四平行轴定理ppt课件

1、四、平行轴定理前例中JC表示相对经过质心的轴的转动惯量， JA表示相对经过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：222231411212mLmLmLLmJJCA推行上述结论，假设有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，那么有：这个结论称为平行轴定理。2CJJmd例：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球体半径为R2131LmJLL225ooJm R2002dmJJL22212()35LooJm Lm Rm LR作业： P150 4-8 4-9LomoRLmzz解： 棒绕zz轴的转动惯量：球体绕球心O的转动惯量：利用平行轴定理：五、刚体

2、定轴转动的转动定律的运用例、一个质量为、半径为的定滑轮当作均匀圆盘上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。解：如下图，M、m的受力图得知：: mmg TmaaR21 2MMTR JJMR：MgmgTTNaT TMmmghRRv241例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。如今要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？ 242MmmghahvgMmma2解方程得：F0解：飞轮制动时有角加速度t020rad/s9 .20s5 0

3、 rad/s7 .104min/ r1000t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。2mRJNRRfMr2mRNRN784mRN0Nfr例3、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑程度轴，因此可以在竖直平面内转动。最初棒静止在程度位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，重力矩为：xdmggxdmM XOdmgdmxCmxxdm 据质心定义CmgxM 重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。cos21lxccos21mglM lgmlmglJM2cos331cos212mgCd

4、mgXOdmxc ddJdtdddJdtdJJM cos21mglM代入dJdmglcos2100cos21dJdmgl221sin21JmgllgJmglsin3sin dJMd 作业：P151 4-10 4-141、质点的角动量vmrPrL讨论力矩对时间的累积作用，得出角动量定理和角动量守恒定律。一、质点的角动量定理和角动量守恒定律mvLL rrmv设质量为m的质点在时辰t以速度 运动，它对所取参考点O的角动量定义：v其方向：右手法那么确定；sinLrmv大小：留意：质点的角动量是与位矢、动量、参考点0的选择有关。因此在讲述质点的角动量时，必需指明是对哪一点的角动量。例：假设质点在半径为r

5、的圆周上运动，在某一时辰，质点位于点A速度为 。v以圆心0为参考点，那么，rv质点绕oz轴做圆周运动角动量为：2Lrmvmr2、质点的角动量定理()dm vFd t质点的角动量定义、牛顿定律导出。()drFrm vd t由于：()()()dddrrmvrmvmvdtdtdt设质量为m的质点，在合外力 作用下，其运动方程为：F质点对参考点O的位矢为 ，故以 叉乘上式两边，有：rr()0drmvvvdt其中：所以：()drFrmvdt作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率。这与牛顿第二定律在方式上是类似的，MF上式还可写成：M dtdL合力 对参考点0的合力矩：F

6、MrF()ddLMrmvdtdtLP力矩与作用时间的乘积，叫做冲量矩2121ttMdtLLL 质点的角动量定理质点的角动量定理： 对同一参考点0，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。LrmvC 3、质点的角动量守恒定律假设质点所受合力矩为零，即 ，那么有：0M当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量。质点的角动量守恒定律留意：0M有两种情况：0F0F经过参考点O，即F/F r单位： 千克二次方米每秒；21kg ms21MLT量纲： 。1. 定轴转动刚体的角动量2iiiormL 即o对 的角动量：imiiiiovmrL方向：沿大小：2iiiiiioiormvmrL

7、Lo转轴 角速度刚体上任一质点 转轴与其转动平面交点 绕 圆周运动半径为 imzimoirivimor转动转动平面平面zi二、刚体的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的特点： (1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不 同的圆周运动； (2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。定义：质点 对 点的角动量的大小，称为质点对转轴的角动量。imo2iiiiizrmvmrL刚体对 z 轴的总角动量为：JrmrmLLiiiiiiiizz22式中iiirmJ2刚体对轴的转动惯量2、刚体的角动量定理对 个质点 组成的质点系，由NNmmm,21tLFrMdd可得内外内外内外NNNMMtLMMtL

