2.1-第三节三重积分ppt课件

1、高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系第三节第三节 三三 重重 积积 分分高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 第三节第三节 三三 重重 积积 分分 三重积分可看作二重积分在空间形式的自然推广.因而,它在定义及性质上和二重积分是完全类似的.本讲中我们首先给出三重积分的定义,然后,在此基础上给出在直角坐标系下化三重积分为三次积分的方法.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系一一. 三重积分的概念三重积分的概念 设有一物体,在直角坐标系中,占有第一象限的一个闭区域,点(x,y,z)处的密度为(x,y,

2、z).这里的(x,y,z)0且在上连续,现在要计算该物体的质量. 由于(x,y,z)在上连续,把任意分为n个小块,只要小块所占的闭区域Vi的直径很小,这小块就可以看作是均匀体,在Vi上任取一点(i,i,i),那么 (i,i,i) Vi (i=1,2,.n) 可看作第i个小块的质量之近似值,通过求求和,取极限,便得到质量 iiiniiVm),(lim10高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 这里的这里的是所有的小块直径的最大值是所有的小块直径的最大值.为了使这为了使这种和式的极限能得到广泛的应用种和式的极限能得到广泛的应用,抛开其物理意义抛开其物理意义,抽象出数

3、学形式抽象出数学形式,于是得到三重积分的一般定义于是得到三重积分的一般定义.定义定义: 设设f(x,y,z)是空间闭区域是空间闭区域上的有界函上的有界函数数,把把任意分成任意分成n个小区域个小区域 V1, V2,. Vn 其中其中Vi表示第表示第i个小区域个小区域,也表示它的体积。在每个也表示它的体积。在每个小区域小区域Vi上任取一点上任取一点(i,i,i) ,作乘积作乘积f (i,i,i) Vi( i=1,2.n)并作和并作和 iiiniiV),(1高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系如果当各小区域直径中最大值如果当各小区域直径中最大值趋向零时这和式的趋向零

4、时这和式的极限存在极限存在,则称此极限为函数则称此极限为函数f(x,y,z)在区域在区域上的上的三重积分三重积分,记作记作iiiniiVdVzyxf),(lim),(10其中其中dV叫做体积元素叫做体积元素,在直角坐标系中在直角坐标系中,体积元素体积元素dV也记也记dxdydz称为直角坐标系中的体积元素称为直角坐标系中的体积元素,从而从而三重积分也记作三重积分也记作dxdydzzyxf),(（1）高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 当函数f(x,y,z)在上连续时,(1)式右端的和式极限必定存在,也就是函数f(x,y,z)在区域上的三重积分必定存在,以后我们

5、总假设函数f(x,y,z)在上是连续的,关于二重积分的一些概念都可相应地用于三重积分. 三重积分的性质和二重积分的性质类似,这里不再反复.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系.在直角坐标系中三重积在直角坐标系中三重积分的计算方法分的计算方法 三重积分可化为三次积分来计算,其方法可分成两种,(1)先求一个定积分,然后求二重积分. (2)先求二重积分,再计算一个定积分.我们先介绍第一种方法即先求一个定积分,然后求二重积分: 且假设平行于z轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面S相交不多于两点,即为简单区域,把闭区域投影到xoy平面上,得到一平面闭区域D,以D的

6、边界为准线,作母线平行于z轴的柱面, 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系这柱面与曲面这柱面与曲面S的交线把的交线把S分成两部分分成两部分,它们的方程分它们的方程分别为别为S1:z=z1(x,y),S2:z=z2(x,y)其中其中z1(x,y)和和z2(x,y)都都是是D上的连续函数上的连续函数,且且z1(x,y) z2(x,y) 先把先把x,y看作定值看作定值,把把f(x,y,z)看成看成z的函数的函数,在区域在区域z1(x,y),z2(x,y)上对上对z积分积分.积分的结果是积分的结果是x,y的函数的函数,记记作作),(),(21),(),(yxzyxzd

7、zzyxfyxF高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系然后再计算然后再计算F(x,y)在在D上的二重积分上的二重积分 xoyxoyDyxzyxzDddzzyxfdyxF),(),(),(),(21 假如区域D又可用不等式 y1(x)yy2(x),axb 来表示,再把这个二重积分化为二次积分,就得到三重积分的计算公式),(),()()(2121),(),(yxzyxzxyxybadzzyxfdydxdVzyxf（2）(3)高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 这就是把三重积分化为先对z,第二对y,最后对x的三次积分的公式.如果平行

