有限元法理论及应用参考答案

1、有限元法理论及应用大作业1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？答：有限元分析的主要步骤主要有：(1)结构的离散化，即单元的划分；(2)单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程；(3)等效节点载荷计算；(4)整体分析，建立整体刚度方程；(5)引入约束，求解整体平衡方程。2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。题2图答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元有限元划分网格的基本原则：1,拓扑正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接2 .

2、几何保持原则。即网络划分后，单元的集合为原结构近似3 .特性一致原则。即材料相同，厚度相同4 .单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小5,密度可控原则。即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。(a)(b)中节点没有有效的连接，且(b)中单元边差相差很大。(c)中没有考虑对称性，单元边差很大。3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度?(c)混凝土梁结构(d)水坝模型答：(a)划分为杆单元，8个节点，12个自由度。(b)划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度。(c)平面四节点四边形单元，8个节点，13个自由度。(d)平面三角形单元，29个节点，38个自由度。4

3、、什么是等参数单元？。答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？,2,2,.2u(x,y)=%+c(2X+a3y“、u(x,y)=%x+%*丫+口3y(1).2(2).22v(x,y)=«4+CC5X+c(6yv(x,y)=«4X+u5xy+ct6y答：(1)不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的坐标方位有关，即位移函数中的坐标x,y应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。

4、(2)不能，位移函数应该包括常数项和一次项。6、设位移为线性变化，将图示各单元边上的载荷等效到相应的节点上去(1)集中力F平行于x轴，e点到i、j点的距离分别为1ie,1je；(2)边长为1ij的ij边上有线性分布载荷，最大值为q。答：(1)Fja=lielielje0Fia(2)i,j两节点受到的力分别为1jelie1je01,1,qhj，-qlij1-qljSin061.八qljcos016j-Pj1qljsin31.,-qliicoS3j17、图示三角形ijm为等边三角形单元，边长为1,单位面积材料密度位中力F垂直作用于mj边的中点，集度为q的均布载荷垂直作用于im边。写出三角形单元的节

5、点载荷向量F题7图答：将q移置到m,i节点：Pmi=一近1ql41.4”Pi一百Jql4Vql一将F移置到m,j两节点：Pm2=将重力移置到i,j,m点：Pm3=叠加后得：Pmql-Pj41-F4-12-l211.3、2一一ql一一Fl44123匚F4F，l2412Pj2=Pi3Pi8、如图所示为线性位移函数的三角形单元，若已知试证明ij边上任意一点的位移都为零。证：设ij边上任一点坐标为x,y,则其位移为:UiViNi0Nj0Nm0NiNj0NmUjVjUm=Pj341-F4qi'3、2J12i、j两个节点的位移为零,vm点位移为Ui,vi,Uj,vj均为要证6=0,只需证,CnFX

6、j-xiNr=(am+bmx+cmy)/2A,anFxyj-xjyi,bm=yi-yj.N=xiyj-Xjyi+(yi-yj)x+(xj-Xi)y/2A=xyi-yxi/2A;该点为ij边上任一点yi/xi=y/x二Nm=09、已知图示的三角形单元，其jm边和mi边边长均为a,单元厚度为t,弹性模E,泊松比为ii=0,试求:(D行函数矩阵N;(2)应变矩阵B;(3)应力矩阵S;(4)单元刚度矩阵Ko解：令m点为坐标原点,m点坐标为（0,0）,j点坐标为（0,a）,i点坐标为(a,0)aifym-xmyj，aj=xmX-为ym=0,am=xiyjxjyibi=yjym=a,bjbm=yiCicj

7、xi-xmcmXjNi1，,、-(aibxcy),i,j,m2A1N二r*i2a1ax=x,aNj1ay=-y,NaNiN=-00NiNj00NjNm0a011-x1*2(a2-ax-ay)1-(a-x-y)aNma10a-x-y001a-x-yBUbi0?iCibibj0E1-2cjSIWbH2一20：0"a0：001-a-100-10-101-1-10101一10：0一10:。一20：00101-'10-'1-10-10-1-1E2a一20：0-20-'101-20T-1一1一20:。0101一10:。-'10-'1-1t-一1Et4-20

