第三章第3节向量间的线性关系

1、3.3 3.3 向量间的线性关系向量间的线性关系 ) 1 . 3(22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa线性方程组（线性方程组（3.1）写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系1 12 2nnxxx称为方程组（称为方程组（3.1）的向量形式。）的向量形式。一、线性组合一、线性组合其中其中1122j(1,2, );jjmjmababjnab都是都是m维列向量。维列向量。1212,)mmxxx （线性方程组（线性方程组（3.1）也可写成）也可写成线性方程组（线性方程组（3.1）是否有解，相当于是

2、否存在一组）是否有解，相当于是否存在一组数，数，1122,nnxk xkxk使线性关系式使线性关系式1122nnkkk成立。成立。 即常数列向量即常数列向量是否可以表示成上述系数是否可以表示成上述系数列向量组列向量组12,n 的线性关系式。的线性关系式。，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,: 2121 定义定义., 21个线性组合的系数个线性组合的系数称为这称为这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkkk 线性组合线性组合mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,: 212

3、1. 2211有解有解即线性方程组即线性方程组bxxxmm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA1122 .mmxxxb线性方程组有解1212,)mmxxbx （也可写成：也可写成：.),(),( 2121的秩的秩，的秩等于矩阵的秩等于矩阵，条件是矩阵条件是矩阵线性表示的充分必要线性表示的充分必要能由向量组能由向量组向量向量bBAAbmm 定理定理: :【例【例1 】 零向量是任何一组向量的线性组合零向量是任何一组向量的线性组合. .,)1(,2121的的线线性性组组合合都都是是此此向向量量组组中中的的任任一

4、一向向量量向向量量组组sjssj 【例【例2】都是都是n维单位向量组维单位向量组1, 0, 00, 1, 00, 0, 121n 的线性组合的线性组合. . naaan,21 维维向向量量任任何何一一个个【例【例3】 ) 1 . 3(22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa令令njaaamjjjj, 2 , 121 mbbb21 对应的向量形式为对应的向量形式为 nnxxx2211)()(ArAr结论结论线线性性表表示示向向量量组组可可由由n ,21非齐次线性方程组非齐次线性方程组(3.1)有解有解即即).,(),(2121 nnr

5、r1212430114311112152111. 判判断断（ ， ， ，）, ,（ ， ，）是是否否为为向向量量组组（ ， ，），（ ， ， ）的的线线性性组组合合【例【例4】 121TTT 1115011312421 990430550421 1104210 0 10 0 012121(,)2(,)3TTTTTrr 112. 不不能能由由，线线性性表表示示【解】【解】11221,kk 设设121()TTT对对矩矩阵阵施以初等行变换：施以初等行变换： 122TTT 1242131115111 124055033099 1104210 0 00 0 012122(,)2(,)TTTTTrr 11

6、2. 不不能能由由，线线性性表表示示【解】【解】11222,kk 设设122()TTT对对矩矩阵阵施以初等行变换：施以初等行变换：二、线性相关与线性无关二、线性相关与线性无关.,0,021221121线线性性相相关关称称向向量量组组，使使得得的的数数如如果果存存在在一一组组不不全全为为sssskkkkkk .,0021221121线线性性无无关关称称向向量量组组，才才能能使使如如果果只只有有sssskkkkkk 定义定义 )9 . 3(000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa02211 nnxxx njaaamjjjj, 2 , 121

7、对应的向量形式为对应的向量形式为结论结论线线性性无无关关n ,)1(21齐次线性方程组齐次线性方程组(3.9)(3.9)只有零解只有零解nrn),(21 当当m= =n时时0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa线线性性相相关关n ,)2(21齐次线性方程组齐次线性方程组(3.9)(3.9)有非零解有非零解nrn),(21 当当m=n时时0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa【例【例5】仅由一个零向量组成的向量组线性相关仅由一个零向量组成的向量组线性相关. .【例【例6】包含零向量的向量组必线性相关包含零向量的向量组必线性相关. .仅由一个非零向量组成的向量组

