二面角的平面角求法综合

1、二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.O复习：复习：(1)(1)定义法定义法直接在二面角的棱上取一直接在二面角的棱上取一点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的垂线，得到平面角垂线，得到平面角. .二面角的求法二面角的求法(2)(2)三垂线法三垂线法利用三垂线定理或利用三垂线定理或逆定理作出平面角，通过解直角三角逆定理作出平面角，通过解直角三

2、角形求角的大小形求角的大小. .(3)(3)垂面法垂面法通过做二面角的棱的通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角垂面，两条交线所成的角即为平面角. .ABDO( (4)4)射影面积法射影面积法若多边形的面积是若多边形的面积是S，它在，它在一个平面上的射影图形面积是一个平面上的射影图形面积是S，则二面角，则二面角 的的大小为大小为COS S SCE2、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？探究准备：探究准备：答：相等或互补m互补互补相等相等m1、如图，、如图，AB是圆的直径，是圆的直径，PA垂垂直圆所在的平面，直圆所在的平面，C是圆上任一是圆上任一点，则

3、二面角点，则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是2、已知、已知P为二面角为二面角 内一内一点，且点，且P到两个半平面的距离都等到两个半平面的距离都等于于P到棱的距离的一半，则这个二到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？面角的度数是多少？pABOABCP60二面角例例1.1.如图，已知如图，已知P P是是二面角二面角-ABAB-棱上一点，过棱上一点，过P P分分别 在别 在 、 内 引内 引 射 线射 线P MP M 、 P NP N， 且， 且 M P N = 6 0 M P N = 6 0 BPM=BPN=45BPM=BPN=45 ，求此二面

4、角的度数。求此二面角的度数。ABPMNCDO解解：在PB上取不同于P 的一点O，在内过O作OCAB交PM于C，在内作ODAB交PN于D，连CD，可得COD是二面角-AB-的平面角设PO = a ，BPM =BPN = 45CO=a， DO=a， PC a ， PD a22又MPN=60 CD=PC a2COD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90aOPC二面角例例2 2如图如图P P为二面角为二面角 内一点，内一点，PA,PBPA,PB,且且PA=5PA=5，PB=8PB=8，AB=7AB=7，求这二面角的度数。求这二面角的度数。 过过PA、PB的平面的平面PAB与与 棱棱 交于交

5、于O点点PA PA PB PB 平面PABAOB为二面角的平面角又PA=5，PB=8，AB=721cosP由余弦定理得由余弦定理得P= 60 AOB=120 这二面角的度数为这二面角的度数为120解：解：ABPO二面角OABPC取取AB 的中点为的中点为E，连连PE，OEO为为 AC 中点中点， ABC=90OEBC且且 OE BC212221在RtPOE中， OE ，PO 22tanPEO22所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为例例3 3如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABCP-ABC的顶点的顶点P P在底面在底面ABCABC上的射影上的射影是底面是底面RtRtABCABC

6、斜边斜边ACAC的中点的中点O O，若，若PB=AB=1PB=AB=1，BC= BC= ，求二面角求二面角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值。2PEO为二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角23在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PE21OEAB ，因此因此 PEABE解：解：EOP二面角练习练习1 1：已知已知RtRtABCABC在平面在平面 内，斜边内，斜边ABAB在在3030的二的二面角面角-AB-AB-的棱的棱上，若上，若AC=5AC=5，BC=12BC=12，求点求点C C到平到平面面的距离的距离CO。ACBOD练习练习2 2：在平面四边形：在平面四边形ABCDABCD

7、中，中，AB=BC=2AB=BC=2，AD=CD= , B=120AD=CD= , B=120；将三角形将三角形ABCABC沿四边形沿四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC折起来，使折起来，使DB= DB= ，求求AB CAB C所所在平面与在平面与ADCADC所在平面所成二面角的平面角的度数。所在平面所成二面角的平面角的度数。157ABCBDO二面角2探究一：试一试：例1、如图：在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，ABBC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC= a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD分析分析：1、根据已知条件提

8、供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。解：如图： SA 平面ABC, SAAB，SAAC，SA BD;于是SB= = a又BC= a ， SB=BC; E为SC的中点，BESC 又DESC 故SC平面BDE可得BDSC 又BDSA BD平面SAC CDE为平面BDE和平面BDC所成 二面角的平面角。 ABBC，AC= = = a 在直角三角形SAC中，tanSCA= = SCA=300 ， CDE=900-SCA=600 解毕。22ABSA2222BCAB 222aa 3ACSA33议一议：刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？ 请各小组

