材料力学 平面图形的几何性质

1、 从前面介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力从前面介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩、极惯性矩IP、抗扭截面系数、抗扭截面系数WP等一些几何量密切相关。等一些几何量密切相关。因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。性质的计算方法。另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部机动地为各种

2、构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其物尽其用用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。第一节第一节 静矩静矩 AySzddAzSyddAAyyAAzzAzSSAySSddddzydAyz静距静距是面积与它到轴的距离之积。是面积与它到轴的距离之积。 平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为

3、负，也可能等于零。它常用单位是可能为负，也可能等于零。它常用单位是m3或或mm3。 附录-1 静矩形心形心dAzyyzCxCyAyAyAzAzCCAydAyAzdAzACACASyASzzCyCCyCzzASyAS 平面图形对平面图形对z轴（或轴（或y轴）的轴）的静矩，等于该图形面积静矩，等于该图形面积A与其形与其形心坐标心坐标yC（或（或zC）的乘积。）的乘积。 附录-1 静矩 当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。图形的形心。 如果平

4、面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。平面图形对其对称轴的静矩必等于零。 CyCzzASyAS附录-1 静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或轴（或y轴）的静轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即 niCiiCnnCCyniCiiCnnCCzzAzAzAzASyAyAyAyAS1221112211式中式中 yCi、zCi及及Ai分别为各简单图形的形心分别为各简单图形的形心坐标和面积坐标和面积; n为组成

5、组合图形的简单图形的个数。为组成组合图形的简单图形的个数。niiniCiiCniiniCiiCAyAyAzAz1111 组合图形组合图形形心的坐标形心的坐标计算公式计算公式附录-1 静矩例例 附附-1 矩形截面尺寸如图所示。试求该矩形对矩形截面尺寸如图所示。试求该矩形对z1轴的静矩轴的静矩Sz1和对形心轴和对形心轴z的静矩的静矩Sz。z1b/2b/2h/2h/2zCy2221bhhbhyASCz解解 (1) (1) 计算矩形截面对计算矩形截面对z z1 1轴的静矩轴的静矩 (2) 计算矩形截面对形心轴的静矩计算矩形截面对形心轴的静矩 由于由于z轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形轴为矩

6、形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形截面对截面对z轴的静矩为轴的静矩为 Sz=0附录-1 静矩 例附例附-2 试计算如图所示的平面图形对试计算如图所示的平面图形对z1和和y1的静矩，并的静矩，并求该图形的形心位置。求该图形的形心位置。801201010z1y1C1C2解解 将平面图形看作由矩形将平面图形看作由矩形和和组成组成矩形矩形 5mmmm2101Cz60mmmm21201Cy矩形矩形 45mmmm270012Cz5mmmm2102CyA1=10120mm2=1200mm2 A2=7010mm2=700mm2附录-1 静矩801201010z1y1C1C2C1（5,60）C2（45,5）

7、该平面图形对该平面图形对z1轴和轴和y1轴的静矩分别为轴的静矩分别为343122111mm107.55mm5700602001niCCCiizyAyAyAS343122111mm103.75mm4570051200niCCCiiyzAzAzAS求得该平面图形的形心坐标为求得该平面图形的形心坐标为19.74mmmm7001200103.75411niiniCiCAzAzi39.74mmmm7001200107.55411niiniCiCAyAyi附录-1 静矩第二节第二节 惯性矩、极惯性矩惯性矩、极惯性矩惯性矩惯性矩是面积与它到轴的距离的平方之积。是面积与它到轴的距离的平方之积。 AyAzAzI

8、AyIdd22dAzyyzr极惯性矩极惯性矩是面积对极点的二次矩。是面积对极点的二次矩。yzAIIAId2rr 惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯性矩不同。极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩不同。极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也各不相同。惯性矩恒为正值，常用单位为性矩也各不相同。惯性矩恒为正值，常用单位为m4或或mm4。 附录-2 惯性矩、极惯性矩 AiIAiIAiIPPyyzz222,AIiAIiAIiPPyyzz, 式中式中iz、iy、iP分别称为平面图形对分别称为平面图形对z轴、轴、y轴、和