8、线性无关仅由一个非零向量组成的向量组线性无关. .【例【例7】 n n维单位向量组维单位向量组n ,21线性无关线性无关. .nnkkk 2211nkkk,21=0=0. 021nkkk 1234213142542123 ,3212 ; ， ， ， ， ，【例【例8】判断下列向量组是否线性相关】判断下列向量组是否线性相关?1、【解解】对矩阵对矩阵 施以初等变换化为阶梯形矩阵施以初等变换化为阶梯形矩阵 TTTT4321, 2341125321213242.,4321线线性性相相关关所所以以 2121234112533242 21210 0 0 10 1 1 50 2 2 0 2121 0 1 1

9、 50 0 0 1 0 0 0 10 01010 1 1 00 0 0 10 0 0 0所以秩所以秩 TTTT4321, =34, 1231203251103412 . ， ， ， ， ，2、TTT321, 2103110452321可知可知, 3,321TTTr 因此因此.,321线性无关线性无关 7401101090321 3001101900321 3001900110321 1001103210 0 0【解】【解】定理定理3.4推论：推论： 当向量组中所含向量的个数大于向量的当向量组中所含向量的个数大于向量的 维数时，此向量组线性相关。维数时，此向量组线性相关。证：设证：设12(, ,

10、) (1,2, , )jjjmja aajn ，齐次线性，齐次线性方程组方程组11220nnxxx由于由于,mn 故有非零解，由此得证。故有非零解，由此得证。(3)、n+1个个n维向量必线性相关维向量必线性相关.(4)、向量组部分向量线性相关、向量组部分向量线性相关整个向量组必线性相关整个向量组必线性相关.000111 rssskk ,1线线性性相相关关s , 0,11 rsskkkk不不全全为为零零的的数数 使使(5)、向量组线性无关、向量组线性无关它的任何部分组必线性无关它的任何部分组必线性无关.例如例如 空间空间R3中，中，4个以上的向量总是线性相关个以上的向量总是线性相关.三、关于线性

11、组合和线性相关的定理三、关于线性组合和线性相关的定理定理定理3.6 ： 向量组向量组12,(2)ss 线性相关的充分必要条件线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量是其余是：其中至少有一个向量是其余s-1个向量的线性组合。个向量的线性组合。11,ss 向向量量组组线线性性相相关关，而而线线性性无无关关.1一一线线性性表表示示，且且表表示示法法唯唯，可可由由s 定理定理3.7：【证明【证明】线线性性相相关关因因为为向向量量组组 ,1s使使的的数数所所以以存存在在不不全全为为,01kkks01 kkkss, 0 k如如果果, 01 sskk 则则,0,1不不全全为为又又skk线线性性相相关关与

12、与已已知知矛矛盾盾，故故s ,1, 0 k所以所以sskkkk 11则则.1线线性性表表示示，可可由由即即s 唯一唯一性自性自证证定理定理3.8：如果向量组（：如果向量组（A）可由向量组（）可由向量组（B）线性表示，而向量组（线性表示，而向量组（B）又可由向量组（）又可由向量组（C）线性）线性表示，表示， 则向量组（则向量组（A）也可由向量组（）也可由向量组（C）线性表示。）线性表示。12123.9( ),( ),stAB 定定理理： 设设12BAst 如如果果 （ ）向向量量组组（ ） 可可由由向向量量组组（ ）线线性性表表示示，（ ），.B那那么么向向量量组组（ ）必必线线性性相相关关12

13、12( ),( ),stAB 另另： 设设推论：如果向量组推论：如果向量组( (A), ),（B）等价，且）等价，且( (A) ),( (B) )都线性无关，都线性无关，则则s = t. 如果向量组如果向量组( (B) )可由向量可由向量( (A) )线性表示，而且向量组线性表示，而且向量组(B)(B)线性无关，则线性无关，则.ts 四、极大线性无关组四、极大线性无关组定义定义),(,2121nrriiin 的的一一个个部部分分组组向向量量组组如果如果线线性性无无关关，）（riii ,121线线性性表表示示，都都可可由由，）（riiijnj , 2 , 1221 的的一一个个称称为为向向量量组

