶口结合能的关系M晶体中原子（或原胞）数；V:晶体体积；晶体的扌目互作用势能；卩:每个原胞的平均体积；u每个原胞的平均相互作用势能；U=Nu;V=Nv设在压强P的作用下，晶体体积增加为AV,总能量增加AU,则晶体对外做功为：PAV=-A/卬8U°他）勿一5飞厂8（M厂丽无外

8、力时（p=o）时匸二0,可求出平衡时原胞的体积dv26理想的无外力应当是：P=0o实际条件是：P=101325Pa=0.1MPao一般金属的强度为500-lOOOMPa,相比而言,O.IMPa可以忽略不计，求出的O.IMPa时的原胞的体积即为。因此，可以通过W求出b通过卩0求出晶格常数°。例如：$c晶体:v0=«3；宛c晶体，v0=-a4第二章晶体的结合体积弹性模量表示为:d2UdV(dU(d2rI乔丿丄丽(d2u(drdr2dr2星期三小出已爼第二章晶体的结合第27页当T=0时，原子间的平衡间距为R。假设晶体有N个原胞，每个原胞的体积应与疋成正比，因此晶体的平衡星期三小出

9、已爼第二章晶体的结合第29页体积为Vo=ANR3(9)这里2是与晶体几何结构有关的参数。面心立方简单格子'面心立方简单格子:体心立方简单格子:简立方简单格子:（&）面心立方A=12?4V392R=y2aV孔4Zn2'd2Uy帥丿(8)第二章晶体的结合第32页V=XNR3(9)由(8)、(9)式，得平衡时晶体的体积弹性模量:4抗张强度Fmax和结合能的关系晶格所能容耐的最大张力，称为抗张强度。它相应于晶格中原胞间最大（有效）引力。（2）有效引力最大位置打的确定：当r=rM，d2u(r)dr2=Oordf(r)两原子间距离i>ro时原子间产生吸引力«(r)原

10、子间的相互作用（«）互作用势能和原子间徙的关系;3）互作用力和原子间距的关系第二章晶体的结合第36页GFn+1nmlVm+1当时吸引力达极大值当超过m吸引力就逐渐减少du(r)dr表示晶格所能容耐的在一个方向上的最大张力。«(r)原子间的相互作用(«)互作用势能和原子间徙的关系;(6互作用力和顶子间距的关系du°=-Pmax=1du叫3两J（乔几第二章晶体的结合第42页例：已知，由N个惰性气体原子结合成的具有面心立方结构的晶体，其相互作用势能可表示为：(N)=2JVe(12.13)(p)一(14.45)(p)6式中：£,。为参数；r，为最近邻间距。试求：(1) 平衡时的晶体体积；(2) 体积模量;(3) 抗张强度。解：(1)U(rJ)0U(V)已知晶体具有面心结构，设晶格常数为a由N个原子构成的晶体体积可表示为V二N(