8、于x轴或y轴且穿过区域内部的直线与的边界曲面相交不多于两点,也可以把投影到yoz (或xoz)面上,然后在这投影面进行二重积分.这样就把三重积分化为按其他顺序的三次积分.如果三重积分的积分区域不是简单区域也可以把它象二重积分那样,把积分区域分成几个简单的积分区域,使三重积分化为各部分简单区域上的三重积分的和.这种方法称为这种方法称为“投影法投影法“或为先一后二方或为先一后二方法法高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例例1 设有一物体设有一物体=0,1;0,1;0,1(即长方体即长方体)它在点它在点p(x,y,z)处的密度为点处的密度为点p到原点距离的平方到原点

9、距离的平方,求物体的求物体的质量质量M.102221010222)()(dzzyxdydxdxdydzzyxM当积分区域是长方体的时候当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最容三重积分的积分限最容易安排易安排101032102210)33()31(dxyyyxdyyxdx1013231)32(3102xxdxx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系dzzyxgdydxdVzyxgfedcba),(),(即把一个三重积分化为三个定积分的积即把一个三重积分化为三个定积分的积.例例2 计算三重积分计算三重积分xdxdydz其中其中为三个坐标为三个坐标面及平面面及平

10、面x+2y+z=1所围成的闭区域所围成的闭区域.)()()(),(321zgygxgzyxg量如果积分函数可分离变.)()()(),(321dzzgdyygdxxgdVzyxgfedcba高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系解解:作闭区域作闭区域,如图示如图示. 把把投影到投影到xoy平面上平面上,得到区域得到区域Dxy三角形闭区域三角形闭区域oAB,直线直线OA,AB,OB的方程依次为的方程依次为y=0,x+2y=1x=0.所以所以oxyzC(0,0,1)B(0,1/2,0)A(1,0,0) 10 ,210 |,xxyyxDxy高等数学电子教案高等数学电子教

11、案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系在在D内任意取一点内任意取一点(x,y),过此点作平行于过此点作平行于z轴的直线轴的直线,该直线先通过平面该直线先通过平面z=0,再通过平面再通过平面z=1-x-2y.于是由于是由公式公式(2)得到得到2101021021010)21 (xyxxdyyxxdxxdzdydxxdxdydz上面的计算方法我们称为上面的计算方法我们称为“投影法投影法”.481432241)2(41| )1(104321032210210 xxxdxxxxyyxxdxx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 “投影法计算和后面的曲面积分的计算密切

12、相关,所以我们要研究“投影法”.这种方法的关键是把空间区域向坐标平面投影,如何求空间区域向坐标面的投影区域?由于空间作图比较困难,再利用区域的图形去观察就容易出错.例如求空间区域:0 x1, 0y1-x, 0zx+y 在xoz平面上的投影区域,其图形为如下:从观察得到.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系xDdydzzyxfdxI),(10这里的这里的Dx是用平面是用平面X=x去截去截的截面的截面Dx: 0yx, 0zxy把把x看作看作(0,1)中的常数中的常数,在在yoz平面上我们平面上我们作作Dx的图形的图形.现在我们把现在我们把Dx表示为表示为 0zx2

13、, z/xyxyzxx2z=xy0 xxzxdyzyxfdzdxI),(2010(2)要把积分次序更换成先要把积分次序更换成先x后后z再再y.可按下列方案进行可按下列方案进行,第一步第一步把把x和和y交换交换,第二步再第二步再x和和z交换交换高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 但这是错误的但这是错误的.一般说空间闭区域是由几个曲面围一般说空间闭区域是由几个曲面围成的成的,这些曲面的交线向同一坐标轴的投影这些曲面的交线向同一坐标轴的投影,这些投影这些投影曲线围成的区域就是空间闭区域向该坐标面的投影曲线围成的区域就是空间闭区域向该坐标面的投影. F(x,y,z)

14、=0,G(x,y,z)=0为曲面的交线从两个方程中为曲面的交线从两个方程中消去消去y,得到得到H(x,z)=0即是即是:0 x1, 0y1-x, 0zx+yy=0 y=0 y=1-xy=1-x z=x+y z=x+y高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系从上面的例子我们可以看到从上面的例子我们可以看到,利用利用“投影法来计投影法来计算算三重积分需要作图三重积分需要作图,对于简单的图形还比较方便对于简单的图形还比较方便,但但复杂一些的问题容易出错复杂一些的问题容易出错.下面我们介绍的下面我们介绍的“截面截面法法”是比较简单的方法是比较简单的方法,有时可以不作空间图

15、形有时可以不作空间图形.2.先求二重积分先求二重积分,再求定积分再求定积分.称为称为“截面法截面法” 若积分区域若积分区域在在z轴上的投影区域为轴上的投影区域为C1,C2对于这区域内任意一点对于这区域内任意一点z,过过z作平面平行于作平面平行于xoy面面,该该平面与区域平面与区域相交为一平面区域记作相交为一平面区域记作D(z),高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系),( ,| ),(21Dyxczczyx这时三重积分可化为先对区域这时三重积分可化为先对区域D(z)求二重积分求二重积分,再对再对z在在C1,C2上求定积分上求定积分)(),(),(21zDccdx