14、组则则部部分分组组niiir ,2121极大线性无关组（极大无关组）极大线性无关组（极大无关组）. .），（），（，），（），（201101,104321 【例【例9】易证易证线线性性无无关关，21, 又任何又任何3个二维向量组必线性相关，个二维向量组必线性相关，.,432121的的一一个个极极大大无无关关组组是是故故 .,432132的的一一个个极极大大无无关关组组也也是是同同样样 向量组的极大无关组不唯一向量组的极大无关组不唯一. .向量组的极大无关组都含有相同个数的向量向量组的极大无关组都含有相同个数的向量. .向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组向量组的极大无关组所含向量的个数称

15、为向量组的秩的秩. .一个线性无关向量组的极大无关组就是这个向量一个线性无关向量组的极大无关组就是这个向量组本身组本身. .一向量组线性无关一向量组线性无关它的秩等于它所含向量的个数它的秩等于它所含向量的个数. .规定规定 只含零向量的向量组的秩为只含零向量的向量组的秩为0. 0.定理定理3.10：如果：如果12jjjr， ，是是12s， ，的线性无关部分组，的线性无关部分组， 它是极大无关组的充分必要条件它是极大无关组的充分必要条件是：是： 12s， ，中的每一个向量都可由中的每一个向量都可由12jjjr， ，线性表示。线性表示。矩阵的矩阵的行秩行秩是矩阵的是矩阵的行行向量组的秩向量组的秩矩

16、阵的矩阵的列秩列秩是矩阵的是矩阵的列列向量组的秩向量组的秩. .例如例如 0000500041201311A行向量组行向量组 4, 1, 2, 01, 3, 1, 121 0, 0, 0, 05, 0, 0, 043 .,4321321的的一一个个极极大大无无关关组组是是 易证易证，的的秩秩是是所所以以3,4321 即即A的行秩是的行秩是3. .列向量组列向量组 0, 0, 2, 10, 0, 0, 121 0, 5, 4, 10, 0, 1, 343 .,4321421的的一一个个极极大大无无关关组组是是 ，的的秩秩是是所所以以3,4321 即即A的列秩是的列秩是3. .推论推论 矩阵的行秩

17、与列秩相等矩阵的行秩与列秩相等. .定理定理 A为为m n矩阵矩阵, ,r( (A)=)=r 的充分必要条件是：的充分必要条件是：A的列的列( (行行) )秩为秩为r. .结论：如果对矩阵结论：如果对矩阵A仅施以初等仅施以初等行行变换化为矩阵变换化为矩阵,A则则A的的列列向量组与向量组与A的的列列向量组有相同向量组有相同 的线性关系，的线性关系，即：即：（1）如果）如果A的列向量组的列向量组12,n 中，部分组中，部分组12,jjjs 线性无关，则线性无关，则A的列向量组的列向量组12,n 中，对应的中，对应的12,jjjs 也线性无关。也线性无关。反之亦然。反之亦然。（2）如果）如果A的列向

18、量组的列向量组12,n 中，某个向量中，某个向量j 可由其中的可由其中的12,jjjs 线性表示：线性表示：1122jjjsjskkk则则A的列向量组的列向量组12,n 中，对应的中，对应的j 可由其中的可由其中的12,jjjs 线性表示：线性表示：1122jjjsjskkk类似地，类似地， 如果对矩阵如果对矩阵A仅施以初等列变换化为仅施以初等列变换化为,A 则则A 的行向量组与的行向量组与A的行向量组间有相同的线性关系。的行向量组间有相同的线性关系。简言之，矩阵的初等行（列）变换不改变其列（行）简言之，矩阵的初等行（列）变换不改变其列（行）向量间的线性关系。向量间的线性关系。 1201142333114132A【解解】对矩阵仅施以初等行变换：】对矩阵仅施以初等行变换： )(4321 A 1201142341323311 1, 1, 3, 42, 4, 3, 143 0, 2, 1, 31, 3, 1, 221 （1 1）求向量组的秩；）求向量组的秩；（2 2）求向量组的一个极大无关组）求向量组的一个极大无关组. .【例【例10】 211010550105503311 0000000021103311 000000002110120