9、讨论交流一下。SECABD探究二：试一试例二：如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1 ，DAB=600,F为棱AA1的中点。 求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF要求要求：1、各人思考；2、小组讨论； 3、小组交流展示；4、总结。A1D1C1CB1BDAPF如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。 F是AA1的中点，可得A也是PD的中点，AP=AB, 又 DAB=600,且底面ABCD是菱形，可得正三角形ABD, 故DBA=600, P=ABP=300, DBP=

10、900,即PBDB； 又因为是直棱柱，DD1 PB, PB面DD1B, 故 DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。 显然BD=AD=DD1, DBD1=450。即为所求. 解毕。解法一：解法一：A1D1C1B1FADCBPE解法二：解法二：如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线； 因为是直棱柱，所以AA1 底面ABCD,过A做AEPB,垂足为E,连接EF,由三垂线定理可知，EFPB, AEF即为二面角D1-PB-D的平面角； 同解法一可知，等腰APB, P=300， RtAPB中，可求得AE= 1 ，（设四棱柱的棱长为2）又AF= 1

11、, AEF=450，即为所求。思考思考：这种解法同解法一有什么异同？解法三：解法三：法向量法：建系如图：设这个四棱柱各棱长均为2.则D(0，0，0） D1（0，0，2） B（1， ，0） F（-1， ，1） =（-2，0 ，1） =（1， ，-2）显然， 就是平面ABCD的法向量，再设平面BDD1的一个法向量为向量 =(x0,y0,z0)。则 且 2x0+ 0y0-z0=0且x0+ y0-2z0=0令x0=1可得z0= 2 , y0= ,即 =（ 1， ，2）设所求二面角的平面角为，则COS = ,所以所求二面角大小为450解毕A1D1C1B1ABCDxyz3333F11DDuDDu221DD

12、BFBD1uuFBuBD1u33解法四：解法四：A1D1C1B1FCBDA如图：由题意可知，这是一个直四棱柱 ， BFD1在底面上的射影三角形就是ABD,故由射影面积关系可得COS= ABDB1 （是所求二面角的平面角）以下求面积略。点评：这种解法叫做“射影面积法” 在选择和填空题中有时候用起来会很好1111111,.ABCDABC DBACB例1、如图 在正方体中 求二面角 的平面角的正切值1D1C1B1ADCBAE111:,ACEB E BE解 取的中点 ，连接1111111111111,ABBCB EACBEACB EBBACB同理为二面角的平面角11111111111tan2arcta

13、n2BBBBACBBB EB EBB EBACB面二面角的平面角为第一步:作第二步:证(指出)第三步:求注:定义法求二面角.00260 ,30 ,10?(0.1)CDABm例 、河堤斜面与水平面所成的二面角为堤面上有一条直道它与堤脚的水平线的夹角为沿这条直道从堤脚向上行走时人升高了多少精确到米CFDGEB0300000:,10 ,.,.,.,60 .13sin60sin30 sin60102.5 34.3( ).22:CDECEmEABEGGEGEFABFFGFGABEFGABGEFGEGEFCEm解 取上一点设过点 作直线所在的水平面的垂线垂足为则线段的长就是所求的高度在河堤斜面内 作垂足为

14、并连结由三垂线定理的逆定理 可知因此就是河堤斜面与水平面所成的二面角的平面角由此得答 沿直道行走104.3 .mm到时人升高约 三垂线法三垂线法003,45 ,30 ,.AMNMNAPAPMNPAMMN例 、如图 点 在锐二面角的棱上 在面 内引射线使与所成的角与面 所成的角大小为求二面角的大小:,;,;.,.PCMNCPBBCACPCBMN解 作垂足为过点 作 的垂线交 于连结、由三垂线定理可知即为二面角的平面角NMAPCB2232,2221,222.4PAaABa ACaaPBPCa BCABACaPCB设则 三垂线法三垂线法:9.6.2.:ACCD类型题 学案阅读要求与检测提示 证明BA

