资金时间价值与单利复利专题

1、资金时间价值与利息计算资金时间价值与利息计算教学目的和要求教学目的和要求： 通过本节学习，掌握货币的时间价值、单利与复利、终值与现等概念及其运用。 本节内容： 货币时间价值、单利与复利、终值与现值 一 货币的时间价值 二 单利和复利 三* 年金 货币的时间价值货币的时间价值l货币的时间价值含义货币的时间价值含义 在日常生活中在日常生活中，你把你把100100元存入银行一年，利率是元存入银行一年，利率是5%,5%,一年后，银行会给你一年后，银行会给你105105元，这元，这5 5元就是利息，元就是利息，是银行付你的报酬，换句话说，今天的是银行付你的报酬，换句话说，今天的100100元钱与元钱与一

2、年后的一年后的105105元等值。元等值。l在本金、利率相同的情况下，存款时间越长，利息就越多。同样，当你从银行借款时，你要向银行支付借款利息。企业若要发行债券，也要向债券持有者支付债券的利息。这里的银行借款利息和债券利息就是使用资金的成本。借用资金的时间越长，资金的成本就越高。l原因是：随着时间的推移，货币会增值。这原因是：随着时间的推移，货币会增值。这就是货币的时间价值。注意：只有将货币作就是货币的时间价值。注意：只有将货币作为资金使用才具有增值的功能。为资金使用才具有增值的功能。l货币的时间价值，是指在正常情况下，两个不同时点的同等数额的货币，其价值是不相等的。换言之，是指货币随着时间的

3、推延而形成的增值。也就是说，今年的100元钱与去年的100元钱，其价值是不相等的，年初的100元等于年末的105元。这一随时间变化的差额就是货币的时间价值。l它有两种表示形式：绝对数形式（利息）和相对数形式（利息率）。货币的时间价值含义货币的时间价值含义l上例中用绝对数表示的就是5元，用相对数表示的就是5%，即这个差额与本金的比率： 5100=5%。l货币的时间价值往往指随着时间的推延，货币能够增值。但要，作为一般等价物的货币本身并不具备这种增值能力，只有在货币作为资金使用，并与劳动要素相结合的条件下，才能使价值增值。货币的时间价值指的便是这种增值现象。 单利和复利单利和复利一、一、单利单利l

4、单利单利- -是只对本金计息。计算前，先将符号是只对本金计息。计算前，先将符号定义如下：定义如下： P P本金（现值）；本金（现值）； i i利率利率 ； F F终值；终值； I-I-利息；利息； n n 期数或年数；期数或年数； A A 每年等额支付或收到的款项；每年等额支付或收到的款项； 则：则：I=PI=Pi in【例例1 1】某人将某人将10001000元存入银行，银行存款元存入银行，银行存款年利率为年利率为10%10%，按单利计息，按单利计息，5 5年后的本利和：年后的本利和：l 利息利息1000100010%10%5 5500500（元）（元）l 本利和本利和=1000+500=1

5、500=1000+500=1500（元）（元）l可以看出，若按单利计息，各计息期的本金可以看出，若按单利计息，各计息期的本金和利息都是相同的。和利息都是相同的。二、复利二、复利l 复利是根据本金和前期利息之和计算的利复利是根据本金和前期利息之和计算的利息，也说是不仅要计算本金的利息，还要计息，也说是不仅要计算本金的利息，还要计算利息的利息。复利俗称算利息的利息。复利俗称“利滚利利滚利”。续前续前例：例：l第一年利息第一年利息: :lI I1 1=1000=100010%=10010%=100（元）（元）l第二年利息第二年利息: :lI I2 2=(1000+100)=(1000+100)10%

6、=110(10%=110(元元) )l第三年利息第三年利息: :lI I3 3=(1000+100+110)=(1000+100+110)10%=121(10%=121(元元) )l第四年利息：第四年利息：lI I4 4=(1000+100+110+121)=(1000+100+110+121)10%=133.1(10%=133.1(元元) )l第五年利息：第五年利息：lI I5 5=(1000+100+110+121+133.1)=(1000+100+110+121+133.1)10%=146.410%=146.4( (元元) ) 到期利息： I=100+110+121+133.1+146.