8、MMtLdddddd222111两边求和得iiiiiiMMtLLt内外dddd于是：外外iiFrMtLidd质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和 (合外力矩 )iiiiiiMMtLLt内外dddd留意： 合外力矩 是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。外M由图可知0iiM内1212f21f1m2m1r2rdo在定轴转动中，可用标量表示：JdtdJJdtdLdtdM)(刚体定轴转动的转动定律本质是角动量定理的沿固定轴方向的分量式的一种特殊方式。积分：221121tLtLM dtdLLLL 对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为冲量矩右边为刚体对同一转动轴

9、的角动量的增量。当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。叫做角动量定理动量的增量。叫做角动量定理12JJLJ也改动时,1122JJLJ不变时,3、角动量守恒定律0., 0 LLMdtdLM即常量则中，若在L不变的含义为：刚体：J不变 非刚体：J不变留意：0M有两种情况：0F0F经过参考点O，即F/F r 但它与轴平行，对定轴转动没有作用，那么刚体对此轴的角动量依然守恒。0M0043)(mvvvmfdt子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：Jdtflldtf因, 由两式得ff200314943MlJMlmvJlmv 这里解:以 代表棒对子弹的阻力,

10、对子弹有:f例1、如下图,一质量为m的子弹以程度速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。知棒长为 ,质量为 。Ml014vv0,m vf Ml例2.知：两平行圆柱在程度面内转动，求：接触且无相对滑动时202,2101,1,;,RmRm?21.o1m1R1.o2R2m21020o1.o2.12解一：因摩擦力为内力，外力过轴 ，外力矩为零，那么：J1 + J2 系统角动量守恒 ，以顺时针方向为正： 12211202101JJJJ接触点无相对滑动： 22211RR又： 3212111RmJ 4212222RmJ 联立1、2、3、4式求解，对不对？ o2F2o1

11、.F1f1f212分别以m1 , m2 为研讨对象，受力如图：o2F2o1.F1f1f20 )2(0 )1 (1221FFMoMo为轴为轴系统角动量不守恒！解二：分别对解二：分别对m1 , m2 用角动量定理列方程用角动量定理列方程设：f1 = f2 = f ， 以顺时针方向为正12问题：(1) 式中各角量能否对同轴而言？ (2) J1 +J2 系统角动量能否守恒？m1对o1 轴：111110d,R f tJJm2对o2 轴：222220d,R f tJJ 接触点：2211RR联立各式解得：221202210112121202210111RmmRmRmRmmRmRm211112Jm R2222

12、12Jm R作业： P152 4-17一、力矩作功一、力矩作功|cosrdFrdFdW力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。称为力矩的功。称为力矩的功。rdF cos MrFrFcoscosMddW xOrvFPdrd00Wd WMdM假设力矩的大小和方向都不变，那么即恒力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于力矩的大小与转过的角度的乘积。2211Wd WM d假设作用在绕定轴转动的刚体上的力矩是变化的，那么二、二、 力矩的功率力矩的功率d WdPMMd td t设刚体在恒力矩作用下绕定轴转动时，那么力矩的功率：即刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度二次方的乘积的一半。22

13、11()()22KiiiiiiEm vmr刚体上一切质元的动能之和为：22221)(21Jrmiii四、四、 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理三、转动动能三、转动动能将定轴转动的转动定律两边乘以d 再同时对 积分，有:21222121JJ21dJddtdJ2121Md合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。12KKEEW上式即为：这个结论称为定轴转动的动能定理。这个结论称为定轴转动的动能定理。iighm五、刚体的重力势能五、刚体的重力势能hhihcxOmCm一个质元：iiiPhgmE重ciiimghhmg)(整个刚体：一个不太大的刚体的重力势能相当于它

14、的全部质量都集中在质心时所具有的势能。六、机械能守恒六、机械能守恒对于含有刚体的系统,假设在运动过程中只需保守内力作功,那么此系统的机械能守恒。P 表4-3 质点运动与刚体定轴转动对照表解得：mMmghv222201122T RJJ2201122m ghT hm vm vhRvR2000,0,2vJM R2213m vaM lm a2221 11 cos301 cos302 32lMlmamgaMg 22123236gvMlmaMlmama系统机械能守恒：系统：杆、子弹，角动量守恒：例3.如下图，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开场时直杆自然下垂，将单摆的摆锤

