第八章演示文稿

1、第第8章章 相量法相量法重点：重点： 正弦量的相量表示、用相量运算替代正弦量运算正弦量的相量表示、用相量运算替代正弦量运算 电路定律的相量表示电路定律的相量表示 正弦量的三要素、相位差及有效值正弦量的三要素、相位差及有效值 8. 1 复数复数 1. 复数的表示形式复数的表示形式 +1+j0FbajbaF Fb+1+ ja0|F| 代数形式代数形式：F=a+j b三角形式：三角形式： 向量形式向量形式：一个复数：一个复数F在复平面上在复平面上可以用一条从原点可以用一条从原点O指向指向F对应坐标对应坐标点的有向线段表示。点的有向线段表示。)sin(cossincos jFFjFF 取复数的实部和虚

2、部分别表示为：取复数的实部和虚部分别表示为： ReF = a，ImF = b ab |F| : 称为复数的模称为复数的模 : 称为复数的辐角称为复数的辐角 指数形式：指数形式： FF 极坐标形式是复数的三角形式和指数形式的简写极坐标形式是复数的三角形式和指数形式的简写利用欧拉公式：利用欧拉公式： sincosjej jeFF Fb+1+ ja0|F| 极坐标形式：极坐标形式：在正在正弦电路的分析中，常常涉及到复数的代数形式与极坐弦电路的分析中，常常涉及到复数的代数形式与极坐标形式之间的相互转换标形式之间的相互转换1）F=a+j b FF abarctg ;22 baF 2） FFF=a+j b

3、 sin;cosFbFa * 两种转换中均要注意两种转换中均要注意 所在的象限，从而确定所在的象限，从而确定 的大小的大小例：例：将以下复数转换为极坐标形式将以下复数转换为极坐标形式 F1 = 3 + j4 ；F2 = 3 3 j4 4；F3 = - -3+j4； F4 = -3 -3 j4 4 解：解：有有 F1 = 3 + j4 = 553.13F2 = 3 - - j4 = 5- -53.13F3 = 33 j4 F4 = 3 -3 - j4 = - (3 - (3 j4)=- -553.13= 5- -126.8713.5334- - - - arctg 54322 由由 13.533

4、4 arctg = 5126.87 = - (3 - - (3 - j4) =- -5- -53.13 +1+ j0 - -3+4F3= 126.87 - -4F4= - -126.87 a. 复数相加和相减的代数运算必须用代数形式进行复数相加和相减的代数运算必须用代数形式进行b. 复数的加减运算也可用四边复数的加减运算也可用四边形法则在复平面上进行形法则在复平面上进行F = F1 + F2+1+ j0F1F22. 复数的运算复数的运算 复数的加减运算复数的加减运算例如：设例如：设F1 =a1+jb1, F2 =a2+jb2, 则则)()(221121jbajbaFF )()(2121bbja

5、a 复数的乘除运算复数的乘除运算a. 复数的乘除运算可以用代数形式进行复数的乘除运算可以用代数形式进行例如：设例如：设F1 =a1+jb1, F2 =a2+jb2, )(221121jbajbaFF 221121jbajbaFF 2222211222222121)()()()(bababajbabbaa - - 则则 )()(12212121babajbbaa - - )()(22222211jbajbajbajba- - - - 2121 FFb. 复数的乘除运算也可以用指数形式和极坐标进行复数的乘除运算也可以用指数形式和极坐标进行 212121 jjeFeFFF 2121221121 -

6、- FFFFFF两个复数的相乘，用指数形式进行两个复数的相乘，用指数形式进行, 有有 两个复数的相除，用极坐标形式有两个复数的相除，用极坐标形式有用极坐标形式表示用极坐标形式表示, 有有221121 FFFF模相乘模相乘 辐角相加辐角相加 )(2121 jeFF复数复数 ej F逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度 ，模不变，模不变Fej 旋转因子旋转因子 另有另有 F=|F| , , Fej Fej Fj+10= cos + jsin = 1 则则 = |F| 1 |F| jjej 2sin2cos2 jjej- - - - - - - -)2sin()2cos()2( 1)sin()cos

7、()(- - jej+j 、 - -j 、 - -1 都可以看成旋转因子都可以看成旋转因子 由于由于所以所以 / 2 / 2 j , - - / 2 / 2 - - j , - - 1 , e j Fj+10jF 8.2 正弦量正弦量 凡按正弦（余弦）规律变化的电压、电流都称正弦量。凡按正弦（余弦）规律变化的电压、电流都称正弦量。* * 本书用余弦函数表示正旋量本书用余弦函数表示正旋量正弦量的优点：正弦量的优点： i ) 正弦量易于用旋转电机获得，为世界各国电力系统采用。正弦量易于用旋转电机获得，为世界各国电力系统采用。ii) 在线性电路中，只要激励是同频率的正弦量，则响应亦是在线性电路中，只

8、要激励是同频率的正弦量，则响应亦是 同频率的正弦量，这为应用相量法提供了可能。同频率的正弦量，这为应用相量法提供了可能。iii) 正弦量是周期量的特例，是分析其他周期量的基础。正弦量是周期量的特例，是分析其他周期量的基础。Ri 1. 正弦量的三要素正弦量的三要素(1) Im 幅值幅值 ( 振幅、振幅、 最大值最大值)(3) i = ( t + i )|t=0 初相位初相位(初相初相) ( t + i ): 称为称为i(t)相位角或相位相位角或相位(2)(2)(ittdd 角频率，单位：弧度角频率，单位：弧度/ /秒秒( (rad/s) 以电流为例以电流为例)cos(I)(mitti 正弦量的三