7、4611(100+110+121+133.1+146.4611(元）元） 复利计算的利息比单利计息要多。复利计算的利息比单利计息要多。三、终值和现值( (一一) )终值终值l到期值或本利和，是指一定期间后本到期值或本利和，是指一定期间后本金与利息的和。金与利息的和。l按计算方式不同：单利终值和复利终按计算方式不同：单利终值和复利终值。值。l 比较单利终值和复利终值计算，如果比较单利终值和复利终值计算，如果本金本金P P，利率为，利率为i i，见下表：，见下表：l表表4-1 4-1 单利终值与复利终值的计算单利终值与复利终值的计算单利终值单利终值复利终值复利终值第一年年末第一年年末第二年年末第二

8、年年末第第n n年年末年年末F=P+PF=P+Pi=P(1+i)i=P(1+i)F=P+PF=P+P2i=P(1+2i)2i=P(1+2i)F=P+PF=P+Pni=P(1+ni)ni=P(1+ni)F= P(1+i)F= P(1+i)F=P(1+i)(1+i)=P(1+i)F=P(1+i)(1+i)=P(1+i)2 2F=P(1+i)(1+i)F=P(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)=P(1+i)=P(1+i)n复利终值l复利终值是指按复利计息的一定时期的本利复利终值是指按复利计息的一定时期的本利和。和。 l计算公式：计算公式： F FP P（1 1i i）n nl式中：式中：P P本

9、金（现值）本金（现值） i i利率利率 n n计息期计息期 F F终值终值 其中（其中（1 1i i）n n被称为复利终值系数或被称为复利终值系数或1 1元的元的复利终值，用符号（复利终值，用符号（F/PF/P，i i，n n）表示。见附）表示。见附表表1 1。 例例2 2 如果你想存入如果你想存入10001000元，将来收回元，将来收回20002000元，元，当年利率为当年利率为10%10%时，要存几年？时，要存几年？lF=P(1+i)n n，即，即2000=1000(1+10%)n nl(1+10%)(1+10%)n n=2000=20001000=21000=2l查复利终值系数表，查复利

10、终值系数表，10%10%这一栏，查得期限这一栏，查得期限为为7 7年时，终值系数为年时，终值系数为1.948721.94872，期限为，期限为8 8年年的终值系数为的终值系数为2.143592.14359。说明存储期在。说明存储期在7 7至至8 8年之间，可使将来收到的本利和为年之间，可使将来收到的本利和为20002000元。元。可用图可用图4-14-1表示如下：内插法的运用表示如下：内插法的运用lABCll(7，1.94872)(n，2)(8,，2.14359)l应用等比公式，可求得应用等比公式，可求得n n：l同理，在已知本金（同理，在已知本金（P P）、终值（）、终值（F F）、期限）、

11、期限（n n）条件下，可求出预期的报酬率（）条件下，可求出预期的报酬率（i i）。）。个月年年37263.794872.114359.278214359.28nn( (二二) )现值现值l现值指一定期间后，一定量的货币（终值）现值指一定期间后，一定量的货币（终值）在现在的价值。在现在的价值。l单利现值和复利现值单利现值和复利现值l假定你想在将来得到一笔钱（终值），按一假定你想在将来得到一笔钱（终值），按一定的利率，现在一次应存入多少钱呢？按单定的利率，现在一次应存入多少钱呢？按单利计算，公式如下：利计算，公式如下：l单利现值公式：单利现值公式：P PF/1+niF/1+nil若按复利计算，则公

12、式是：若按复利计算，则公式是：nniFiFP)1 ()1 (l复利现值：复利现值：l 是指按复利计算的将来一定时期达到预定金是指按复利计算的将来一定时期达到预定金额现在需要的投入数。额现在需要的投入数。l复利现值计算是复利终值计算的逆运算。从复利现值计算是复利终值计算的逆运算。从复利终值计算公式可知：复利终值计算公式可知：其中其中（1 1i i） n n被称为被称为复利现值系数或复利现值系数或1 1元元的复利现值的复利现值，用符号，用符号（P/FP/F，i i，n n）表示。见表示。见附表附表2 2。复利现值系数与复利终值系数互为倒。复利现值系数与复利终值系数互为倒数。数。【例例3 3】企业打