16、dyzyxfdzdVzyxf如果区域如果区域D(z)可用不等式可用不等式y1(z)yy2(z),x1(y,z)xx2(y,z)表示表示,那么三重积分那么三重积分又可以化为如下的三次积分又可以化为如下的三次积分),(),()()(212121),(),(zyxzyxzyzyccdxzyxfdydzdVzyxf于是积分区域可表示为于是积分区域可表示为:(4)高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例例3 计算三重积分计算三重积分1:,222222czbyaxzdxdydzxyzD(z)abc分析分析: 区域区域在在z轴上的投影区域是轴上的投影区域是-c,c,对于区间内

17、对于区间内的一点的一点z,相应地有一平面区域相应地有一平面区域D(z)1)1()1(122222222222222czbyczaxczbyax这是一椭圆这是一椭圆,其面积为其面积为)1 (22czab高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系0)1 (22)(zdzczabdxdyzdzzdxdydzcczDcc被积函数是奇函数被积函数是奇函数,而积分区域是对称的而积分区域是对称的.为为0.2.关于关于“截面法截面法”. 我们在二重积分计算曲顶柱体体积时主要采用我们在二重积分计算曲顶柱体体积时主要采用的投影法的投影法,投影法需要作图投影法需要作图.一般大家习惯这种方

18、法一般大家习惯这种方法,其实利用截面法基本上可不用作图其实利用截面法基本上可不用作图.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 通常我们用平行于通常我们用平行于xoy的平面去截的平面去截,先求先求出出z的最大值和最小值为积分区域的最大值和最小值为积分区域c,d再在这再在这积分区域内固定一个积分区域内固定一个z(把把z看成常数看成常数)这些方程这些方程就成为就成为x,y的方程的方程,在在xoy平面内平面内,这些方程表示的这些方程表示的曲线即是我们所求的截面曲线即是我们所求的截面.xyzD(z)abc高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理

19、系例例4 设设由曲面由曲面 x2=z2+y2, x=2, x=4 所围成所围成计算计算Ddxdydzx )1 (4解解:考虑被积函数和考虑被积函数和y,z无关无关,先对先对y,z积分时把积分时把x看成常数看成常数.积分区域积分区域 就变成圆就变成圆 (y2+z2=a2x2) dydz为圆面积为圆面积.dydzxdxdxdydzxxzyD)1 ()1 (22244244273422473)1 (xxdxxx21202340)724324(7733高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例例5 把三重积分把三重积分dVzyxf),(解解:这个三重积分按它的形式很难确定

20、上下限这个三重积分按它的形式很难确定上下限,但如果但如果先对先对z积分积分,化为二次积分就比较简便然后再交换顺序化为二次积分就比较简便然后再交换顺序,这样我们就不必画立体图这样我们就不必画立体图. z1=1-x-y, z2=1dxdydzzyxfI),(化为先对化为先对y,再对再对x,最后最后对对z的三次积分的三次积分.其中其中 是由是由x+y+z=1,x+y=1,x=0,y=0和和z=1所围成的闭区域所围成的闭区域f(x,y,z)在在上连续上连续高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系由此可见由此可见,一个三重积分可化为二重积分及一个定积分一个三重积分可化为二重

21、积分及一个定积分来计算时来计算时,可有三种类型可有三种类型,而每一种二重积分又可化为两而每一种二重积分又可化为两种不同次序的二次积分所以一个三重积分可化为三次积种不同次序的二次积分所以一个三重积分可化为三次积分进行计算时分进行计算时,可有可有6种不同的积分次序种不同的积分次序.因此当一种三次因此当一种三次积分导致计算烦琐或困难时积分导致计算烦琐或困难时,就应该考虑换另一种积分次就应该考虑换另一种积分次序的三次积分来计算序的三次积分来计算.下面我们举例说明下面我们举例说明:高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系.例如改变三次积分的积分次序例如改变三次积分的积分次序

22、xyxdzzyxfdydx0010),(1)先先y后后z再再x.(2)先先x后后z再再y分析分析:(1)只需要交换只需要交换y和和z的积分次序的积分次序, 因而采用因而采用“先二后一法先二后一法高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系xDdydzzyxfdxI),(10这里的这里的Dx是用平面是用平面X=x去截去截的截面的截面Dx: 0yx, 0zxy把把x看作看作(0,1)中的常数中的常数,在在yoz平面上我们作平面上我们作Dx的图形的图形.如今如今我们把我们把Dx表示为表示为 0zx2, z/xyxyzxx2z=xy0高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技