9、极点轴、和极点的的惯性半径惯性半径，也叫回转半径。单位为，也叫回转半径。单位为m或或mm。或改写成 常将图形的惯性矩表示为图形面积常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方与某一长度平方的乘积，即的乘积，即附录-2 惯性矩、极惯性矩 例附例附-3 矩形截面的尺寸如图所示。试计算矩形截面对其形矩形截面的尺寸如图所示。试计算矩形截面对其形心轴心轴z、y 的惯性矩及惯性半径。的惯性矩及惯性半径。 解解 (1) 计算矩形截面对计算矩形截面对z轴和轴和y轴轴的惯性矩的惯性矩 取平行于取平行于z轴的微面积轴的微面积dA， dA到到z轴的距离为轴的距离为y，则，则 dA=bdy截面对截面对 z 轴的惯性

10、矩为轴的惯性矩为AzdAyI2截面对截面对 y 轴的惯性矩为轴的惯性矩为AydAzI2bh/2zCydydz223212hhbhbdyy223212bbhbhdzz附录-2 惯性矩、极惯性矩(2) 计算矩形截面对计算矩形截面对z轴、轴、y轴的惯性轴的惯性半径半径截面对截面对z轴和轴和y轴的惯性半径分别为轴的惯性半径分别为12123hbhbhAIizz12123bbhhbAIiyybh/2zCy附录-2 惯性矩、极惯性矩AaIIxcx2CxcycyxObadAcycxAxdAyI2ACdAay2AcdAy2AcdAya2AdAa2xcIAa2AccyAdAyAbIIycy2在所有相互平行的坐标轴

11、中，在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小。图形对形心轴的惯性矩为最小。第三节第三节 惯性矩的平行移轴公式、组合图形的惯性矩惯性矩的平行移轴公式、组合图形的惯性矩 图形对任一轴的惯性矩，等于图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。平行轴间距离平方的乘积。xc 、yc轴通过截面的轴通过截面的形心，称为形心，称为形心轴形心轴例例 附附-4 计算如图所示的矩形截面对计算如图所示的矩形截面对z1轴和轴和y1轴的惯性矩。轴的惯性矩。z1b/2b/2h/2h/2zCy321223

12、2321bhbhhbhAhIIzz 解解 z、y轴是矩形截面的形轴是矩形截面的形心轴，它们分别与心轴，它们分别与z1轴和轴和y1轴平轴平行，则由平行移轴公式得，矩行，则由平行移轴公式得，矩形截面对形截面对z1轴和轴和y1轴的惯性矩分轴的惯性矩分别为别为 3212232321hbbhbhbAbIIyy附录-3 组合图形的惯性矩y1组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即单图形对同一轴惯性矩之和。即iynyyyyiznzzzzIIIIIIIIII2121 计算组合图形的惯性矩步骤计算组合图形的惯性矩步骤 1.确定组

13、合图形的形心位置，确定组合图形的形心位置， 2.查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩，查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩， 3.利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩的惯性矩。 附录-3 组合图形的惯性矩580120500250zC 例例 附附-5 试计算图示试计算图示T形截面对形心轴形截面对形心轴z、y的惯性矩。的惯性矩。a1a2ycz1C1z2C2zoOA1A2附录-3 组合图形的惯性矩23211(500 120)60 10,(58060)640Ammmmymmmm23222580(250 580)145 10,2902A

14、mmmmymmmm333360 10640 145 1029039260 10145 10iiA yycmmmmA解解 求截面形心位置求截面形心位置 由于截面有一根对称轴由于截面有一根对称轴y，故形心必在此轴上，即故形心必在此轴上，即zc=0 选坐标系选坐标系yoz，以确定截面形，以确定截面形心的位置心的位置yC。将截面图形分为两。将截面图形分为两个矩形。个矩形。500580120yc250z1C1zCz2C2zOA1A223211(500 120)60 10,(58060)640Ammmmymmmm23222580(250 580)145 10,2902Ammmmymmmm附录-3 组合图形

15、的惯性矩12ZzzIII33441 122500 120250 580,1212ZZImmImmZIyI计算计算及及 整个截面图形对整个截面图形对 z 轴、轴、y 轴轴的惯性矩应分别等于两个矩形的惯性矩应分别等于两个矩形对对 z 轴、轴、y 轴的惯性矩之和。即轴的惯性矩之和。即 两个矩形对自身形心轴的惯两个矩形对自身形心轴的惯性矩分别为性矩分别为33441 122500 120250 580,1212ZZImmImm500580120yc250z1C1zCz2C2zOA1A2附录-3 组合图形的惯性矩32248411 111500 120248500 12037.6 1012ZZIIa Ammmm32248422222250 580102250 58055.6 1012ZZIIa Ammmm8848412(37.6 1055.6 10 )93.2 10zZZIIImmmm应用平行移轴公式得应用平行移轴公式得所以所以500580120a1a2yc250z1C1