13、算存入银行一笔钱，企业打算存入银行一笔钱，5 5年后年后 一次可取出本利和一次可取出本利和10001000元，已知复利年利元，已知复利年利 率为率为6%6%，计算现在一次需存入银行多少钱？，计算现在一次需存入银行多少钱？l根据题意：根据题意：F F1000 i1000 i6% n6% n5 5l根据公式：根据公式：P P F F（1 1i i） n n1000 1000 0.7470.747747747（元）（元）l在在P,F,i,nP,F,i,n中，可已知其中三个，根据复利终中，可已知其中三个，根据复利终值和现值系数表，用内插法求得另一个值。值和现值系数表，用内插法求得另一个值。见教材例题见

14、教材例题3 3。l又上例，若年利率又上例，若年利率8%8%，现在存入，现在存入747747元，几年元，几年后可一次取出后可一次取出10001000元？元？li=6%i=6% （P/FP/F，6%6%，5 5） =0.747=0.747li= 8% i= 8% （P/FP/F，8%8%，n n） =0.747=0.747l查表：查表：n=5 n=5 （P/FP/F，8%8%，5 5） =0.681=0.681l n=3 n=3 （P/FP/F，8%8%，3 3） =0.794=0.794l说明说明 3 3n n5 5 (5-n) (5-n) /(0.681-0.747) =(5-3)/(0.68

15、1-0.794) =(5-3)/(0.681-0.794) n3.832 n3.832 即：需要即：需要3 3年年1010个月个月( (三三) )名义利率与实际利率的关系名义利率与实际利率的关系 在以上讨论中，我们假定利率是年利率，在以上讨论中，我们假定利率是年利率，并且每年按复利计息一次。但实际生活中，并且每年按复利计息一次。但实际生活中，某些款项在某些款项在1 1年内不止计息一次，有些抵押年内不止计息一次，有些抵押借款每月或每季计息一次，有些债券半年计借款每月或每季计息一次，有些债券半年计息一次。息一次。l名义利率是指以名义利率是指以1 1年为基础的利率。年为基础的利率。l当利息在一年内要

16、复利几次时，给出的年利当利息在一年内要复利几次时，给出的年利率称为名义利率。率称为名义利率。实际利率是真正有效的利实际利率是真正有效的利率，随每年复利次数而变。率，随每年复利次数而变。l如果如果1 1年只计息一次，名义利率与实际利率年只计息一次，名义利率与实际利率相等。相等。l如如1 1年内复利年内复利m m次，名义利率为次，名义利率为r r，则，则: :l实际利率实际利率i i的公式：的公式：li i (1(1r/m)r/m)m m 1 1+i= (11 1+i= (1r/m)r/m)m m 【例例4 4】名义利率为名义利率为6 6，本金，本金10001000元，每半年复元，每半年复利一次，

17、利一次，5 5年后本利和是多少？年后本利和是多少？l实际利率实际利率i i (1(16%6%2)2)2 2 1 16.09%6.09%l第一种方法：第一种方法：lF F10001000(1(16%6%2)2)101010001000(1(13%)3%)1010 13441344l第二种方法：第二种方法：lF F10001000(1(16.09%)6.09%)5 5 13441344 答：答：5 5年以后本利和年以后本利和13441344元。元。年金年金* *1 1、年金概念、年金概念l年金是指在一定时期内，每隔相同时期收入或支年金是指在一定时期内，每隔相同时期收入或支出相当金额的款项出相当金额

18、的款项2 2、年金特点、年金特点l（1 1）间隔相等。在一定时期内每隔一段时间就发）间隔相等。在一定时期内每隔一段时间就发生一次收款或付款业务。生一次收款或付款业务。l（2 2）金额相等。各期发生的款项在数额上相等。）金额相等。各期发生的款项在数额上相等。l 在现实经济生活中，分期等额形成或发生的各在现实经济生活中，分期等额形成或发生的各种偿债基金、折旧费、养老金、保险金、租金、种偿债基金、折旧费、养老金、保险金、租金、等额分期收付款、零存整取、整存零取、债券利等额分期收付款、零存整取、整存零取、债券利息、优先股股息、以及等额收回的投资额等，多息、优先股股息、以及等额收回的投资额等，多属于年金

