08年高考数学江西卷理最后一题研究

1、08年高考数学江西卷（理）最后一题研究08年高考数学江西卷(理)最后一题有点难22.(本小题满分14分)已知函数f(X)=R+得+彳，xG(0,+oo).IX11aax8(1)当a=8时)求f(x)的单调区间;(2)对任意正数a,证明：lvf(x)v2.bx,c,则第(2)等价于:若a,b,c>0,abc=8求证:11,1a(1)与2004年西部奥林匹克最后一题:设a,b,c是正数，求证：1,a-=cc2类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。完全证出。而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人.a2b2.b2另外，2003年中国数学奥林匹克第三题:给定正数n,求最小正数人,使得对于任何(0,

2、-)(i1,2,n),2只要tan1?tan2?.tann22,就有cos1?cos2?.cosn不大于入答案：当n>3,X=n-1当n=3时，令atan22,21,btan2,ctan3即得)右边的等式。江西的宋庆老师说：今天阅卷结束。该题第2小题无人挨边；14分的题全省9分分二人。由此可知，(2)右边的不等式，江西的考生无人证出，基本上属于废题。所以第(2)小题不宜作高考题。此题也引起了张景中院士的兴趣，在“张景中院士解江西高考压轴题”一贴中张景中院士认为此题难度段大，适宜竟塞而不适合高考.命题者提供的参港答案看似推理自然，但实际上做题者难以想到口今而数学通讯）网易才此题有兴趣，提供

3、答案供参考./求证1/J'J，I-<20），.4&Vajf+S记8=k,L问题化常在3正数成二日条件下求“ctX户（厘,反二）二十J十一4=的上下界.不妨设门44VJ记£二厘94由.J14"，1仙，1小1Qj把忒如瓦g音成t的函数/©二尸g,瓦c）=此注意变量和参数范圃为五二2,计算导致，3i-jt3广=T-Q+n3十q十一产）=5弋+犷-0十冷常&q甫），这里Q&葡是某2tt：±正值代数式.于是可以根据冢。二（1。十一0+幻'）的正负来判斯_/（工）的噌诵口注意到宫（施）=0,容易作因式分解：式£

4、）=（上一/）（一上（上-3£+为/由第二个因式形成的二次方程1一此/-到+此二0的判别式A二二的-戈鼻-4t当人父4时有白式。1,于是一上g?/+北在（0,灰）上避增，从而/在处71最大口容易检验百J=,1+i<2和/>1.命题人陶平生教授的证明：其中对右边不等式的证明思路基本上取自于前面提到的2003年中国数学奥林匹克第三题黄玉民教授解答。22.解：1、当a8时，fx/1,求得fxU,1x32、x1x3于是当x（0,1时）fx0；而当x1,）时）fx0.即f（x）在（0,1中单调递增，而在1,）中单调递减.（2）.对任意给定的a0）x0）由f（x）1118ax若令bg

5、，则abx8ax7,而fx（一）、先证fx1；因为占,1x土，A，又由2abx2.2a2,bx442abx832(abx)(abaxbx)(1x)(1a)(1b)9(abx)(abaxbx)(1x)(1a)(1b)1(abx)(ab(1x)(1a)(1b)axbx)abx/1.（二）、再证fx2；由、式中关于x,a,b的对称”不妨设xab.则0b2当ab7,则a5,所以xa5,因为1x1a;151）此时fx11，由得,x5abb因为b21b4(1b)21门所以2(1b)今证明ab2ab1a1b'ab8，因为ab2ab1a1bV(1a)(1b)只要证(1a；：1b)居，即ab8(1a”明

6、即ab7,据,此为显然.因此得证.故由得f(x)2.综上所述，对任何正数a,x)皆有1fx2.设4>0,3>0,e>。且=庆=&则1<S4焉十忐多ill明：不妨设nW8We,令二2,由门儿二8有046<4=0<且式2先求出工二/“+一J二（/aA=4,a>0»a0,2S2的值城2+,+6+之/因M二0+。）。+占）二(I一/)&+2+Lu又令。<4令“=7i+=7i+占二Ji+d+b+她=J+a+T+a?显然升26+2出；%，=1+4,JUM>=(0=(i-2y2+2£+io<«<4

