电路课件(邱关源版)第十四章拉氏变换

1、14.3 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。n 由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：(1)利用公式利用公式seFtfstjjd)s (j21)(cc(2)对简单形式的对简单形式的F(s)可以可以查拉氏变换表得原函数查拉氏变换表得原函数下 页上 页(3)把把F(s)分解为简单项的组合分解为简单项的组合)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 部分分式部

2、分分式展开法展开法返 回利用部分分式可将利用部分分式可将F(s)分解为：分解为：)( )()()(110110mnbsbsbasasasDsNsFnnnmmm nppns 10)(D (1)个单根分别为有若下 页上 页象函数的一般形式象函数的一般形式nnpsKpsKpsKsF 2211)(待定常数待定常数讨论tptptpeKeKeKtfn21n21)( 返 回n321 )(、ipssFKipsii待定常数的确定：待定常数的确定：方法方法1 1下 页上 页 nnpsKpsKpsKFps22111)() s ()(方法方法2 2) s ()s)(s (limpDpNKisii令令s = p1niD

3、NDNpNiipsis3 , 2 , 1,) s () s () s () s ()s)(s (limpjpjp21)()()()()()(1sDjsjssNsDsNsF)()(1121sDsNjsKjsK具有共轭复根若 0)( )2(sD下 页上 页K1、K2也是一对共轭复数也是一对共轭复数注意j21 )()()j)(jssDsNssFKs，返 回) t ()(1)(j)(jfeeKeeKtjtj) t (1)( j)( jfeeeKttt)()cos(21tfteKtj2j1e e-KKKK设：) t ()()(1)j(2)j(1feKeKtftt下 页上 页返 回 )p()(1110nm

4、mmsasasasF nnnnpsKpsKpsKpsKsF)()()()(1111112112111 具有重根若 0)( )3(sD下 页上 页1)()(11psnnsFpsK1)()(dd111psnnsFpssK1s11111)()(dd)!1(1pnnnsFpssnK返 回 n =m 时将时将F(s)化成真分式和多项式之和化成真分式和多项式之和 nnpKpKpKAF sss) s (2211由由F(s)求求f(t) 的步骤：的步骤： 求真分式分母的根，求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式将真分式展开成部分分式 求各部分分式的系数求各部分分式的系数 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变

5、换对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换) s () s () s (0DNAF下 页上 页小结返 回14.4 14.4 运算电路运算电路基尔霍夫定律的时域表示：基尔霍夫定律的时域表示： 0)(ti 0)(tu1.1.基尔霍夫定律的运算形式基尔霍夫定律的运算形式下 页上 页 0)(sI0) s (U根据拉氏变换的线性性质得根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式的运算形式对任一结点对任一结点对任一回路对任一回路返 回u=Ri)()(sGUsI)()(sRIsUGsYRsZ)()(2.2.电路元件的运算形式电路元件的运算形式 电阻电阻R的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换电阻的运算电

6、路电阻的运算电路下 页上 页uR(t)i(t)R+-时域形式：时域形式：R+-)(sU)(sI返 回tiLudd)0()()0()()(LissLIissILsUsisLsUsI)0()()(sLsYsLsZ1)()( 电感电感L的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换,由微分性质得由微分性质得L的的运算运算电路电路下 页上 页i(t)+ u(t) -L+ -sL)0(LiU(s)I(s)+-时域形式：时域形式：sL+ U(s)I(s )si)0( -返 回d )( 1)0(0tiCuususIsCsU)0()(1)()0()()(CussCUsIsCsYsCsZ)(1)( 电容电容C的运算形

7、式的运算形式C的的运算运算电路电路下 页上 页i(t)+ u(t) -C时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换,由积分性质得由积分性质得+ -1/sCsu)0(U(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+ U(s)I(s ) -返 回tiMtiLutiMtiLudddddddd12222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU 耦合电感的运算形式耦合电感的运算形式下 页上 页i1*L1L2+_u1+_u2i2M时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换,由微分性质得由微分性质得sMsYsMsZMM1

8、)()(互感运算阻抗互感运算阻抗返 回耦合电感耦合电感的运算电路的运算电路下 页上 页)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU+-+sL2+sM+ +)(2sUsL1)(2sI)0(22iL)0(1Mi)(1sI)(1sU-)0(11iL)0(2Mi- +返 回3. 3. RLC串联电路的运算形式串联电路的运算形式下 页上 页u (t)RC-+iLU (s)R1/sC-+sLI (s)时域电路时域电路 0)0( 0)0(Lciu若：tctiCtiLiRu0d1dd)(1)()()(sIsCssLIRsI

9、sU拉氏变换拉氏变换运算电路运算电路)()()1)(sZsIsCsLRsIsCsLRsYsZ1)(1)(运算阻抗运算阻抗返 回)()()()()()(sUsYsIsIsZsU下 页上 页运算形式的运算形式的欧姆定律欧姆定律u (t)RC-+iL0)0( 0)0(Lciu若：+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)suc)0(拉氏变换拉氏变换返 回suLisUsIsZsIsCsLR)0()0()()()()()1(C下 页上 页susIsCLisLIRsIsU)0()(1)0()(s)()(C+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)suc)0(返 回 电压、电