19、的范畴。属于年金的范畴。l3 3、年金分类：、年金分类：l年金按收付的时间不同具体划分为：普通年年金按收付的时间不同具体划分为：普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。金、预付年金、递延年金和永续年金四种。l(1)(1)普通年金普通年金- -凡收入或支出发生在每期期末凡收入或支出发生在每期期末的年金。的年金。l(2)(2)预付年金预付年金- -凡收入或支出发生在每期期初凡收入或支出发生在每期期初的年金。的年金。l(3)(3)递延年金递延年金- -凡收入或支出发生在第一期以凡收入或支出发生在第一期以后某一时间的年金。后某一时间的年金。l(4)(4)永续年金永续年金- -凡无限期收入或支出的年

20、金。凡无限期收入或支出的年金。一、普通年金一、普通年金l普通年金是指收入或支出发生在每期期末普通年金是指收入或支出发生在每期期末 的年金，又叫后付年金，用的年金，又叫后付年金，用A A表示。表示。1、普通年金终值计算普通年金终值计算l普通年金终值简称年金终值，记作普通年金终值简称年金终值，记作F FA A 。l普通年金终值是将每期的金额按复利换算到普通年金终值是将每期的金额按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，即复利终最后一期期末的终值，然后加总，即复利终值之和，就是该年金终值。计算公式：值之和，就是该年金终值。计算公式：lF FA A AA（1 1i i）n n11i il其中其中 （1

21、 1i i）n n1/i1/i被称为被称为年金终值系数年金终值系数或一元的年金终值，用符号（或一元的年金终值，用符号（F FA A/A/A，i i，n n）表示，附表表示，附表3 3为年金终值系数表。为年金终值系数表。l普通年金是后付年金，最后一期不普通年金是后付年金，最后一期不 计息，因此，计息期为总期数减计息，因此，计息期为总期数减1 1。l设某企业于每年年底在银行存款设某企业于每年年底在银行存款1 1元，连续存元，连续存4 4年，年，按年利率按年利率i i计息，则第计息，则第4 4年末该项年金的终值可图年末该项年金的终值可图4-24-2所示：所示：l 0 1 2 3 40 1 2 3 4

22、l 1 1 （1+i1+i） （1+i)1+i)2 2 （1+i)1+i)3 3l 1 1 （1+i1+i） （1+i)1+i)2 2 1 1 （1+i1+i） 1 1终值计算如下：终值计算如下：（F FA A/A,4,i/A,4,i）= = 1+ 1+（1+i1+i）+ +（1+i1+i）2 2 + +（1+i1+i）3 3 (1) (1)l将（将（1 1）式两边均乘（）式两边均乘（1+i1+i），得：），得：l（FA/A，4，i）（1+i1+i）=（1+i）+（1+i）2 2+（1+i）3 3 +（1+i）4 4 (2)(2)l（2 2）式减（）式减（1 1）式，得：）式，得：l(F/A,

23、4,i)(F/A,4,i)（1+i1+i）-(F/A,4,i) =-(F/A,4,i) =（1+i1+i）4 4 -1 -1l(F/A,4,i)(F/A,4,i)（1+i-11+i-1）= =（1+i1+i）4 4 -1 -1iiiAF1)1 (), 4 ,/(4l即即1 1元的普通年金终值系数。表示利率为元的普通年金终值系数。表示利率为i i时，时，1 1元普通年金在元普通年金在n n期后的终值。期后的终值。l【例例5 5】企业连续每年末存款企业连续每年末存款10001000元，按元，按10%10%的复利计息，第的复利计息，第1010年末可以一次取出本利和年末可以一次取出本利和为多少？为多少

