结构力学——结构的稳定计算

1、结构力学傅向荣刚性小球平衡状态刚性小球平衡状态稳定平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态随遇平衡状态根据受力状态根据受力状态稳定问题分类：稳定问题分类：1. 完善体系：完善体系：理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形分分支支点点失失稳稳失稳前后平衡状态的变形性质发生变化失稳前后平衡状态的变形性质发生变化结构结构2. 非完善体系非完善体系 受压杆受压杆有初曲率有初曲率或受偏心或受偏心荷载，为荷载，为压弯联合压弯联合受力状态受力状态极值点失稳极值点失稳失稳前后变形性质没有变化失稳前后变形性质没有变化FPcr cr突突跳跳失失稳稳FPcr cr突跳

2、失稳的力突跳失稳的力-位移关系示意图位移关系示意图突突跳跳失失稳稳 由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时都忽略变形影响。因此线弹性材料力都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正位移成正比，叠加原理适用。比，叠加原理适用。2-1) 静力法静力法2-1-2）例一）例一 试用静力法分析图示结构，求临界试用静力法分析图示结构，求临界荷载。荷载。06sinP aEIhF sinhB 得得由由 0 AM sin6PahEIF ahEIF6Pcr 稳定方程06P aEIhF hB 小挠度

3、小挠度非非零零解解为为ahEIF6Pcr 稳定方程得得由由 0 AM PF例二例二 完善体系如图所示，试按线性理论求临完善体系如图所示，试按线性理论求临界荷载界荷载F FPcrPcr。设体系发生如下的变形设体系发生如下的变形取取BC为隔离体，由为隔离体，由 MB=0, , 得得0)(1112P lykyyF)1(0)(2P1P1 yFyFlk或或再由整体平衡再由整体平衡 MA=0, , 得得)2(0)2(221P1 lykyFlk因为因为y1、y2不能全部为零，因此不能全部为零，因此)3(022P1PP1 lkFlkFFlk稳定方程将将k1 、k2 代入（代入（3 3）式，展开后得）式，展开后

4、得0)(352P2P klklFF由上式可求得：由上式可求得：klFklF303. 4697. 02P1P 因此因此klF697. 0Pcr 22lEI 224lEI 22PcrlEIF 224lEI EI，lFPFPcr根据形常数根据形常数lEIk31 1P, 0 0kFyyx ylx FPcrEI，lFPcrEI，lEI，lEA=EI，lEI，lFPcr稳定平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态随遇平衡状态能量取能量取极小值极小值2-2) 能量法能量法2-2-1)刚性小刚性小球的稳球的稳定能量定能量准则准则能量取能量取极大值极大值能量取能量取驻值驻值2-2-2) 弹性

5、结构的稳定能量准则弹性结构的稳定能量准则2-2-3) l例例1. 求图示有初偏离角求图示有初偏离角 体系的的临界荷体系的的临界荷载载 cos/hl )sin( lBx2-2-4) 能量法举例能量法举例 sin0lBx By )cos( lhDyBy sin)sin(3333N lhEIhEIFDx变形能变形能V 23Nsin)sin(2321 lhEIFVDx外力势能外力势能VP P )cos(PPP lhFFVBy体系的总势能体系的总势能V=V +VP P )cos(sin)sin(23P23 lhFlhEIV 如何计算如何计算? 应变能等于外力功应变能等于外力功. 根据定义可得根据定义可得

6、由体系的总势能的驻值条件得：由体系的总势能的驻值条件得： 0)sin()cos(sin)sin(3P23 lFlhEIV )sin(sin1)cos(33P lhEIF则：则： cos33PlhEIF 如果如果 = 0： )cos(sin)sin(23P23 lhFlhEIV )sin(sin1)cos(3)(3P EIlhFF令：令：To 41 )sin(sin1)cos(33P lhEIF0)( F 31sin)sin( 233233Pcrsin13)sin(sin1)cos(3 lhEIlhEIF令：令：得：得：因此因此 为求极值为求极值2132)sin1 ()cos( 1EIlhF33

7、Pcr23323Pcrsin13 EIlhF设：设： hhl cos0)(0 ByDxBxBxlll lhEIF3N30)(NP hFlF 2P3hEIFTo 38 PFlEIyx lxay2cos1 lxlay2sin2 lxlay2cos422 设：设： 例例2. 求图示一端固定一求图示一端固定一端自由简支梁的临界荷载。端自由简支梁的临界荷载。变形能变形能V llaEIxyEIV0324264d21 外力势能外力势能VP P laFxyFFVPlPPP16d212202 体系的总势能体系的总势能V=V +VP PlaFlaEIVP166422324 由体系的总势能的驻值条件得：由体系的总势能的驻值条件得：08322P34 alFlEIaV 因为因为a 0 则：则：22Pcr4lEIF yEIM )(RPxlFyFM )( RPxlFyFyEI )( R2xlEIFyny 则则)( PR22xlFFnyny 或或EIFnP2 记记特特解解通解通解)(sincosPRxlFFnxBnxAy 利用边界条件：利用边界条件：0, 0 yx解方程可得解方程可得;0 y0, ylx