8、-2-1-1-1-1-2题9图-2-1-1010、如图所示，设桁架杆的长度为位移函数为2点:01-1-1-2题10图1,截面积为A,材料弹性模量为E,单元的u(x)=1+02x,导出其单元刚度矩阵。x=0u=u1x=lu=u21.工2I-u1u2u1u=U1令N11-7；N2u=N1U1N2u2=N1N2U2udu-ududxdxdx1Tx一u2lE=Ee=Efefele=Le1J=S:，eKe=fVVBTDBdvD-为弹性矩阵(对于一维问题,为E)KeEAEA一AdxlEAEA11、如图为一悬臂梁，其厚度为1m,长度为2m,高度为1m,弹性模量为E,泊松比为呼1/3,在自由端面上作用有均匀载

9、荷，合力为F,若用图示两个三角形单元进行有限元分析，试计算各个节点的位移；若将悬臂梁离散为四个平面三角形单元，令仙=0,试求整体刚度矩阵。解：离散为两个单元求各节点位移，假设t很小，则该问题为平面应力问题：一、单元编号、节点坐标i12j23m44各节点的坐标为：1(0,0),2(2,0),3(2,1),4(0,1)面积A=1;、求单元刚度矩阵(i=1,j=2,m=4)(1)对单元由ai=xjym-xmyjbi=yi-ymci=xm-xj得b1=-1c1=-2b2=1c2=0b4=0c4=2ku4-37-37-34-3,k21_4k413k14卜24=Pk44k11k21.k41brbs2Jcr

10、bs32上2,1_Nbrcscrbs2crG2313一1一JTbsr,s=i,j,m21一31飞一_234k22P:_42ki4=p|333一4一一。21k24=P|230一3一-I3431123k42=.3ok44=P3004323132331002330132304-32-3-o2-34-3o=-1c4=0(1)、对单元(i=2,j=3,m=4)同理求得：b2=0c2=-2b3=1c3=2b4求得：k22=P-43.001k33=P7_34_341313工可得单元的单元刚度矩阵:下42-43-4k23=Pk34=P-1232-3-42313一一0二k24=P|23I-03110k44=P0

11、1J一302-3-4313、整理刚度矩阵3-13231023-1231213023130将两个单元刚度矩阵的子矩阵对号入座，组成整体刚度矩阵一_34I3-12K=P3043_32313023_3043231343234323_343-1四、单元等效节点力和整体等效节点载荷431332313043123_303023_1301331.单元不受分布力作用.R=0单元有分布力F/t作用，利用R=jNTqtds=1NTFtds=N0bs20Lj0Lm0T4s_0Li0Lj0LmFij边上Lm=0RLi0LjL|0Li0T0001;01.dsLj00FR=Fl0L0Lj00Tds由L，1lLids=2R

12、勺010100T将两个单元的等效节点力以对号入座的方式迭加，再加上节点1和4上的未知集中力，得整体等效节点载荷为R=XiY10-20-2X4Y4T五、求解整体平衡方程整体平衡方程:一7447-3_2321Et1600|00_4_2_212-3_270-4-204-200-4-100-20-4-2013-2-124-274-3-4413-24-3-270-2-10-2U112V14u20V2一2U3-1V30U413J-xjY0F20F_I2X4.丫4约束边界条件为：u1=v1=u4=v4=0将这四个零位移的行划去，剩下方程为:oF-2oF-2-J2233uVuV-2-12413-4-274O1

13、3-2-127O-4-23一32得整体节点位移列阵：'-F001.4948.4201.8789.00000T题11图12、利用对称性或反对称性等原理建立图示结构的有限元计算模型题12图题13图答：1.定义工作文件名和工作标题(1)定义工作文件名：执行UtilityMenu>File>ChangeJobname命令，在弹出的<ChangeJobname对话框中输入“Plate选择<Newloganderrorfiles>复选框，单击瓶按钮。(2)定义工作标题：执行UtilityMenu>File>ChangeTitle命令，在弹出的<Cha

