电路原理(邱关源)习题答案第二章电阻电路的等效变换练习分析解析

1、第二章电阻电路的等效变换“等效变换”在电路理论中是很重要的概念，电路等效变换的方法是电路问题分析中经常使用的方法。所谓两个电路是互为等效的，是指（1）两个结构参数不同的电路再端子上有相同的电压、电流关系，因而可以互相代换；（2）代换的效果是不改变外电路（或电路中未被代换的部分）中的电压、电流和功率。由此得出电路等效变换的条件是相互代换的两部分电路具有相同的伏安特性。等效的对象是外接电路（或电路未变化部分）中的电压、电流和功率。等效变换的目的是简化电路，方便地求出需要求的结果。深刻地理解“等效变换”的思想，熟练掌握“等效变换”的方法在电路分析中是重要的。2-1电路如图所示，已知u二100V,R二

2、2kQ,R二8kQo若：（1）s12R=8kQ；（2）R=（R处开路）；（3）R=0（R处短路）。试求以33333上3种情况下电压u和电流i,io223r?31题e-1图8解：（1）和r3为并联，其等效电阻R=2二4kQ,则总电流分流有usR+R1i=i23100502+4350=8.333mA6X50=66.667V6(2)当R严，有.=0=100=10mAui=s2R+R2+812u=Ri=8X10=80V222(3)R3=0，有i=0,u=02-100=50mAu3=R212-2电路如图所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。求：(1)电压u和电流i；22(2)若电阻R增大,对

3、哪些元件的电压、电流有影响？影响如何？解:(1)对于R2和R3来说，其余部分的电路可以用电流源i等效代换，如题解图(a)所示。因此有$RiI=332R+R23RRiu=23s2R+R23（2）由于R和电流源串接支路对其余电路来说可以等效为一个电流源，如题解图（b）所示。因此当R增大，对R2,R3,R及u的电流和端电压都没有影响。$但R增大,R上的电压增大，将影响电流源两端的电压,因为u=Ri+u-uis1s2s显然ui随R的增大而增大。s11=1=1注：任意电路元件与理想电流源i串联，均可将其等效$为理想电压源i，如本题中题解图（8）和（b）。但应该注$意等效是对外部电路的等效。图（a）和图（

4、b）中电流源两端的电压就不等于原电路中电流源两端的电压u。同时，任is意电路元件与理想电压源u并联，均可将其等效为理想电压$源u，如本题中对而言，其余部分可以等效为u，如题图（c）所示。但等效是对外部电路（如R4）的等效，而图（C）中u4上的电流则不等于原电路中u中的电流。$u2-3电路如图所示。求U0；(2)当Rl叫営sRR)R+R)12时，uR矿可近似为竽可，此时引起的相对误差为s12uRo2uR+Rs12uX10000当R为(R/R)的100倍、1210倍时，分别计算此相对误差。L解：1)RXRR=2LR+R2LuI=sR+R1u=Ri=ouRsR+R1所以(2)设Rl=kRRRK，带入

5、上述茁式子中,可得RR=2_LuR+RRR+RR+RR1121L2Luo=us=X-(1+K)R+R12RRRxK122R+R12RRRR+(R+R)xK1212R+R12相对误差为KR2MRKRR(o2)X100022uR+R01+KR+RR+R一心uKR00o2丄-11+Kx100。;=-kJ"-当K=100时=T00=T°O0K=10时2-4求图示电路的等效电阻尺万，其中ab=R=1Q,R=R=2Q,R2345二G二1S,R=2Q。2解：(a)图中R被短路，原电路等效为图(al)所示。应用电4阻的串并联，有R=r/R/R+R=112+4二4.4Qab1235(al)(

6、b)图中G和G所在支路的电阻12R二丄+丄二2QGG12所以R/R+R=b2+2二3Qab43(C)图可以改画为图(C1)所示，这是一个电桥电路，由于R厂R2,R广R4处于电桥平衡，故开关闭合与打开时的等效电阻相等。R二(R+R)/(R+R)二(1+2)/(1+2)二1.5Qab1324°Is尽1,J±O(d) 图中节点叮同电位(电桥平衡)，所以-1，间跨接电阻r2可以拿去(也可以用短路线替代)，故R二(R+R)/(R+R)/R二(1+1)/(1+1)/1二0.5Qab12121(e) 图是一个对称的电路。解法一：由于结点1与1，2与2，等电位，结点3,3，,3，等电位可以

7、分别把等电位点短接，电路如图(e1)所示，贝URab=2%(R+=3R=3°R(el)解法二：将电路从中心点断开(因断开点间的连线没有电流)如图(e2)所示。R=ab2R+(2R2R)=3r二3o22RRRRR尺RRRR(e2)解法三：此题也可根据网络结构的特点，令各支路电流如图(e3)所示，贝咗上角的网孔回路方程为2Ri=2Ri21i=i21由结点的KCL方程0.5i=i+i=2i=2i2121Rab所以(e3)冷:(f)图中(m,in,2。)和(2q,20,1构成两个Y形连接，分别将两个Y形转化成等值的形连接，如图(f1)和(f2)所示。等值形的电阻分别为R=(1+1+嘤)=2.