24、？l根据题意：年金根据题意：年金A A1000 1000 期数期数n n10 10 利率利率i i10%10%l则：则：F FA AA A （1 1i i）n n1/i1/i A A（F FA A/A/A，10%10%，1010） 1000100015.93715.9371593715937（元）（元）2 2、年偿债基金的计算、年偿债基金的计算年偿债基金又叫积累基金，是指已知年金年偿债基金又叫积累基金，是指已知年金终值终值F FA A ，求年金，求年金A A的过程，它是年金终值的过程，它是年金终值的逆运算，亦属于已知整取求零存的问题。的逆运算，亦属于已知整取求零存的问题。根据年金终值公式可知：

25、根据年金终值公式可知：lA A F FA A （1 1i i）n n1/i 1/i F FA A （F FA A/A/A，i i，n n） 该系数可用年金终值系数的倒数求出来。该系数可用年金终值系数的倒数求出来。 l【例例6 6】企业准备在企业准备在1010年内每年末存入银年内每年末存入银行一笔钱，以便在第行一笔钱，以便在第1010年末归还一笔到年末归还一笔到期期100100万元的债务。如果存款的年利率为万元的债务。如果存款的年利率为10%10%，请问每年末至少应存入银行多少资，请问每年末至少应存入银行多少资金？金？l据题意：据题意：F FA A100100万元万元 i i10% n10% n

26、1010l则年金则年金:A:AF FA A （1 1i i）n n1/i 1/i F FA A （F FA A/A/A，10%10%，1010） 10010015.93715.9376.2756.275万元万元l答：每年末至少存入银行答：每年末至少存入银行6.2756.275万元。万元。 3 3、普通年金现值计算、普通年金现值计算普通年金现值简称年金现值，记作普通年金现值简称年金现值，记作P PA A 。普通年金现值是指每期后收（付）等额普通年金现值是指每期后收（付）等额款项复利现值之和，计算公式：款项复利现值之和，计算公式：lP PA A A A 11（1 1i i）n n i il 其中其

27、中11（1 1i i）n n/i/i 被称为被称为年金现年金现值系数或一元的年金现值值系数或一元的年金现值，用符号，用符号（P PA A/A /A ，i i，n n）表示，附表表示，附表4 4为年金现值为年金现值系数表。系数表。l【例例7 7】企业准备连续企业准备连续1010年在每年末取出年在每年末取出10001000元，按元，按10%10%的复利计息，问现在一次需的复利计息，问现在一次需支付的款项为多少？支付的款项为多少？l根据题意：根据题意：A A1000 n1000 n10 i10 i10%10%l则则:P:PA A A A11（1 1i i）n n/i/i A A（P PA A/A /

28、A ，10%10%，1010） 100010006.1456元）（元）l答：现在一次需支付答：现在一次需支付61456145元。元。 4 4、年回收额的计算、年回收额的计算l年回收额的计算是年金现值计算的逆运年回收额的计算是年金现值计算的逆运算，即已知年金现值算，即已知年金现值P PA A，求年金，求年金A A，也就，也就是已知整存求零取的问题。根据年金现是已知整存求零取的问题。根据年金现值公式可知：值公式可知：lA A P PA A 11（1 1i i）n n/i/i P PA A （P PA A/A /A ，i i，n n） 该系数可用年金现值系数倒数求出来。该系

29、数可用年金现值系数倒数求出来。 【例例8 8】企业准备投资企业准备投资100100万元，该项目预万元，该项目预 计有效年限为计有效年限为1010年，若企业期望的报酬率为年，若企业期望的报酬率为10%10%，计算企业至少每年末要从该项目中获，计算企业至少每年末要从该项目中获得多少报酬才合算？得多少报酬才合算？l据题意：据题意：P PA A 100100万元万元 i i10% n10% n1010l则年金则年金A A P PA A 11（1 1i i）n n/i/i P PA A （P PA A/A /A ，10%10%，1010） 1001006.1456.14516.27416.274l答：企

30、业每年末应获得答：企业每年末应获得16.27416.274万元才合算。万元才合算。 二、预付年金二、预付年金l 预付年金是指收入或支出发生在每期期预付年金是指收入或支出发生在每期期初，也叫先付年金，记作初，也叫先付年金，记作A A。1 1、预付年金终值计算、预付年金终值计算l 预付年金终值是指每期先收（付）等额预付年金终值是指每期先收（付）等额款项复利终值之和。记作款项复利终值之和。记作F FA A l 预付年金终值计算和普通年金计算相比预付年金终值计算和普通年金计算相比, ,差一个计息期，可以根据普通年金终值计差一个计息期，可以根据普通年金终值计算公式加以调整，所以，预付年金终值计算公式加以