15、拉到高度ho ，令它自静止形状下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端到达的高度h 。(1)mlholchchh=3h0/2(2)解:碰撞前单摆摆锤的速度为:002 ghv令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v。由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:lvvv23,200二式联立解得：201,3m lvm lvJJm l式 中2220111222mvmvJ按机械能守恒，碰撞后摆锤到达的高度为40hh而杆的质心到达的高度满足:cmghJ2212320hhhc得:作业： P153 4-23 4-28 刚体的质心被限制在一平面上运动，那么这种刚体的运动就称为刚体的平面平行运动。一

16、、定义：一、定义：ccdvFmamdt二、研讨方法：二、研讨方法：刚体运动：质心的平动、刚体绕质心的转动的合成。质心的平动：zcccdMJJdt刚体绕质心的转动：PcEmgh刚体的动能：刚体质心的平动动能刚体绕质心的转动动能221122kccEmvJ刚体的势能视为是质心的势能，即：TcPFma例1(P140)一绳索缠绕在半径为R、质量为m的均匀圆盘的圆周上，绳的另一端悬挂在天花板上(图4-32)。设绳的质量忽略不计，求：(1)圆盘质心的加速度；(2)绳的张力。质心的平动：212TcF RJmR刚体绕质心的转动： 解解1 用转动定律求解：作用在圆盘上的力用转动定律求解：作用在圆盘上的力有重力有重

17、力 和绳索的张力和绳索的张力 ,建立坐标建立坐标 。PTFymRcPmgTFy圆盘质心相对天花板的加速度经过圆盘质心的转轴的角加速度caRa圆盘滚动时，绳索相对于圆盘质心的加速度：代入上式：212cTaF RmRR12TcFma即：所以：13TFmg23cag 解解1 用功能原理求解：系统：绳索、圆盘、地球。用功能原理求解：系统：绳索、圆盘、地球。221122ccEmvJmgy 恒量系统满足机械能守恒定律，有：对t求导，有：cccdvdydmvJmgdtdtdt 0其中：,ccccdvdydavdtdtdt23cag,ccaRvR且：作业： P155 4-34经典物理：伽利略时期19世纪末 经

18、过300年开展，到达全盛的“黄金时代构成三大实际体系1. 机械运动: 以牛顿定律和万有引力定律为根底的 经典力学2. 电磁运动: 以麦克斯韦方程组为根底的经典电磁学3. 热运动：以热力学三定律为根底的热力学宏观实际 分子热运动为根底的统计物理学微观实际 在牛顿定律根底上建立的力学实际体系称为牛顿力学或经典力学。成就：经典力学是物理学中较早地开展成为实际严密、体系完好、运用广泛的一门学科，并且还是经典电磁学和经典统计力学的根底。促进了蒸汽机和电机的发明，为产业革命和电力技术革命奠定了根底。科学技术的开展，如智能技术、信息技术、资料科学、生命科学等技术，经典力学还是极为重要的根底之一。质点力学和刚

19、膂力学流膂力学、弹性力学、构造力学等多门工程力学学科均属于牛顿力学或经典力学的范畴。可以一定，在科学技术今后的开展中，它仍将发扬其不可替代的作用。局限性：物理学家感到骄傲而满足，两个事例：物理学家感到骄傲而满足，两个事例：在曾经根本建成的科学大厦中，后辈物理学家只需做一些零碎的修补任务就行了。也就是在丈量数据的小数点后面添加几位有效数字而已。 开尔芬1899年除夕实际物理实践上曾经完成了，一切的微分方程都曾经解出，青年人不值得选择一种未来不会有任何开展的事去做。 约利致普朗克的信正当物理学家们为经典物理学的成就感到称心的时候，一些新的实验现实却给经典物理学以有力的冲击，这些冲击主要来自以下三个

20、方面。1887年的迈克耳孙莫雷实验否认了绝对参考系的存在；1900年瑞利和金斯用经典的能量均分定理来阐明热辐射景象时，出现了所谓的“紫外灾难；1896年贝克勒尔初次发现放射性景象，阐明原子不是物质的根本单元，原子是可分的。 经典物理实际无法对这些新的实验结果作出正确的解释，从而使经典物理处于非常困难的境地，也使一些物理学家深感困惑。 1905年爱因斯坦建立了狭义相对论、1925年前后建立了量子实际对实验结果作出正确的解释。一、经典力学只适用于处置物体的低速运动问题，一、经典力学只适用于处置物体的低速运动问题，而不能用于处置高速运动问题而不能用于处置高速运动问题1.牛顿力学的相对性原理和伽利略变