8、5Qi2R=R=5Q32R'=1+2+=4Q22R=(1+2+毕)=5Q21R'=2+2+=8Q11R，=R，=4Q32并接两个a形，最后得图(f3)所示的等效电路，所以R=2/(R/R)+R/R，(R/R')ab221133=【2(54)+2.5/8/(5/4)学L269Q_2°4°=+1921(g)图是一个对称电路。解法一：由对称性可知，节点等电位，节点2,2：2*等电位，连接等电位点，得图(g1)所示电路。则Rab=(R+R+R)5 R=1.667Q6R(gl)簡解法二：根据电路的结构特点，得各支路电流的分布如图(g2)所示。由此得端口电压Ua

9、b=1iXR+6i"R+1iXR=6iXR所以uR=ab=R=1.667Qabi6注：本题入端电阻的计算过程说明，判别电路中电阻的串并联关系是分析混联电路的关键。一般应掌握以下几点(1) 根据电压、电流关系判断。若流经两电阻的电流是同一电流，则为串联；若两电阻上承受的是同一电压，就是并联。注意不要被电路中的一些短接线所迷惑，对短接线可以做压缩或伸长处理。(2) 根据电路的结构特点，如对称性、电桥平衡等，找出等电位点，连接或断开等电位点之间的支路，把电路变换成简单的并联形式。(3) 应用Y,A结构互换把电路转化成简单的串并联形式，再加以计算分析。但要明确，Y，a形结构互换是多端子结构等

10、效，除正确使用变换公式计算各阻值之外，务必正确连接各对应端子，更应注意不要把本是串并联的问题看做Y,A结构进行变换等效，那样会使问题的计算更加复杂化。(4) 当电路结构比较复杂时，可以根据电路的结构特点，设定电路中的支路电流，通过一些网孔回路方程和结点方程确定支路电流分布系数，然后求出断口电压和电流的比值，得出等效电阻。2-5在图(a)电路中，u二24V,u二6V,R二12Q,R二6Q,R二2Q。s1s2123图(b)为经电源变换后的等效电路。n內n+U、沁1C>52q题2-5胃(1) 求等效电路的，和R；$(2) 根据等效电路求R中电流和消耗功率；(3) 分别在图(a),(b)中求出R

11、r2及r消耗的功率；(4) 试问uu2发出的功率是否等于i发出的功率？R,R消耗1212的功率是否等于r消耗的功率？为什么？解：(1)利用电源的等效变换，图(a)中电阻与电压源的串联可以用电阻与电流源的并联来等效。等效后的电路如题解2-5图所示，其中2412对题解2-5图电路进一步简化得图(b)所示电路，故i二i+i二2+1二3A12R=R/R=12兰6=4Q1212+6(2)由图(b)可解得三条并联支路的端电压u=(R/R)Xi=44x3=4V3s4+2所以R的电流和消耗的功率分别为P=Ri2=2x22=8W333(3) 根据KVL,图(a)电路中R,R两端的电压分别为12u=uu=244=

12、20V1s1u=uu=64=2V2s2则R,R消耗的功率分别为12u2(20)2100P1=才=专号=辽33W1u2(2)22P=(-=2W2R632(b)图中R消耗的功率P=u2=42=4WR4(4) (a)图中uu2发出的功率分别为s1s2(b)图中i发出功率$Pus1Pus2=uixR-=24x誇=40W1=us2X存=6X2=2W2=uxi=4x3=12Ws显然P丰P+Piuuss1s2由(3)的解可知P丰P+P12is以上结果表明，等效电源发出的功率一般并不等于原电路中所有电源发出的功率之和；等效电阻消耗的功率一般也并不等于原电路中所有电阻消耗的功率之和。这充分说明，电路的“等效”概

13、念仅仅指对外电路等效，对内部电路(变换的电路)则不等效。2-6对图示电桥电路，应用Y-A等效变换求：(1)对角线电压U；(2)电压U。ab4口+10Q110口U1-snA24rb题2-晦解法一：把(100,100,50)构成的A形等效变换为Y形，如题解图(a)所示，其中各电阻值为：R-°X/0-401 10+10+5R-“10二5-202 10+10+5R-“10：5：-203 10+10+5由于两条并接支路的电阻相等，因此得电流2=25A应用KVL得电压又因入端电阻U=6x2.5-4x2.5二5VR二(4+4)/(6+2)+2+24二300ab所以U二5XR二5X30二150Vab

14、ab解法二：把(40,100,10构成的y形等效变换为A形，如题解图(b)所示，其中各电阻值为R134x10+10x10+4x10_1801010180R124x10+10x10+4x10118010180R_型_450234把图(b)等效为图(c)，应用电阻并联分流公式得电流I_18x5_10a29+183由此得图(b)中60电阻中的电流I_218+610所以原图中40电阻中的电流为5-2.5_2.5A，故电压由图(c)得U_6x2.5-4x2.5_5VR_(18/9)+24_300abU_5xR_5x30_150VababRUR尺(b)5恥eb(c)题解图24G注：本题也可把(40,100