10、流用象函数形式；电压、电流用象函数形式； 元件用运算阻抗或运算导纳表示；元件用运算阻抗或运算导纳表示； 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。下 页上 页电路的运算形式电路的运算形式小结返 回下 页上 页1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-+-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t 0 运算电路运算电路返 回例例给出图示电路的运算电路模型。给出图示电路的运算电路模型。解解t=0 时开关打开时开关打开uc(0-)=25V iL(0-)=5A时域电路时域电路14.5 14.5 应用拉普拉斯变换法应用拉普拉斯变换法 分析线性

11、电路分析线性电路 由换路前的电路计算由换路前的电路计算uc(0-) , iL(0-) ； 画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用；加电源的作用； 应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数； 反变换求原函数。反变换求原函数。下 页上 页1. 1. 运算法的分析步骤运算法的分析步骤返 回例例10)0( Li(2) 画运算电路画运算电路sL1ss11s11sCV1)0(cu解解(1) 计算初值计算初值下 页上 页电路原处于稳态，电路原处于稳态，t =0 时开关闭合，试用运算时开关闭合，试用运算法求电流法求电流 i

12、(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返 回(3) 应用回路电流法应用回路电流法下 页上 页1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s)(1sI)(2sI0)0(1) s (1)()11 (C21susIssIssssuIsIs1)0() s ()11 () s (1C21-返 回下 页上 页2)2(1)()(21ssssIsI) j1s (j1)(321KsKsKsI(4)反变换求原函数反变换求原函数j1j10 :30)(D321ppps，个根有21) s (01ssIKj)2(11) j1)(j12sssIKj)2(11) j1)(j13s

13、ssIK返 回下 页上 页) j1() j1 (21j1) j1 (2121)(ssssI)sinecose1 (21)()(L1tttisItt例例2，求，求uC(t)、iC(t)。0)0(),(csuti图示电路图示电路RC+ucis解解画运算电路画运算电路1/sC+Uc(s)( )1sI s R)(CsI返 回sCsIsCRRsUsC1)(/1)()/1(RCsRCR1)()(RsCRsCsCsUsICC)/111RCsRC（)0(1/teCuRCtc)0(1)(/teRCtiRCtc下 页上 页1/sC+Uc(s)( )1sI s R)(CsI返 回t = 0时打开开关时打开开关 ,

14、,求电感电流和电压。求电感电流和电压。0)0(A5)0(21ii例例3下 页上 页解解计算初值计算初值+-i10.3H0.1H10V23i2画运算电路画运算电路10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回s.ssI4055110)(1ss.s.)405(51105 .1275. 12ss25 .12175. 12ieitsss)5 .12(75. 325下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回5 . 1) s (s3 . 0)(11IsUL375. 05 .1256. 6sUL1(s)(1 . 0)(2ssIsUL5 .1219. 2375.

15、 0stLettu5 .12219. 2)(375. 0)(tLetu5 .12156. 6)(375. 0) t (下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回3.75ti1520tLettu5 .12156. 6)(375. 0)(tLettu5 .12219. 2)(375. 0)(下 页上 页25 .12175. 12ieituL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190返 回14.6 14.6 网络函数的定义网络函数的定义1. 网络函数网络函数H（s）的定义）的定义 线性时不变网络在单线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态一

16、电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的函数之比定义为该电路的网络函数网络函数H(s)。)()( L )(L L L )(defsEsRtetrsH）激励函数零状态响应下 页上 页返 回零零状状态态e(t)r(t)激励激励 响响应应2、网络函数的分类、网络函数的分类由于激励由于激励E E( (s s) )可以是独立的电压源或独立的可以是独立的电压源或独立的电流源，响应电流源，响应R R( (s s) )可以是电路中任意两点之间的电可以是电路中任意两点之间的电压或任意一支路的电流，网络函数可能是：压或任意一支路的电流，网络函数可能是：（1 1）驱动点

17、阻抗（导纳）驱动点阻抗（导纳）（2 2）转移阻抗（导纳）转移阻抗（导纳）（3 3）电压转移函数）电压转移函数（4 4）电流转移函数）电流转移函数 +-U.Iu 驱动点函数：驱动点函数：当激励和响应位当激励和响应位于同一对端口，一个为电压，另一于同一对端口，一个为电压，另一个为电流时，网络函数可称为驱动个为电流时，网络函数可称为驱动点函数。点函数。驱动点函数有两种：驱动点函数有两种：（1）驱动点阻抗函数）驱动点阻抗函数：（2）驱动点导纳函数：）驱动点导纳函数：（入端阻抗）（入端阻抗）（入端导纳）（入端导纳）)()()(sUsIsY)()()(sIsUsZ.u双端口网络函数双端口网络函数（转移函数

