湖南长郡实验中学20某年高三数学模拟试卷(含解析)

1、湖南长郡中学2020年高三数学模拟试卷文 科 数 学注意事项：1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，若，则（ ）ABCD2若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A的虚部为BC的共轭复数为

2、D为纯虚数3设，则（ ）ABCD4九章算术卷第六均输中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容，各多少”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变小在这个问题中的中间两节容量和是（ ）A升B2升C升D3升5函数的图像大致为（ ）ABCD6某年级有学生560人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为80的样本，把学生编号为1560号，已知编号为20的学生被抽中，则样本中编号最小的是（ ）A004B005C006D0077在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设是非零实数，且满足，则（ ）A4BC2D8若向量，的夹角为，且，则向量与向

3、量的夹角为（ ）ABCD9我国古代名著庄子·天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（ ）A，B，C，D，10如图，过双曲线的右焦点作轴的垂线交于，两点（在的上方），若，到的一条渐近线的距离分别为，且，则的离心率为（ ）ABCD11在中，角，所对应的边分别为，若，则面积的最大值为（ ）ABCD12过椭圆的中心任作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（ ）A12B14C16D18第卷二、填空题

4、：本大题共4小题，每小题5分13记Sn为等比数列an的前n项和若，则_14已知，则_15已知函数，若曲线在点，（，其中互不相等）处的切线互相平行，则的取值范围是_16已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为_三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知某学校的特长班有名学生，其中有体育生名，艺术生名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于次/分到次/分之间，现将数据分成五组，第一组，第二组，第五组，按上述分组方法得到的频率分布直方图如

5、图所示因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若前两组的学生中体育生有8名（1）根据频率分布直方图及题设数据完成下列2×2列联表心率小于60次/分心率不小于60次/分合计体育生20艺术生30合计50（2）根据（1）中表格数据计算可知，_(填“有”或“没有”)995%的把握认为“心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关”0150100050025001000050001k02072270638415024663578791082818（12分）等差数列的前项和为，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和满足，求的值19（12分

6、）如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点（1）证明：平面；（2）设，三棱锥的体积，求A到平面PBC的距离20（12分）已知函数（1）证明：；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围21（12分）已知动圆与直线相切，且与圆外切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）点O为坐标原点，过曲线外且不在y轴上的点作曲线的两条切线，切点分别记为，当直线与的斜率之积为时，求证：直线过定点请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴的平面直角坐标系中，曲线（为参数）（1）将化为直角坐标

7、系中普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若极坐标系中上的点对应的极角为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值23（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数（1）解不等式：；（2）若对一切实数均成立，求的取值范围5长郡中学文科数学答案第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】A【解析】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得，2【答案】D【解析】，的虚部为，A错误；，B错误；，C错误；，为纯虚数，D正确，本题正确选项D3【答案】C【解析】由题意可得，指数函数单调递减，故，综上可得，故选C4【答案】C【解析】设竹九

8、节由上往下的容量分别为，由题意可知，解得，所以问题中的中间两节容量和为，故选C5【答案】C【解析】，即是奇函数，图象关于原点对称，排除B；当时，恒成立，排除A，D，故选C6【答案】C【解析】样本间隔为，则，则样本中编号最小的是006，故选C7【答案】D【解析】不等于零，令，所以，故本题选D8【答案】B【解析】设向量与的夹角为，因为，的夹角为，且，所以，所以，又因为，所以，故选B9【答案】D【解析】根据题意可知，第一天，所以满足，不满足，故排除A、B；由框图可知，计算第二十天的剩余时，有，且，所以循环条件应该是故选D10【答案】B【解析】易知的坐标分别为，图中对应的渐近线为，则，故选B11【答案

9、】A【解析】由正弦定理得，由余弦定理得，即，当且仅当，时取等号，则，所以面积的最大值1故选A12【答案】D【解析】由椭圆的对称性可知，两点关于原点对称，设为椭圆另一焦点，则四边形为平行四边形，由椭圆定义可知：，又，又为椭圆内的弦，周长的最小值为，本题正确选项D第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以，又，所以，所以14【答案】【解析】因为，所以，即，所以，故答案是15【答案】【解析】函数，曲线在点，其中互不相等）处的切线互相平行，即在点处的值相等，画出导函数的图象，如图，当时，当时，必须满足，故答案为16【答案】6【解析】设两圆的圆心为，球

10、心为，公共弦为，中点为，因为球心到这两个平面的距离相等，则为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为，又，这两个圆的半径之和为6三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）列联表见解析；（2）有【解析】（1）根据频率分布直方图可知，前两组的学生总数为(00320008)×5×5010，又前两组的学生中体育生有8名，所以前两组的学生中艺术生有2名，故2×2列联表如下：心率小于60次/分心率不小于60次/分合计体育生81220艺术生22830合计104050（2）由（1）中数据知，故有的把握认为“心率小于次/分与常年进行系统

11、的身体锻炼有关”18【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，则有，解得，则，又，即，所以（2）依题意得：又，则，因为在上为单调递增函数，所以19【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）设交于点，连结，因为为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面AEC，平面，所以平面AEC（2）方法1：，由，可得，作交于，由题设易知平面，所以，故平面，又，所以到平面的距离为方法2：等体积法，由，可得，由题设易知平面，得，假设到平面的距离为，又因为，所以，又因为，所以20【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）令，有，令，可得，故函数的增区间为，减区间为，故有（2）由，当时，此时函数的减区间为，没有增区间；当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为若函数有两个零点，必须且，可得，此时，又由，当时，由（1）有，取时，显然有，当时，故函数有两个零点时，实数的取值范围为21【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）设动圆圆心，由于圆M与直线相切，且与圆外切利用圆心到直线的距离和圆的半径和圆心距之间的关系式，可知的轨迹方程为（2）设直线，因为，所以两条切线的斜率分别为，则直线的方程是；直线的方程是两个方程联立得点坐标为，由，联立得，故直线过定点22【答案】（1），为圆心是，半径是4的圆；，为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆；（2）【解析】