电磁场课件7-电能量和力、电流密度

1、镜像法：镜像法：t2t1EEn2n1DD根据惟一性定理可得电位边值问题，即边界条件：根据惟一性定理可得电位边值问题，即边界条件：cos4 cos4cos4222121rqrqrqqq2121qq2122 和和解得解得sin4 sin4sin4222rqrqrq实际圆柱导线的实际圆柱导线的等效线电荷等效线电荷位置为：位置为：222abh222222)12()11(KbKybKKx两理想细导线产生的等位线方程：两理想细导线产生的等位线方程：理想细导线的等位线理想细导线的等位线22bha实际圆柱导体传输线实际圆柱导体传输线电轴法：电轴法：必能找到与实际圆柱导体表面重合的圆。必能找到与实际圆柱导体表面

2、重合的圆。1.9 1.9 静电能量与力静电能量与力 电场对静止电荷有力的作用，对运动电荷要做功。电场对静止电荷有力的作用，对运动电荷要做功。说明说明: :电场中存储着能量。静电场中的储能称为静电能量。电场中存储着能量。静电场中的储能称为静电能量。静电能量是在电场的静电能量是在电场的建立过程建立过程中，由中，由外力作功转化外力作功转化而来的。而来的。1) 1) 任意分布电荷系统的静电能量任意分布电荷系统的静电能量对于线性介质的电荷系统，使电荷达到最后对于线性介质的电荷系统，使电荷达到最后的分布需要做的功是一定的，而与实现这一的分布需要做的功是一定的，而与实现这一分布过程无关。分布过程无关。 1.

3、9.1 1.9.1 静电能量静电能量 选择一种充电方式，使任何瞬间带电体的电荷密度按比例增长，比选择一种充电方式，使任何瞬间带电体的电荷密度按比例增长，比例值为例值为 m，0m1，带电体的电荷与电位的最终值分别为，带电体的电荷与电位的最终值分别为 q、 。dm 外力做功外力做功转化为转化为静电能量静电能量储存在储存在电场电场中。中。12VdV连续体电荷系统的静电能量：连续体电荷系统的静电能量：dqd dVmdVdqmmdV SdS21eW设设 t 时刻，场中时刻，场中 P 点的电位点的电位为为 若将若将电荷增量电荷增量 从无穷远处移至该点，从无穷远处移至该点，),(zyxdqdqzyxdA),

4、(外力作功外力作功t t 时刻电荷增量为时刻电荷增量为n1KKKeq21W即即( , , )( , , )x y zmx y zt 时刻时刻P点的电位为点的电位为n1KKKq21n1KSkKKdS21221122eQWCUC电容器储能：电容器储能：2 2） 离散带电导体的静电能量离散带电导体的静电能量eWAQCUedW10Vm mdV 式中式中 是元电荷所在处的电位，积分对源是元电荷所在处的电位，积分对源 q 进行。进行。)(21)(21)()(2121W221122111222111qqqqqqqnKKK22111q2q自有能是将许多元电荷自有能是将许多元电荷 dq“压紧压紧”构成构成 q

5、所需作的功所需作的功;互有能是由于多个带电体之间的互有能是由于多个带电体之间的相互作用相互作用引起的能量。引起的能量。互自WWWe 自有能自有能与与互有能互有能的概念的概念 是所有导体（含是所有导体（含K号导体）表面上的电荷在号导体）表面上的电荷在K号导体产生的电位。号导体产生的电位。KSnKKKqWdqW1ee21 21注意：电位分注意：电位分自有电位自有电位和和互有电位互有电位自有能自有能互有能互有能2. 2. 用场量表示静电能量用场量表示静电能量DDD)()（矢量恒等式矢量恒等式1( )d d 2eVVWVVDDVSVd21d21EDSD1d2eVWVD E能量密度能量密度1 2ew D

6、 E因因 当当 r 时，时， 第一项积分为零，故第一项积分为零，故,1 3rD,2rs 静电能量静电能量VVd21D1d2eVWV：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。结论结论221122DED=21d2VEV例例:试求真空中体电荷密度为试求真空中体电荷密度为 ，半径为，半径为 a 的导体球产生的静电能量。的导体球产生的静电能量。dVE21EdVD21WV20Ve)drr4r9adrr49r(212a420622a020220arr3aar3r2030Ear)3ra(2arr3a22003drr43ra221dV21W2a022V02e)(520154