15、CDP4,例 、自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线求证它们所成的角与这个二面角的平面角互补.aONMP:,OMNOM ONOMNPPM PN证明 过点 作面 和面 的垂线垂足分别为、设所确定的平面交棱于点连结00.90 ,180 .OMOMaaONaMONOMONaMPNOMPONPMPNMON 同理面即为二面角的平面角又则点点O在二面角内在二面角内垂面法垂面法0120,10,.PaPPa变式： 为的二面角内一点到 和 的距离均为 求 到棱 的距离aPNMO():20 3:2sin3OPPMNMNPMNROPMPN另解 正弦定理法为四边形外接圆直径也即外接圆直径在中由正弦定理得ABE

16、SCD5,.SAABC ABBC SAAB SBBC ESCDESCACDEBDC例 、已知平面是的中点交于求二面角的大小SCDB: ESCBESCSCBDEDESCDBBDE解为中点面面00,2 ,2 ,3060 . EDCEBDCSAABaSBBCa BCAB ABSBABCBCSCaSCADESCEDC由二面角的定义知即为二面角的大小设则为在面内的射影,则SC又 SAABCDBSADBABC又面面,DBSACDBAC DBDE面SCSAS111111(1):1,256,3,2463cos,sin33ABDMDBABDMDBSMDBMDDBDBSSSSS射原法 解 设正方体边长为 则在中由

17、可得利用射影面积公式ABCDA1B1C1D1M1111116,.ABCDABC D MAAMDBABCD例 、已知正方体是的中点 求平面与底面所成锐二面角平面角的正弦值ABCDA1B1C1D1MEN11111(2):,.,.,.1231,2223sin.3MBABEDEDMDB DABCDEMBMDBEABABCDMDBABCDDEAANDEDENMNMAABCDMNDEMNAMAANMNMAMNAMN法解 延长、交于点连结面面且面面面面过点 作交于连结面根据三垂线定理即为两平面夹角设正方体边长为 则M例例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥年江西卷）如图，在三棱锥ABCD中，中，侧面侧面ABD

18、、ACD是全等的直角三角形，是全等的直角三角形，AD是公是公共的斜边，且共的斜边，且AD，BDCD1，另一个，另一个侧面是正三角形，求二面角侧面是正三角形，求二面角BACD的大小的大小.ABCD33N222MADNBMN2,MACMN/CD61113,.222226cos,236arccos.3BMACMNACBACDABACBCBMMNCDBNADBMMNBNBMNBM MNBMN作于，作交于 ，则就是二面角的平面角由是的中点，且得由余弦定理得：则解 PEDACBD1A1C1B1F例例2.正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为1，P是是AD的中点的中点,求二面角求二面角ABD1

19、P的大小的大小.例例3、(高考题高考题)ABC中，中，ABBC，SA 平面平面ABC，DE垂直平分垂直平分SC，又又SAAB，SBBC,（1）求证：）求证：SC 平面平面BDE, （2）求二面角求二面角EBDC的大小的大小?SABCED0001SBBCESCBESCDESCSCBDESCBDEBDSCSAABCBDSABDSACCDEEBDCABBCABaBC= 2aAC3aSAa3Rt SACtan SCA=AC33aSCA=30CDE=90SCA60（ ）因为， 为的中点，所以，又因此平面（2）由平面，得又由平面，得则平面因此为二面角 的平面角由， ，得在中，则，则解：SABCEDABDC

20、A1B1D1C1在在正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，求二面角求二面角D1ACD的大小？的大小？Oarctan 2答案：总一总总一总：求二面角的方法你都学会了哪些？每一种方法在使用上要注意什么问题？请同学们先自己思考，然后小组内交流学习一下。二面角的几种主要常用的求法：1 1、垂面法、垂面法。见例一和例二的解法一；2 2、三垂线法。、三垂线法。见例二的解法二；见例二的解法二；3 3、射影面积法。、射影面积法。见例二的解法三；4 4、法向量夹角法。、法向量夹角法。见例二的解法四。 其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的方法 ，也称为 直接法；射影面积法和法向量法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为 间接法。 这几种方法是现在求二面角的常用的方法，在高考中经常被考查；尤其是向量法，更有着广泛的被考查性，在应用的时候主要注意以下两点：1、合理建系合理建系。本着“左右对称左右对称 就地取就地取材材”的建系原则。2、视图取角视图取角。由于法向量的取定有人为的因素，