18、或传递函数）（转移函数或传递函数）双口双口网络网络+-U1.I1.I2U2.+-向量形式向量形式 象函数形式象函数形式（1）电压转移函数）电压转移函数:（2）电流转移函数）电流转移函数:（3）转移阻抗函数）转移阻抗函数:（4）转移导纳函数）转移导纳函数:转移电压比转移电压比 12UU)()(12sUsU有四种形式：有四种形式：转移电流比转移电流比 12II)()(12sIsI转移阻抗转移阻抗12IU)()(12sIsU转移导纳转移导纳12UI)()(12sUsI 由于激励由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压或电流，故可以是电压或电流，故 s 域

19、网络函数可以是驱域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。转移函数或电流转移函数。下 页上 页注意 若若E(s)=1，响应响应R(s)=H(s)，即即网络函数是该响网络函数是该响应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应响应 h(t)。2.2.网络函数的应用网络函数的应用由网络函数求取任意激励的零状态响应由网络函数求取任意激励的零状态响应返 回例例下 页上 页解解画运算电路画运算电路电路激励为电路激励为)()(Stti)(tuC，求冲激响应，求冲激响应GC+ucissC+U

20、c(s)(sIsGRCsCGsCsZsUsEsRsHC1111)(1)()()()(1 11111()() L () Le()1tR CCht u tHstCCsR C1 111 11() () L() Le ()1tR CCht utHstCCsR C 返 回下 页上 页3. 应用卷积定理求电路响应应用卷积定理求电路响应)()()(sEsHsRt0t01d)()(d)()( )(*)()()(L)(thehtethtesHsEtr结论 可以通过求网络函数可以通过求网络函数H(s)与任意激励的与任意激励的象函数象函数E(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下

21、的零状态响应激励下的零状态响应 。 返 回2126 . 015)(21sKsKsssUCK1=3 , K2= -3ttceeu332例例)()(L)()(1CsEsHtrtu解解下 页上 页teth 5)(图示电路图示电路 tseu26 . 0，冲激响应，冲激响应，求，求uC(t)。线性无源线性无源电阻网络电阻网络+-usCuc+-返 回14.7 14.7 网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点1. 1. 极点和零点极点和零点)()()()()()()(21210nmpspspszszszsHsDsNsH 下 页上 页njjmiizszsH110)()(当当 s =zi 时时，H(s)=0，

22、 称称 zi 为零点，为零点， zi 为重根，为重根，称为重零点；称为重零点；当当 s =pj 时时，H(s) ， 称称 pj 为极点，为极点，pj 为重根，为重根，称为重极点；称为重极点；返 回2. 2. 复平面（或复平面（或s 平面）平面）js 在复平面上把在复平面上把 H(s) 的极点用的极点用 表示表示 ，零点用零点用 o 表示。表示。零、极点分布图零、极点分布图下 页上 页zi ， Pj 为复数为复数j oo返 回42 )(21zzsH，的零点为：23231 ) s (3 , 21jppH，的极点为：例例36416122)(232ssssssH绘出其极零点图。绘出其极零点图。解解)4

23、)(2(216122)(2sssssN)23j23)(23j23)(1( 364)(23sssssssD下 页上 页返 回下 页上 页24 -1j ooo返 回42 )(21zzsH，的零点为：23231 ) s (3 , 21jppH，的极点为：14.8 14.8 极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应零零状状态态e(t)r(t)激励激励 响应响应)()()(sEsHsR 1)( )()( sEtte时，当下 页上 页1. 1. 网络函数与冲击响应网络函数与冲击响应)(L)()( )()( 1sHthtrsHsR零零状状态态(t)h(t) 1 R(s)冲击响应冲击响应H(s) 和冲激响应构

24、成一对拉氏变换对。和冲激响应构成一对拉氏变换对。结论返 回) 1() 1()(0sssHsHH0=-10例例 已知网络函数有两个极点为已知网络函数有两个极点为s =0、s =-1，一个，一个单零点为单零点为s=1，且有，且有 ，求，求H(s) 和和 h(t)10)(limtht解解由已知的零、极点得：由已知的零、极点得：teHHsssHsHth000112)1()1(L )(L)(10)(lim tht令：下 页上 页) 1() 1(10)(ssssH返 回下 页上 页2. 2. 极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应 若网络函数为真分式且分母具有单根，则网若网络函数为真分式且分母具有单根，

25、则网络的冲激响应为：络的冲激响应为：tpniniiiieKpsK1i11L)s (L)(1Hth讨论 当当pi为负实根时，为负实根时，h(t)为衰减的指数函数，为衰减的指数函数，当当pi为正实根时，为正实根时，h(t)为增长的指数函数；为增长的指数函数； 极点位置不同，响应性质不同，极点反极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。注意返 回下 页上 页jo assH1)(不稳定电路不稳定电路 assH1)(稳定电路稳定电路返 回下 页上 页jo 当当pi为共轭复数时，为共轭复数时，h(t)为衰减或为衰减或增长的正弦函数；增长的正弦函数； 22)()(assH不稳定电路不稳定电路22)()(assH 稳定电路稳定电路返 回下 页上 页j0 当当pi为为虚根虚根时，时，h(t)为为纯正弦函数纯正弦函数，当当Pi为零