7、a520a154)(122rrrr0ar ar 021rr21ar 0r0r有限有限，应用应用高斯定理高斯定理求电场，得求电场，得 由由边值问题边值问题求电位函数求电位函数解法一解法一 由由场量场量求静电能量求静电能量解法二解法二 由由场源场源求静电能量求静电能量1.9.3 1.9.3 静电力静电力2.2.虚位移法虚位移法 ( Virtual Displacement Method )( Virtual Displacement Method )虚位移法是基于虚位移法是基于虚功原理虚功原理计算静电力的方法。计算静电力的方法。 广义坐标广义坐标 g g ：距离、面积、体积、角度。：距离、面积、体

8、积、角度。广义力广义力 f ：企图改变某一个广义坐标的力。：企图改变某一个广义坐标的力。 二者关系：二者关系：广义力广义力 广义坐标的改变量广义坐标的改变量 = = 功功1. 由电场强度由电场强度 E 的定义求静电力的定义求静电力，即，即EfqdqdEf dqEfdWfdgdWfdg 虚位移虚位移 dg：虚设的广义坐标的该变量（变化趋势量）。：虚设的广义坐标的该变量（变化趋势量）。算力：算力：虚功：虚功：（1）常电荷系统（）常电荷系统（ dqk=0 ）gfWdd0eeddf gW 表明：取消外源后，电场力作功必须靠表明：取消外源后，电场力作功必须靠减少电场中静电能量来实现。减少电场中静电能量来

9、实现。.constekqgWf在多导体系统中，导体在多导体系统中，导体 p 发生位移发生位移 dg 后后, ,其功能关系为：其功能关系为：外源提供能量外源提供能量 = = 静电能量增量静电能量增量 + 电场力所作功电场力所作功gfWWddde即即多导体系统多导体系统 ( K 断开断开 )静电能量的增量静电能量的增量112nekkKdWdq注意：分情况考虑注意：分情况考虑0kdq 0dW 广义力：广义力：kkqWddgfqqkkkkdd21d外源提供能量的增量外源提供能量的增量 表明：外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另表明：外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。一

10、半用于电场力做功。（2） 常电位系统（常电位系统（ dk=0 ）constekgWf多导体系统多导体系统( K 闭合闭合 )1dd2ekkWq静电能量的增量静电能量的增量: :以上两种情况所得结果应该是相同的，因为实际带电体系统以上两种情况所得结果应该是相同的，因为实际带电体系统并没有发生位移，电场分布没有变化，而是同一种状态不同并没有发生位移，电场分布没有变化，而是同一种状态不同虚设情况下的虚功、虚位移和广义力。虚设情况下的虚功、虚位移和广义力。广义力：广义力： 上述两个公式所得结果是相等的上述两个公式所得结果是相等的consteconstqekkgWgWf试求图示平行板电容器两极板之间的作

11、用力。试求图示平行板电容器两极板之间的作用力。解法一：若为常电位系统解法一：若为常电位系统221CUWeconstekgWf2202022USUCdd解法二：若为常电荷系统解法二：若为常电荷系统CqWe221constqekgWfC2qg20dS2U202可见，两种方法计算结果相同，可见，两种方法计算结果相同，电场力有使电场力有使d 减小的趋势减小的趋势，即电容增大，即电容增大的趋势。的趋势。dsC0 两个公式所求得的两个公式所求得的广义力是代数量广义力是代数量 ，还需根据，还需根据“”号判断其方向。号判断其方向。dsC0平行板电容器平行板电容器3. 法拉第观点法拉第观点法拉第对静电力的看法法

12、拉第对静电力的看法法拉第认为，将法拉第认为，将电通量线电通量线看作看作电通量密度管电通量密度管，沿其轴向受到，沿其轴向受到纵张力纵张力，垂直于轴向方向受到垂直于轴向方向受到侧压力侧压力，类似，类似橡皮筋橡皮筋。1) 可定性分析、判断带电体的受力情况。可定性分析、判断带电体的受力情况。221122DE力的大小力的大小图图1.9.7a 电位移管受力情况电位移管受力情况图图1.9.7 b 物体受力情况物体受力情况12efwD E注意作用力与反作用力关系注意作用力与反作用力关系力密度力密度 = 能量密度能量密度)11(221221Dfffa)(212234Efffb2) 对某些特殊情况可进行定量计算。

13、对某些特殊情况可进行定量计算。例例 试求图示试求图示 (a)、(b)平行板电容器中，两种介质分界面上每单位面积平行板电容器中，两种介质分界面上每单位面积所受到的力。所受到的力。图图1.9.9 平行板电容器平行板电容器媒质分界面受力的方向总是由媒质分界面受力的方向总是由 值较大的媒质指向值较大的媒质指向 值较小的媒质。值较小的媒质。分界面轴向拉力：分界面轴向拉力：分界面侧向压力：分界面侧向压力：一般情况，两种介质分界面上，作用单位面积上的电场力：一般情况，两种介质分界面上，作用单位面积上的电场力：222111 211 2()2ntfDE 静态场的应用静电分离静电分离Steady Field Ap

