理)二轮复习精品同步：第1部分重点保分题：教师用书：题型专题(12)三角恒等变换与解三角形(通用版)

1、题型专题（十二）三角恒等变换与解三角形高兰常兰这些点*硏透常考题型，兰题干娈难离左右三闻恒等变换及求值师说考点1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) sin(a3=sinacos3士cosasin3.(2) cos(a3=cosacos3?sinasin3.tanatan3(3) tan(a3)=.1 ?tanatan32. 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin2a=2sinacosa.2222(2) cos2a=cosasina=2cosa1=12sina.(3)tan2a2tana1tana典例（1）（2019全国乙卷）已知0是第四象限角，且n3nsin(0+匚)=5，贝Vta

2、n匸=7t解析由题意知sin7134=5,0是第四象限角,fn、tan0=tan42sin7tcosI nIcos0+77二sin0+44 54=_X_=_5 33.4答案4(2)(2019河南六市联考)已知cosa-6+sina=5，贝Vsina+6的值是解析由cosna6sina=牛3，可得呼521cosa+尹na+sin罕即fsina52+fcosa=攀,.3sina+-6=453，sin7t7nr一sin45.答案-4类题通法三角恒等变换的“4大策略”(1) 常值代换：特别是“啲代换，1=sinV3sina,cina=(-)cosa,.tana=1,cos2a=cosasina2 2c

3、osa0+cos20=tan45等；22222(2) 项的分拆与角的配凑：如sina+2cosa=(sina+cosa)+cosa,等;(3) 降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次;(4) 弦、切互化：一般是切化弦.演练冲关1.(2019贵阳模拟)已知an,sin5a1313则tana+亍=()717A.石巧7C石D.177解析：选C因为,所以cosa13,所以tana_512,所以tana+4ntana+tan72.(2019东北四市联考)已知sinn-a=cos6+a，则cos2a=()+112=Z_5_=仃.1 tanatan-1+12B.-1C.1D.0解析:选D/Sin

4、nna=cos6+a,2cosa头ina=cos1agSina，即1_3.2-2si22“丄2cosasina1tana222sina+cosatana+1考点:正（余）弦定理师说考点1.正弦定理及其变形在厶ABC中，亠=-7=；=2R（R为仏ABC的外接圆半径）.sinAsinBsinC变形：aa=2RsinA,sinA=2R,a：b：c=sinA：sinB：sinC等.2.余弦定理及其变形在厶ABC中，a2=b2+c22bccosA.变形：b2+c2a2=2bccosA,cosA=b+a2bc3.三角形面积公式111Ssbc=qabsinC=bcsinA=qacsinB.典例（1）（201

5、9全国甲卷）ABC的内角4A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=55cosC=13,a=1,贝Ub=解析因为A,CABC的内角，且4 5cosA=：,cosC=5 13所以sinA=3,sinC=驚,5133 541263所以sinB=sin(nAC)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=x2+兰x=一51351365又a=1，所以由正弦定理得b=asnAB=畀3=73.sinA6531321答案13(2)(2019全国乙卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c. 求C; 若c=.7,ABC的面积为，求ABC的周长

6、.解由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,即2cosCsin(A+B)=sinC,故2sinCcosC=sinC.4一n可得cosC=-，所以C=3.2 3由已知得qabsinC=彳.n_又C=，所以ab=6.3由已知及余弦定理得a?+b?2abcosC=7,故a2+b2=-3,从而(a+b)2=25.所以ABC的周长为5+.7.类题通法正、余弦定理的适用条件“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.注意应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构若b

7、.3cosBsinA演练冲关(20-9郑州模拟)在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则cosB=（）b.2c.-2D.于解析：选由正弦定理知B=snA=-，即tanB=(2019河北三市联考)在厶ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且asinB=-bsinA+3-(1) 求A;732(2) 若厶ABC的面积S=c，求sinC的值.，所以B=亍，所以cosB=n-cosy=2,故选B.2 .（2019福建质检）在厶ABC中，B=专,AB=2,D为AB中点，BCD的面积为乎：则AC等于（）A.2B.7C.10D.,191 1n3/3解析：选B因为Sabcd=尹DBCsi

8、nB=寸1xBCsin=-J3,所以BC=3由余弦定理得AC2=4+9-2X2X3cosn所以AC=.7,故选B.解:(1)/asinB=bsin由正弦定理得tanA=即sinA=如nAcosA,化简得/A(0,5n.1(2)/人=百，sinA=2，由S=jc2=*bcsinA=pc,得b=_3c,a2=b2+c22bccosA=7c2，贝Ua=7c,由正弦定理得sinC=csinA=a14考点三正*余弦定理的实际应用师说考点解三角形实际问题的常考类型及解题思路(1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2) 实际问题经抽象概括后，已知量与

9、未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.典例(2019河南六市联考)如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A,C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.ABC(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值;求P到海防警戒线AC的距离.解依题意，有FA=PC=x，PB=x1.5X8=x12.在厶PAB中

10、,AB=20,cos/FAB=PA2+AB2PB22PAABx2+202(x12)22x203x+325x同理，在PAC中，AC=50,PA2+AC2PC2x2+502x225cos/PAC=2PAAC2x50/cos/PAB=cos/FAC,.3x+32_255xx解得x=31.作FD丄AC于点D，在ADP中,25由cos/PAD=31得sin/PAD=1cos2/PAD=4,2131，.PD=FAsin/PAD=31X-21=421.317故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4.21千米.类题通法解三角形中实际问题的4个步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关