7、+1尸=2(1-*x+1,由a£2WF*()=2-4之0r(0)=1>0.4+1因此潸0u£-.有F(e)NO,所以F在电-隹增函数,则2+14+1142F(0)(尸W尸(一),即1<尸的a+i丸+i1+i即当00,2>>0,而2时,有1<丁1_+丁1_5+。6+6应用（受左边不等式有左边的不等式成立.应用（-）右边不等式有1.1,1,2.1S+a5+8J+nJl+46+8/2要在右边不等式,只需证<2(*)令戊+石=vj<v<戊则oA=（V3-1）：.（*）等价于：2（吁1）<=>v(v-4-1)<2小炉-

8、lj*=卜8+1)/<|(/_1;+8»3v4-2v"-9/+18>0o2v?(v-l)+(v2-3)(3-6)>0由1"W阚后一不等式显然成立©右边的不等式成立.设口上)03>加工&求证;14-J-+,T*-j<2(''J1+0也+hyl+1；证明令口=JIy=J.W=J.Oq-y-1,5=-y-l,ff=15M小+0Jl+SVl+CWvWGMGM&g假设存在q也/。且儿=比但(1)左边不等式不成五即存乏,叫啕黄足但注意到0vh,w<L有1+以>1-白+w*25/>0.所以

9、1,&一公。4旬一0-以、q而y4厘闩孑串111、如第了7口?>一一之7一口尸同琅耳7>h*萨7>三=4。丫斗_1卜学号警=阻舄牙盾.因此左边不得式成立.U人/人”/加V1*假1ft存在此氏总>口且如亡=之但容边下等宽不成立,即存在出口江茜足(2)但u+v+w2,注意到0UR1P巧W有0<E+u<2.G<1-uv+w-1=vw-(1k)<w,n1.(l-tO(l+tO2VH曰1nrt1r2ww,1,2uvngTG_1)(J-1卜竺浩工=手矛盾.因此。击边不等式成立.说句实在话，该题命题人陶平生教授所给出的证明是最好的。问题只是这道好题在不

10、恰当的“问出现在不恰当的地方。平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。2008-07-1221:03scpajmb的发言：忆犹新确实，陶平生教授是不等式高手，所命那道2005年全国联赛加试第二题，大家还记当然，宋老师也是不等式高手。我的这个证明不是最简单的，发到这里供参考。定理3若叫6,ceR,，4拿8,则a.b+/一3/a2；2乩禄+AsVc2+Aab/1+A定理3的证明令”=%?(L且xyz=1>=济2=作,则上,y,zWIT,于是，不等式超等价于11134-T+/=+=、/=一©/14Xx/1+即yr4-Azyi+，i+A(1+Ay)(l+Az)/(14-Az

11、)(l+Ax)+s/71+Aj)(1-kAy)n3/(I+Ax)(l+入%)(1+£)=(1+A)(3+2A(«+y4)+A2(ys十新十町十2/(1+Ax)(l+Ay)(l+Az)(v/<1+Ax-b/1+Ay+VT+Az)n9(1+A(a+y+z)+A2(yz+zr.«y)+炉)(2A2-7A)(x+yz)+(As-8A2)(j?+zt4xy)+2(l+A)/(1+Ax)(l+Iy)(l+M)(1+Ax+/1+Ay+rM)三9A.3-3大+6因为(1+1x)(1+Ay)(J+a=1十+丁+z)+(yz+*+打)+入3叁1+3A+3A2f嬴：+A33At3A2+A3=(1+A/所以式左端大于等于3(2A2-7A)+3(犬-8产)46(1+A)-(<14Ax)(1+Ay)(l+E)&33A3-18A2-21A+6(1+A)(l4A)