15、,60)构成的A形变换为Y形，或把(60,100,50)构成的Y形变换为A形。这说明一道题中Y-A变换方式可以有多种，但显然，变换方式选择得当，将使等效电阻值和待求量的计算简便，如本题解法一显然比解法二简便。2-7图示为由桥T电路构成的衰减器。L1+1%11题2-T图(1)试证明当R=R=R时，R=R，且有uu=0.5；21LabLoin(2)试证明当R22RR2u3RK时，r二r，并求此时电压比矿。1LabLin解:(1)当R二R二R时电路为一平衡电桥，可等效为21L题解图(a)所示电路，所以R=(R+R)/(R+R)二Rab122LL=1u2inuo=0.5uin(2)把由R构成的Y形电路

16、等效变换为A形电路，原电路等效为题解图(b)。其中=R/R=2R=3R，因为RR2R+R22RR21L3R2R2X3R11L2RR2il+3R3R2R211L6RR21_L9R2R21L=R/R=3RR1_L3R+R1L所以RabR'+R'2L6RR23RR1L+1L9R2R23R+R1L1L=(R'+R')/R=2L3RR1_L3RRX3R13RR1L3RR+3R13RR1L-3RR1L9R2R1_L9R211LuinRr+Rr2Lu3RR3RRinX1_L=U1L3RR3R+Rin3R+R1_L1L1L3RR1u3RR4=1Lu3R+Rin1L2-8在图(a

17、)中，u=45V,u=20V,u=20V,u=50V；s1s2s4s5R二R二15Q,R二200,R二500,R二8Q:在图(b)中，13245u二20V,u二30V,i二8A,s1s5s2i4二17A,R广5Q,R3=10Q,R广10Q。利用电源的等效变换求图(a)s4135和图(b)中电压ub。ab解(a)：利用电源的等效变换，将(a)图等效为题解图(a1)，(a2)。其中u45i=*6=3AsiR151i二u*2二20二1A*2R202i二匕4二20二0.4As4R504is5二R=50二625A5把所有的电流源合并，得i二i+i-i+i二3+1-0.4+6.25二9.85Ass1s2s

18、4s5把所有电阻并联，有R=R1R2R3R4R5=152015508=需°所以uab=ixR=9.85x600=30V解(b)：图(b)可以等效变换为题解图(bl),(b2)其中s1uss5等效电流源为i二i+i-i+i二4+8-17+3=2Ass1s2s4s5等效电阻为R二R/R/R二5/10/10二2.5Q135所以u二ixR二2x2.5二5Vabs注：应用电源等效互换分析电路问题时要注意，等效变换是将理想电压源与电阻的串联模型与理想电流源与电阻的并联模型互换，其互换关系为：在量值上满足u=Ri或SSuls=并，在方向上有i的参考方向由u的负极指向正极。这种ss等效是对模型输出端

19、子上的电流和电压等效。需要明确理想电压源与理想电流源之间不能互换。2-9利用电源的等效变换，求图示电路的电流i。ITL40U4402口<+10QWC")67.题2-9图解：利用电源的等效变换，原电路可以等效为题解图(a),和(c)，所以电流i二2.5二025A110i二1i二0.125A21u2-10利用电源的等效变换，求图示电路中电压比苕。s已知R=R=2Q,R=R=1Q。1234解法一：利用电源的等效变换，原电路可以等效为题解图(a)所示的单回路电路，对回路列写KVL方程，有(R+R+R)i+2Ru=R+R+R+2RR1+1+1+210123443u1234432s=Aus

20、把u3=R带入上式，则所以输出电压u=Ri+2Ru=(R+2RR)i=点uo44344310s解法二：因为受控电流源的电流为2u3=2i3xR3=2i3x1,即受控电流源的控制量可以改为i3。原电路可以等效为图(b)所示的单结点电路，则u=Ri=R(i+2i)=3i即又因o444333即u1u1T=4us-飞所以u=0.3uosi3s=0.3s(a)(b)题解ETD图注：本题说明，当受控电压源与电阻串联或受控电流源与电阻并联时，均可仿效独立电源的等效方法进行电源互换等效。需要注意的是，控制量所在的支路不要变掉发，若要变掉的话，注意控制量的改变，不要丢失了控制量。2-11图示电路中气=r3二r4,r2二2气,CCVS的电压u二4R讥，利13421c11解：原电路可等效变换为题解2-11图所示电路。图中R二(R+R)/R二2R/2R二R342111对回路列KVL方程，有u(Ri+Ri+cR)=uiiiR22Ri第1XRi=U1i所以电压u3uuRiusu0.75ui0siis44ss2-12试求图)和(b)的输入电阻Rb。ab解(a)：在(a)图的a,b端子间加电压源u，并设电流i如题解2-12图(a)所示，显然有uRiLxw+Ri=Rilx(Ri)+Ri=(R+RliR)i211211121故得a，b端的输入电阻RU