21、换研讨的问题: 在两个惯性系中调查同一物理事件实验室参考系运动参考系牛顿力学的绝对时空：长度和时间的丈量与参照系无关。在不同的惯性系中，调查同一物理事件。开场两个参考系对表开场两个参考系对表问题：问题：P与与重合时，重合时，oo0ttSoyxoS y xurr,xxyyzzvvu vv vv一伽利略变换一伽利略变换 Galilean transformationt时辰，物体到达P点S,rxyz t, ,vx y z taS ,rxy z t ,vxyz t a分量式,xxut yy zz tt,xxutyy zz tt正变换逆变换速度变换,xxyyzzvvu vv vv正变换逆变换drvdtd

22、rvdt加速度变换,xxyyzzduaaaa aadt,xxyyzzduaaaa aadt.uconstxxyyzzaaaaaa 正变换逆变换惯性系在两个惯性系中aa FmaFma二牛顿的相对性原理 Newton Principle of relativity:,SF m a牛顿力学中：牛顿力学中：相互作用是客观的，分析力与参考系无关。质量的丈量与运动无关。:,SFm a宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中方式一样。或 牛顿力学规律在伽利略变换下方式不变。或 牛顿力学规律是伽利略不变式。3) 高速运动的粒子001 c与参照系无关与参照系无关牛顿力学的困难：2) 光速C 在哪个参考系中测的? 1

23、) 电磁场方程组不服从伽利略变换1. 伽利略变换不是经典电磁定律的对称操作带电粒子受力：带电粒子受力：BvqEqF洛仑兹力电场力 因速度 与参考系有关，所以经伽利略变换后洛仑兹力将发生变化，经典电磁定律不具有伽利略变换的不变性。推行：一切与速度有关的力都不具有伽利略变换的不变性。vsinqvBF 洛仑兹力：垂直于 决议的平面vB,2. 与高速运动(光的传播)的实验结果不符真空中的光速： c由经典电磁实际-1800sm1031c与参考系选择无关由伽利略变换速度与参考系选择有关。彼此矛盾！彼此矛盾！地地对对车车光光对对地地光光对对车车vvvuuc )(uc双星察看实验枪沿圆周运动，并以恒定速率 u

24、 发射子弹。对双星星光的观测，没有类似结果！光速与光发射体的运动无关，不服从伽利略变换。实验检验：察看者接纳到的子弹密度会呈周期性变化。枪枪对对地地弹弹对对枪枪弹弹对对地地vvv 相对性原理的普遍性对称性伽利略变换经典力学电磁学定律三者无法协调处理困难的途径： 否认相对性原理的普遍性，成认惯性系对电磁学定律不等价，寻觅电磁学定律在其中成立的特殊惯性系。 改造电磁学实际，重建具有对伽利略变换不变性的电磁学定律。 重新定位伽利略变换，改造经典力学，寻求对电磁实际和改造后的力学定律均为对称操作的“新变换。无一例外遭到失败，爱因斯坦选择 获得胜利。爱因斯坦的选择来自坚决的信心： 自然的设计是对称的，不仅力学规律在一切的惯性系中有一样的数学方式，一切的物理规律都应与惯性系的选择无关。 实验结果阐明，在一切惯性系中，真空中的光速恒为c ，伽利略变换以及导致伽利略变换的牛顿绝对时空观有问题，必需寻觅新的变换，建立新的时空观。 “爱因斯坦把方法倒了过来，他不是从知的方程组出发去证明协变性是存在的，而是把协变性该当存在这一点作为假设提出来，并且用它演绎出方程组应有的方式。 洛仑兹“我尊崇的迈克尔孙博士，您开场任务时，我还是个孩子，只需1米高，正是您将物理学家引向新的道路，经过您精深的实验任务，铺平了相对论开展的道路，您提示