31、调整，所以，预付年金终值计算公式为：算公式为：l预付年金终值计算公式为：预付年金终值计算公式为：lFFA AAA （1 1i i）n n1 1 1/ i 1/ i 11 AA （F FA A /A /A，i i，n n1 1）11l或或 AA （1 1i i）n n 1/ i1/ i（1 1i i） AA （F FA A /A /A，i i，n n）（1 1i i） l即即:n:n期的预付年金终值系数等于期的预付年金终值系数等于n+1n+1期的普期的普通年金终值系数减通年金终值系数减1 1。或等于。或等于n n期的普通年期的普通年金终值系数乘以金终值系数乘以1+i1+i。【例例9 9】企业连续

32、每年初存款企业连续每年初存款10001000元，按元，按10%10%的复利计息，第的复利计息，第1010年末可以一次取出本利年末可以一次取出本利和为多少？和为多少？l根据题意：根据题意：A A1000 n1000 n10 i10 i10%10%l则：则：F FA A AA （F FA A /A /A，i i，n n1 1）11 10001000（F FA A/A,10%,11/A,10%,11）1 1 10001000（18.531-1)18.531-1) 1753117531（元）（元）l答：第答：第1010年末可取出年末可取出1753117531元。元。2 2、预付年金现值计算、预付年金现

33、值计算l是指每期先收（付）等额款项复利现值之和。是指每期先收（付）等额款项复利现值之和。记作记作PPA Al预付年金现值计算同样可以根据普通年金现预付年金现值计算同样可以根据普通年金现值计算公式加以调整，预付年金现值计算公值计算公式加以调整，预付年金现值计算公式为：式为：lPPA AAA11（1 1i i）(n(n1)1)/ i / i 11 AA （P PA A /A /A，i i，n n1 1）11l或或 AA11（1 1i i）n n/ i / i （1 1i i） AA （P PA A /A /A，i i，n n）（1 1i i） l即：即：n n期的预付年金现值系数等于期的预付年金现

34、值系数等于n n1 1期的普期的普通年金现值系数加通年金现值系数加1 1。或等于。或等于n n期的普通年金期的普通年金现值系数乘以现值系数乘以1+i1+i。【例例1010】企业准备现在一次投入一笔资金，企业准备现在一次投入一笔资金，以后连续以后连续1010年每年初可取得年每年初可取得10001000元，按元，按10%10%的复利计息，问现在一次需支付的款的复利计息，问现在一次需支付的款项为多少？项为多少？l根据题意：根据题意：A A1000 n1000 n10 i10 i10%10%l则：则：P PA A A A （P PA A /A /A，i i，n n1 1）+1+1 10001000（P

35、 PA A/A,10%,9/A,10%,9）+1+1 10001000（5.759+15.759+1） 67596759（元）（元）l答：现在一次需支付答：现在一次需支付67596759元。元。 三、递延年金现值计算三、递延年金现值计算l递延年金是指在第一期以后（从递延年金是指在第一期以后（从0 0期隔期隔S S期）期）才发生的年金，也叫延期年金，记作才发生的年金，也叫延期年金，记作A A。l递延年金终值不受递延期的影响，计算方法递延年金终值不受递延期的影响，计算方法与普通年金终值相同。与普通年金终值相同。l递延年金现值有两种方法递延年金现值有两种方法: :l(1)(1)先算出普通年金现值（先算出普通年金现值（n-s)n-s)，再将其从递，再将其从递延期延期(s)(s)按复利现值系数折算至现在；按复利现值系数折算至现在；l(2)(2)算出包括递延期在内的年金现值算出包括递延期在内的年金现值(n)(n)，减，减去按递延期计算的年金现值去按递延期计算的年金现值(s)(s)。即：。即： 递延年金现值的计算公式：递延年金现值的计算公式：P PA A A A11（1 1i i）(n(ns)s) /i /i （1 1i i）- -s s A A(P(PA A/A /A ，i