14、ngeTitle>对话框中输入“TheAnalysisofPlateStresswithsmallcube”,单击破按钮。(3)重新显示：执行UtilityMenu>Plot>Replot命令。(4)关闭三角坐标符号：执行UtilityMenu>PlotCtrls>WindowControls>WindowOptions命令，弹出<WindowOptions>对话框。在<Locationoftriad>下拉列表框中选择“NotShown”选项，单击或按钮。2 .定义单元类型和材料属性(1) 选择单元类型：执行MainMenu>P

15、reprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete命令，弹出<ElementType>对话框。单击am.按钮，弹出如图所示的<LibraryofElementType>对话框。选择“StructuralSolid”和“Quad4node42”选项，单击偎按钮,Options-selectK3:PlaneStrain>OK>然后单击Clo,c按钮。(2)设置材料属性：执行MainMenu>Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels命令，MaterialModels

16、命令，弹出<DefineMaterialModelsBehavior>窗口。双击<MaterialModelAvailable列表框中的“StructuralLinearElasticIsotropic”选项，弹出<LinearIsotropicMaterialPropertiesforMaterialNumber1>对话框。在<EX环口<PRXY>本框中分别输入“2ell”及“0.3”。单击按钮，然后执行Material>Exit命令，完成材料属性的设置。(3)保存数据：单击ANSYSTools中的中“弗按钮。3 .创建几何模型(1)生成

17、一个矩形面：执行MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Are-As>Rectangle>ByDimensions命令，弹出<CreateRectanglebyDimensions对话框>。如图所示输入数据，单击破按钮，在OutputWindow物口中显示一个矩形。(2)和上面步骤一样，只是数据改变。(3)执行面相操作：执行MainMenu>Preprocessor>Modeling>Operate>Bool-Leans>Subtract>Areas命令，弹出一个拾取框。拾取

18、编号为A1的面，单击按钮然后拾取编号为A2的圆面，单击便按钮。生成结果如图所示。ANSYSAJ.IAS4.生成有限元网格(1)设置网格尺寸的大小：执行MainMenu>Preprocessor>Meshing>SizeCn-trls>MaualSize>Global>Size命令，弹出如图所示的<GlobalElementSi-zes>)Ct话框。在<Elementedgelength>文本框中输入“0.5”，单击服按钮。(2)采用自由网格划分单元：执行MainMenu>Preprocessor>Mesh>Areas

19、>Free命令，弹出一个拾取框。拾取编号为A3的面，单击卬按钮，生成的网格如图所示。(3)保存结果：单击工具栏中的人%比按钮。ANSYS5.施加载荷并求解(1)施加约束条件：执行MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Struct-rual>Displacement>onLines命令。弹出一个拾取框。拾取编号为L10和L9的线，单击按钮，弹出如图所示的<ApplyU,ROTon1的6$>对话框。选择"UX'选项，单击吸按钮。(2)施加载荷：执行MainMenu>Solution>

20、;DefineLoads>Apply>Structrual>Pressure>OnLines命令，弹出一个拾取框。拾取编号为L2的线，还有上下两条线。单击破按钮，弹出如图所示的ApplyPRESOn口佗$对话框。在LoadPRESvalue文本框中输入“-1000”单击按钮，生成结果如图所示。(3)求解：执行MainMenuSolutionSolveCurrentLS命令，弹出一个提示框。浏览后执行FileClose命令，单击按钮开始求解运算。当出现一个Solutionisdone对话框时，单击眦按钮，完成求解运算。(4)保存分析结果：执行UtilityMenuFile