14、plications静电喷涂静电喷涂 基本实验定律（库仑定律）基本实验定律（库仑定律）基本物理量（电场强度）基本物理量（电场强度）EE 的旋度的旋度E 的散度的散度基本方程基本方程微分方程微分方程边值问题边值问题唯一性定理唯一性定理分界面衔接条件分界面衔接条件电位（电位（ ）边界条件边界条件数值法数值法有限差分法有限差分法解析法解析法直接积分法直接积分法分离变量法分离变量法镜像法，电轴法镜像法，电轴法静电参数静电参数(电容及部分电容电容及部分电容)静电能量与力静电能量与力图图1.0 静电场知识结构图静电场知识结构图作作 业：业： 1-9-3 1-9-5电场能量和力：电场能量和力：第二章 恒定电

15、场(恒定电流场)Steady Electric Field导电媒质中的电流导电媒质中的电流基本方程基本方程 分界面衔接条件分界面衔接条件 边值问题边值问题导电媒质中恒定电场与静电场的比拟导电媒质中恒定电场与静电场的比拟电导和接地电阻电导和接地电阻电源电动势与局外场强电源电动势与局外场强2.1.1 电流电流 (Current)定义定义电流强度电流强度：单位时间内通过某一横截面的电量。：单位时间内通过某一横截面的电量。2.1 导电媒质中的电流导电媒质中的电流三种电流：三种电流：tqIdd传导电流传导电流电荷在电荷在导电媒质导电媒质中的定向运动。中的定向运动。位移电流位移电流随时间随时间变化的变化的

16、电场电场产生的产生的假想电流假想电流。运流电流运流电流带电粒子在带电粒子在真空真空中的中的定向定向运动。运动。ISI在在外电场外电场的作用下，的作用下，自由电荷自由电荷的的定向运动定向运动形成形成电流电流。 1. . 电流面密度电流面密度 JSISJ d流过任意面积流过任意面积的电流的电流体电荷体电荷 以速度以速度 v 作匀速运动形成电流密度矢量作匀速运动形成电流密度矢量 J 。vJ2mA电流面密度电流面密度2.1.2 电流密度电流密度（Current Density)电流面密度矢量电流面密度矢量电流的计算电流的计算dIdSJ =n 电流按分布情况分为：体电流、面电流和线电流。电流按分布情况分

17、为：体电流、面电流和线电流。Ne Jv2. . 电流线密度电流线密度 KmA vKlIld )(neK电流电流en 是垂直于是垂直于 dl，且通过，且通过 dl 与曲面相切的单位矢量。与曲面相切的单位矢量。面电荷面电荷 在曲面上以速度在曲面上以速度 v 运动形成的电流。运动形成的电流。电流线密度及其通量电流线密度及其通量电流线密度电流线密度电流密度矢量在各处都不随时电流密度矢量在各处都不随时间变化的电流称为间变化的电流称为恒定电流恒定电流。3. 元电流的概念元电流的概念元电荷元电荷 dq 以速度以速度 v 运动形成的电流运动形成的电流 v dq 。qdl lK Jd(dd(dd)( dISSV

18、V线电流元）面电流元）体电流元 工程上电流问题工程上电流问题媒质磁化后的表面媒质磁化后的表面磁化电流磁化电流；同轴电缆的外导体视为同轴电缆的外导体视为电流线密度分布电流线密度分布；高频时，因高频时，因集肤效应集肤效应，电流趋于导体表面分布，电流趋于导体表面分布，形成形成涡旋电流，即涡流涡旋电流，即涡流。图图2.1.4 媒质的磁化电流媒质的磁化电流2.1.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 说明：说明：J 与与 E 共存，特性一致共存，特性一致。 恒定电场与静电场可以类比分析。恒定电场与静电场可以类比分析。推导欧姆定律微分形式推导欧姆定律微分形式 ？在线性媒质中在线性媒质中 欧姆定律欧姆定

19、律 积分形式积分形式RIU J 与与 E 之关系之关系dIdJSdlRdSdUdEldldddSJS = EldURdIJ =E欧姆定律微分形式欧姆定律微分形式导体电阻计算式导体电阻计算式llRSS为电导率为电导率2.1.4 焦尔定律的微分形式焦尔定律的微分形式 导体有电流时，运动电子与原子晶格碰撞，产生热量。导体有电流时，运动电子与原子晶格碰撞，产生热量。电源提供能量转化为热能，即电场做功转化为热功。电源提供能量转化为热能，即电场做功转化为热功。/dPdA dtpdVdV= J E焦耳定律微分形式焦耳定律微分形式电场力对一个电子做功电场力对一个电子做功edAdedt flE vedANdVd

