向量组的线性表示

1、现在学习的是第一页，共24页例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量现在学习的是第二页，共24页),(21nTaaaa naaaa21 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： TTTTba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,bann现在学习的是第三页，共24页注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向

2、量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.现在学习的是第四页，共24页向量向量)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量的坐标表示式坐标表示式),(21nTaaaa 现在学习的是第五页，共24页空间空间)3( n解析几何解析几何线性

3、代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合代数形象：向量空代数形象：向量空间中的平面间中的平面 dczbyaxzyxrT ),(几何形象：空间几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP),(zyxrT 一一对应一一对应现在学习的是第六页，共24页 RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnT 221121),( 叫做叫做 维向量空间维向量空间n 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象n3 n叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维

4、超平面维超平面Rnn1 n现在学习的是第七页，共24页确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20( 机身的仰角机身的仰角)22( 机翼的转角机翼的转角)( 所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量),( zyxa 维向量的实际意义维向量的实际意义n现在学习的是第八页，共24页向量相等：向量相等： = (a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn)零向量：零向量：现在学习的是第九页，共24页;)();,0;,()0; 容易验证向量的线

5、性运算满足下面的运算规律: (1) 向量加法满足 1) 交换律 2) 结合律 ( 3) 对任一向量有 4) 对任一向量有 (2) 向量的数乘运算满足 1) 1= ;()()() ;(3);2);, ,k ll kklkklklnk l 2) 向量的线性运算成立分配律 1) k()=k () =上述均为 维向量均为实数.现在学习的是第十页，共24页 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组成的集合叫做向量组例如例如维维列列向向量量个个有有矩矩阵阵mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj212222211

6、11211a1. , , 的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Aa1a2ana2ajana1a2ajan现在学习的是第十一页，共24页维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm现在学习的是第十二页，共24页 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个mnnmm,

7、 21矩矩阵阵构构成成一一个个的的向向量量组组维维行行向向量量所所组组成成个个nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA 现在学习的是第十三页，共24页b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应现在学习的是第十四页，共24页，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,: 2121 定义定义., 21个线性组合的系数个线性组合的系数称为这称为

8、这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkkk 线性组合线性组合123412341110:,1201111023231201A aaaaAaaaa 向量组向量组 的一个线性组合：例例 现在学习的是第十五页，共24页mmb2211，使使，一一组组数数如如果果存存在在和和向向量量给给定定向向量量组组mmbA ,: 2121. 2211有解有解即线性方程组即线性方程组bxxxmm 的的线线性性组组合合，这这时时称称是是向向量量组组则则向向量量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA现在学习的是第十六页，共24页 向量向量b能由向量组能由向量组A线性表示线

9、性表示.1234123411106:,1201723A aaaabaaaab 123124627xxxxxx方程组方程组 有解有解. 例例11223344bx ax ax ax a现在学习的是第十七页，共24页定义定义 . .,:,: 2121这这两两个个能能相相互互线线性性表表示示，则则称称量量组组与与向向若若向向量量组组称称线线性性表表示示，则则向向量量组组组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由若若及及设设有有两两个个向向量量组组BAABBAsm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价BA现在学习的是第十八页，共24页例例 设有两个向量组设有两个向量组A

10、 : : 及及B : :112212112212,2,2,2,2,baabaaabbabb 1210,01aa 1211,12bb 则称向量组向量组A与向量组与向量组B等价等价.现在学习的是第十九页，共24页使使在数在数存存量量线性表示，即对每个向线性表示，即对每个向能由能由（和和（若记若记,), 2 , 1().,),212121mjjjjsmkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （现在学习的是第二十页，共24页 ),21sbbb（从而从而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （ . )(数数矩矩阵阵称称为为这这一一线线性性表表示示的的系系矩矩阵阵ijsmkK 现在学习的是第二十一页，共24页矩矩阵阵：为为这这一一表表示示的的系系数数的的列列向向量量组组线线性性表表示示，矩矩阵阵的的列列向向量量组组能能由由，则则矩矩阵阵若若BACBACnssmnm snssnnsnbbbbbbbbbccc2122221112112121),)