21、Saveas命令，弹出Save2$对话框。输入“PlateRESU"，单击醵按钮。1E1EHEWTSJITL2200920:31:20ANSYS13、分析图示带方孔、对角受压的正方形薄板的变形，试建立其有限元计算模型。答：该题为对称结构受对称载荷作用，可作如下简化，即取原薄板的1/4,x轴上各点的垂直位移为0,y轴上各点的水平位移为0。集中力作用于顶部节点，但大小减半。(1)建立有限元模型；(2)用通用有限元软件进行计算。答：1.定义工作文件名和工作标题(1) 定义工作文件名：执行UtilityMenu>File>ChangeJobname命令,在弹出的<Chang

22、eJobname方寸话框中输入"Plate"。选择<Newloganderrorfiles>复选框，单击醵按钮。(2) 定义工作标题：执行UtilityMenu>File>ChangeTitle命令，在弹出的<ChangeTitle>对话框中输入"TheAnalysisofPlateStresswithsmallcube”,单击醵按钮。(3)重新显示：执行UtilityMenu>Plot>Replot命令。(4)关闭三角坐标符号：执行UtilityMenu>PlotCtrls>WindowControls

23、>WindowOptions命令，弹出<WindowOptions>对话框。在<Locationoftriad>下拉列表框中选择"NotShown”选项，单击0K按钮。2 .定义单元类型和材料属性(1) 选择单元类型：执行MainMenu>Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete命令,弹出ElementType>对话框。单击工数按钮，弹出如图所示的LibraryofElementType>对话框。选择"StructuralSolid"和"Quad4node

24、42”选项，单击0K按钮，Options>selectK3:PlaneStrain>OK>然后单击日°"按钮。(2)设置材料属性：执行MainMenu>Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels命令，MaterialModels命令，弹出DefineMaterialModelsBehavior>窗口。双击MaterialModelAvailable>列表框中的"StructuralLinearElasticIsotropic”选项，弹出LinearIsotropicMateri

25、alPropertiesforMaterialNumber1>对话框。在<EX环口<PRXY文本框中分别输入“2ell”及“0.3”。单击按钮，然后执行Material>Exit命令，完成材料属性的设置。保存数据：单击ANSYSTools中的卜研邯按钮。3 .创建几何模型(1)特征点ANSYSMainMenu:Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>InActiveCS依次输入四个点的坐标：input:1(-10,0),2(10,0),3(0,-10),4(0,10)>OKPOINTSTYPEHUHAN

26、SYSTULEZOO520±5iSl!Al01(1)生成矩形面ANSYSMainMenu:Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Arbitrary>ThroughKPS依次连接四个特征点,1(10,0),2(-10,0),3(0,-10),4(0,10)一OK(2)重复上面的步骤，只是输入的关键点的位置有所不同，再在这个大的方形中再建一个小方形。(3)执行面相操作：执行MainMenu>Preprocessor>Modeling>Operate>Bool-Leans>Subtract>A

27、reas命令，弹出一个拾取框。拾取编号为编号为A2的圆面，单击破按钮。生成结果如图所示。A1的面，单击按钮。然后拾取ANSYS4.生成有限元网格和上题是一样的。5.施加载荷并求解和上题不同是施加约束条件要建立关键点10(0,0),对其进行全方位约束。施加载荷的时候是集中载荷，执行MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structrual>Force/Moment>OnKeypoints14、图示为一带圆孔的正方形平板，在x方向作用均布压力0.25Mpa,板厚1m,具体尺寸如图，试完成:(1)建立有限元模型；(2)用通用有限元软件进行计算。解：根据对称性，取原结构的1/4划分单元，如图：单元形式为四节点四边形单元，在靠近开孔的部分单元划分应较密，在远离开孔的部分单元划分较疏。单元划分整体结构图小孔附近单元放大图采用ansys软件分析取1/4分析因为板厚1m故可以简化为平面应力问题选择材料系数选择plane82单元单元性质：2维8节点结构实体单元plane82单元说明plane82是2维4节点单元(PLANE42)的高阶版本。对于四边形和三角形混合网格，它有较高的结果精度；可以适应不规则形状而较少损失精度。本8节点单元具有一致位移形状函数，能很好地适