20、ANedVdt E v对对 NdV 个电子做功个电子做功单位体积内的单位体积内的功率体密度功率体密度为为其中，电流密度其中，电流密度Ne JvdAdVdt J E电场力做功为电场力做功为dAdPdVdt= J E电场力的功率为电场力的功率为2PUII R焦耳定律积分形式焦耳定律积分形式2.2.1 电源和电动势电源和电动势2.2 电源电动势与局外场强电源电动势与局外场强qfEee局外场强局外场强ef局外力局外力(非静电力非静电力)2.2.2 局外场局外场恒定恒定(直流直流)电流的形成电流的形成电源将化学能、机械能等转换为电能，电源将化学能、机械能等转换为电能，它把内部媒质的正负电荷分开，产生它把

21、内部媒质的正负电荷分开，产生电电动势动势；在外部导体之间形成电压，维持；在外部导体之间形成电压，维持一个一个恒定电场恒定电场，从而产生，从而产生恒定电流恒定电流。电源将正负电荷分开的力称为电源将正负电荷分开的力称为局外力局外力，对，对应的电场强度称为应的电场强度称为局外场强局外场强。lEdlee电源电动势电源电动势另外，在电源正负电极上，累积电荷形成另外，在电源正负电极上，累积电荷形成库伦场强库伦场强 Ec 。对含源闭合环路合场强积分得对含源闭合环路合场强积分得lEEd)(lec电源导体系统的合电场是非保守场。电源导体系统的合电场是非保守场。合场强合场强ecEEE dlElee 0 ddell

22、cElEl电源外，导体中库伦场电源外，导体中库伦场 Ei = Ec ，积分，积分d 0clEl电源电动势与局外场强电源电动势与局外场强在电源内部，存在在电源内部，存在库伦场强库伦场强和和局外场强局外场强。导体中的库伦场导体中的库伦场 Ec 是保守场是保守场 (积分与路径无关积分与路径无关)。)(ecEEJ含源回路电流含源回路电流恒定电流场的特性恒定电流场的特性2.3.1 电流连续性方程电流连续性方程2.3 恒定电场基本方程恒定电场基本方程 分界条件分界条件 边值问题边值问题恒定电流场中恒定电流场中0qt 结论：恒定电结论：恒定电( (流流) )场是无源场，场是无源场，J是无头无尾的闭合曲线。是

23、无头无尾的闭合曲线。故故0 JdSqIt JS电荷守恒原理电荷守恒原理1. . J 的散度（面积分）的散度（面积分）亦称亦称电流连续性方程电流连续性方程0 dSJS散度定理散度定理0dVJV微分形式微分形式t J电流定义：电流定义：SdqIddtJS单截面单截面闭合面：闭合面： 总结论：总结论： 导电媒质中导电媒质中恒定电场是无源无旋场恒定电场是无源无旋场。2. . E 的旋度（线积分）的旋度（线积分）所取积分路线不所取积分路线不经过电源，则经过电源，则 3. . 恒定电场（除电源外）特性方程恒定电场（除电源外）特性方程0d SSJ0d llEEJ0 J0E 结论：恒定电结论：恒定电( (流流

24、) )场是无旋场，即为保守场场是无旋场，即为保守场。0cE积分形式积分形式微分形式微分形式构成方程构成方程d 0clEl斯托克斯定理斯托克斯定理lEEd)(lec dlElee 0 所取积分路线经所取积分路线经过电源，过电源，2.3.2 分界面的衔接条件分界面的衔接条件（Boundary Conditions)说明：分界面上说明：分界面上 E 切向切向分量连续，分量连续，电流密度电流密度 J 法向法向分量连续分量连续。 折射定律折射定律2121tantan 电流线的折射电流线的折射0d llE 0dSSJ由由得得2t1tEE2n1nJJ1122sinsinEE111222coscosEE电流由良导体进入不良导体内，电流电流由良导体进入不良导体内，电流 J 线与良导体表面近似垂直。线与良导体表面近似垂直。2n220 nJE例：例：考虑直流输电线与空气衔接条件。考虑直流输电线与空气衔接条件。 0022J，解解: : 在空气在空气( (理想介质理想介质) )空气中空气中2n21nn2EDD0 1n2n JJ故导体与理想介质分