23、学院数理系武汉科技学院数理系xxzxdyzyxfdzdxI),(2010(2)要把积分次序更换成先要把积分次序更换成先x后后z再再y.可按可按下列方案进行下列方案进行,第一步把第一步把x和和y交换交换,第二第二步再步再x和和z交换交换高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(2)要把积分次序更换成先要把积分次序更换成先x后后z再再y.可按下列方可按下列方案进行案进行,第一步把第一步把x和和y交换交换,第二步再第二步再x和和z交换交换.),(0 xyDdzzyxfdxdyIxyy1xx=y101, 100 , 10:xyyxyxDxy高等数学电子教案高等数学电子教案

24、 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系xyydzzyxfdxdyI0110),(xyxdzzyxfdydx0010),(利用利用“先二后一先二后一法法yDdxdzzyxfdyI),(10(x采用采用xy对换的结果对换的结果)1, 10 xyy高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 把把y看作看作(0,1)中的常数中的常数,可在坐标面可在坐标面xoz上描出上描出Dy的草图的草图xzz=xy1yy2yDy表示成这样的区域表示成这样的区域,需要分成两块需要分成两块1,0:21xyyzD),(),(1101022yzyyyydxzyxfdzdxzyxfdzdyI1,:2

25、2xyzyzyD高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系注意注意:(1)化三重积分为三次积分化三重积分为三次积分,不要一步到位不要一步到位,而应该采用而应该采用“先一后二先一后二“或先二后一或先二后一“作为过渡作为过渡,这样不仅层次清楚这样不仅层次清楚,而且把非常困难的三次积分而且把非常困难的三次积分更换次序转化为二次积分的唤序更换次序转化为二次积分的唤序,使问题的难度使问题的难度降低降低(2)如果三次积分更换次序正确的话如果三次积分更换次序正确的话,令令f(x,y,z)=1,则两种次序的三次积分应该表示同一立体的体积则两种次序的三次积分应该表示同一立体的体积.这

26、是一种很简便的检验方法这是一种很简便的检验方法.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系8121030100010dxxxydydxdzdydxxxyx这样我们可以知道更换的结果是正确的这样我们可以知道更换的结果是正确的 三重积分和二重积分一样三重积分和二重积分一样,其计算的烦简其计算的烦简,往往与使往往与使用的坐标系有关用的坐标系有关.在三重积分的计算中所用的坐标在三重积分的计算中所用的坐标,除除了直角坐标有柱面坐标和球面坐标了直角坐标有柱面坐标和球面坐标22010010)(xxxzxdzxzxdxdydzdx812)2(2101010333022dxxdxxx

27、dxxzxzx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分，面上的投影为在设点PxoyM.,zPMyAPxOA 则则，轴上的投影为在点AxP高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为为为常常数数r圆柱面；圆柱面；为为常常数数 为为常常数数z半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为 .,sin,coszzryrx 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技

28、学院数理系 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系中如图，柱面坐标系中的体积元素为的体积元素为,dzrdrddv 例例1 设有一个质量均匀分别的截头直圆柱体设有一个质量均匀分别的截头直圆柱体,其下底面其下底面在在xoy平面上平面上,上顶面在平面上顶面在平面x+y+z=3上上,侧面为圆柱面侧面为圆柱面x2+y2=1.求其质量求其质量m .解解: 设密度函数设密度函数(x,y,z)=,由由于积分区域为截头圆柱体于积分区域为截头圆柱体,我们我们采用柱面坐标来计算采用柱面坐标来计算,在在xoy平面的投影为圆平面的投影为圆x2+

29、y21x+y+z=3x2+y2=1333zxy3)sin(cos3123)sin(cos3).sin(cos3)(32010220)sin(cos301020ddrrrddzrdrddzrdrddVMryxzr例例2 计算计算dVyx)(22Dz = rz=hxyz解：把解：把x2+y2=z2和平面和平面hzrz ,sin,cosryrx（先一后二（先一后二,投影法）投影法）z=h变为柱面坐得到变为柱面坐得到其中其中是由圆锥面是由圆锥面x2+y2=z2和平面和平面z=h所围成的空间区域所围成的空间区域.hrDdzrrdrddVyx222)(drrhrdzrdhhrh)(203032010)54

30、(2555hhh高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为Pxyzo),(zyxMr zyxA，面上的投影为在设点PxoyM.,zPMyAPxOA 则则，轴上的投影为在点AxP高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系规定：规定：,r 0,0 .20 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为为为常常数数r球球 面；面；为为常常数数 圆锥面；圆锥面；为为常常数数 半平面半平面高等数学

31、电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，例例3计算三重积分计算三重积分dVx2rxzycossinsincossinrzryrxdV=r2sindrdd其中其中是球形闭区域是球形闭区域:x2+y2+z22z.cos22222rzzyxdrrdddVx23cos2040202cossin22053202cossin532cosddcoscos)cos1(22