11、名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2) 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3) 将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4) 检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.演练冲关1.(2019武昌区调研)据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为()A.9hB.10hC.11hD.12h解析：选B记码头为点O,热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴到达B点位置，在厶OAB中

12、，OA=400,AB=20t,/OAB=45,根据余弦定理得4002+400t22X20tX400X3002，即t220,2t+175W0,解得10,25Wt0)，且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为n,求f(A)的取值范围.解：因为a2+b2=6abcosC,由余弦定理知a2+b2=c2+2abcosC,2所以cosC=，又sin2C=2sinAsinB，则由正弦定理得c2=2ab,4ab所以cosC=4ab2ab_14ab=2n又因为C(0,n)，所以C_.3(2)f(x)_3x_sin2 n由已知可得_n，所以3_2,3ZTsin(巳1I则f(A)_,因为C_n，所以B_A，因为0A夕

13、，0B严，所以夕An,3 32262n2n所以02A丁二-，所以f(A)的取值范围是(0,3.3 3高考题型全能:塩、选择题41.（2019武昌区调研）已知cos（na）=5，且a为第三象限角，则tan2a的值等于（）3A.432424B.4&丐D.74 33解析:选C因为cosa=，且a为第三象限角，所以sina=j,tana=,tan2a=5 5432tana1tan2a七=24,故选c.11962.（2019全国甲卷）若cos3，贝Usin2a=()57A.2751B.117C.5D.25解析：选D因为a=5,n所以sin2a=cos2ainyrcos?U-a=2cos24a1=2x25

14、1=25.3.（2019河北模拟）已知00,n，且sin.浙4mtt2cos201込0cos0=，贝U等,4cosU+0厂等于（）2A.34B.4-33c4D.2解析:D由sin0cosfnV?(nIsin70=1,00，G,40-00，422cos01cos20sin20cos亍+0sinJ0sin70sin寸-02cosnn-32.2224. （2019重庆模拟）在厶ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+bcab=.3,则厶ABC的面积为（）.3333代B.3。亍D.3a2+b2一c2111解析：选B依题意得cosC=20厂=2C=60，因此ABC的面积等于2absinC=

15、2x；3xf=3，选B.,a=2,Saabc=2，贝Ub的值为（）5. （2019山西太原模拟）在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=竽A.3B.3C.22D.23解析:选A在锐角ABC中，sinA=晋,Sbc=2,cosA=1sin2A=1,gbcsinA=bc-2=,2,bc=3，由余弦定理得a?=b?+c?2bccosA,（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6x1+3=12,b+c=2.3由得b=c=3，故选A.n6.（2019海口调研）如图，在ABC中，C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE丄AB,E为垂足.若DE=22，贝UcosA等

16、于（）解析：选C依题意得,6DWBD=AD=-D=-，/BDC=/ABD+/A=2/A.在厶BCDsinAsinAC，2A宜Ax纟=严，即亍一A=卢2，由此解得cosAsin/BDCsinCsin2AsinA33sinA2sinAcosA,3sinA中,BCBD4二、填空题2nb7.（2019北京高考）在厶ABC中，/A=于，a=3c,则b=3c2n解析：在厶ABC中，/A=2222n222a2=b2+c22bccos，即a2=b2+c2+bc.322222a=3c,.3c=b+c+bc,.b+bc2c=0,(b+2c)(bc)=0,bc=0，b=c，Ac=1-答案：18.（2019石家庄模拟

17、)已知ABC中，AC=4,BC=2.7,/BAC=60,AD丄BC于D,则CD的值为解析：在厶ABC中,由余弦定理可得BC2=AC2+AB22ACABcos/BAC,即卩28=16+AB24AB,解得AB=6，28+36一1622则cos/ABC=,BD=ABcos/ABC=6XX27X67.712=7,CD=BCBD=2曲第=不2BD，所以CD=6-A=答案：6V3cosA+sinA9.(2019郑州模拟)ABC的三个内角为A,B,C,若.亦A-cosA=tan7n12,则tan解析：申cosA+sinAJ3sinAcosAtan寻，所以一冗A32sinf+于丿=叫+勺nIfn、2sinA6

18、务，所以A=712一于=芬=寸，所以tanA=tannn=1.=tanA+才=tanAcosA+T7t6答案：1三、解答题10. （2019合肥质检）在厶ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知函数f(x)=sin(2x+B)+3cos(2x+B)为偶函数，b=.(1)求b;若a=3,求厶ABC的面积S.解：(1)f(x)=sin(2x+B)+,3cos(2x+B)=2sinnn由f(x)为偶函数可知B+3=2+kn,kZ,冗所以B=-+gkZ.n又0B2bc_bc=_bc,939二bcw4，当且仅当b=c=时，bc有最大值4,1又cosA=3,A(0,nsinA=1cos2A=13=,(SABC)max=A=JX即晋=乎b,c,已知2acosB=2cb.=m，求m的值.12. 在锐角厶ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,(1)若cos(A+C)=詈3，求cosC的值；若b=5,，八=5,求厶ABC的面积;cosB丁；cosC若o是厶abc外接圆的圆心，且snC=：+snB1解：(1)由2acosB=2cb，得2sinAcosB=2sinCsinB,化简得cosA