9、要素正弦量的三要素 T = 2 ， = 2 /T = 2 f , f 的单位为赫兹的单位为赫兹Hz(1/s) 与与正弦量的周期正弦量的周期T和频率和频率f 的关系：的关系： i与计时零点选择有关，通常与计时零点选择有关，通常| i | ，即在主值范围取值。，即在主值范围取值。 i(t)=Imcos( t + i )I Imi = 0 ti 2 i tiImi 0 i2. 同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差 (phase difference) 设设 u(t)=Umcos( t + u), i(t)=Imcos( t + i) u与与i 的相位差的相位差 j j = ( t+ u)- -

10、( t+ i)= u- - i常数常数 j j 0， u 领先领先( 超前超前 )i ，或，或 i 落后落后( 滞后滞后 ) uj j 0， i 领先领先(超前超前) u，或，或u 落后落后(滞后滞后) i* *不同频率正弦量无固定的相位关系不同频率正弦量无固定的相位关系 tu, iu i u ij j0规定：规定： | j j | (180)特殊相位关系：特殊相位关系：j j = 0， 同相：同相： tu, i u i0j j = ( 180o ) ，反相：，反相： tu, iu i0 tu, iu i0 j j = 90，称为正交，称为正交 u 领先领先 i 90或或 i 落后落后 u 9

11、0 3. 正弦量的有效值正弦量的有效值 (effective value)i）周期量的有效值：）周期量的有效值：是一个在效应（如热效应）上与周期是一个在效应（如热效应）上与周期 量在一个周期内的平均效应相等的直流量。量在一个周期内的平均效应相等的直流量。 TTTdtiRtdiRdttpW02002)( tdiRRTIT 022 令令RTIW2 设周期电流设周期电流i 通过电阻通过电阻R，电阻一周期内吸收的能量为：电阻一周期内吸收的能量为：Ri设直流电流设直流电流I通过电阻通过电阻R，电阻在时间电阻在时间T内吸收的能量为：内吸收的能量为：RI解得：解得： TdttiTI02)(1此即有效值的定义

12、，此即有效值的定义，又称为又称为均方根值均方根值电压有效值为电压有效值为 TttuTU02d)(1设设 i(t)=Imcos( t + i )，ttITITid ) (cos1022m TtttttTTT2121d2)(2cos1d ) (cos0002 ii）正弦电流、电压的有效值）正弦电流、电压的有效值 IIIITITI2,707. 0221 mmm2m 即有即有 ) cos() cos()(m tItIti2因此，因此，I 可以替代可以替代Im作为正弦量的一个要素，即作为正弦量的一个要素，即工程中一般说正弦电压、电流的大小都指有效值。如测量工程中一般说正弦电压、电流的大小都指有效值。如测

13、量 仪表上的刻度，设备名牌上的额定电压、电流均指有效值。仪表上的刻度，设备名牌上的额定电压、电流均指有效值。 但电器设备的绝缘水平但电器设备的绝缘水平 耐压值按最大值考虑。耐压值按最大值考虑。注意注意: 只适用正弦量，其他周期量的最大值与有效值之只适用正弦量，其他周期量的最大值与有效值之 间无间无 倍的关系。倍的关系。I2Im 2又又所以所以 8. 3相量法的基础相量法的基础 1. 相量法的理论基础相量法的理论基础 在线性电路中，在线性电路中，若激励是正弦量若激励是正弦量，则电路中各支路的电压和，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量；若电路中有多个同频电流的稳态响应将是同频率

14、的正弦量；若电路中有多个同频率激励源时，根据线性电路的叠加定理，则率激励源时，根据线性电路的叠加定理，则电路的全部稳态电路的全部稳态响应都将是同频率的正弦量响应都将是同频率的正弦量 这是一个基本的结果。这是一个基本的结果。从电路分析中常涉及到的计算看：有正弦量乘常数（欧姆定从电路分析中常涉及到的计算看：有正弦量乘常数（欧姆定律），正弦量的微分、积分（电感、电容电路的电压电流约律），正弦量的微分、积分（电感、电容电路的电压电流约束关系），同频率正弦量的代数和（束关系），同频率正弦量的代数和（KCL和和KVL）等运算，）等运算，其结果仍是一个同频率的正弦量。其结果仍是一个同频率的正弦量。 基于以上

15、原因，在同频正弦量的电路计算中，基于以上原因，在同频正弦量的电路计算中，是已知的常是已知的常数，正弦量的三要素已退化成两个要素，有效值（最大值）数，正弦量的三要素已退化成两个要素，有效值（最大值）和初相，注意到一个复数（相量）也有两个要素：模和辐角，和初相，注意到一个复数（相量）也有两个要素：模和辐角，这使得可用复数表征一个正弦量的信息（要素）。这使得可用复数表征一个正弦量的信息（要素）。 电工技术中的非正弦周期函数，可以分解成频率为整数倍的电工技术中的非正弦周期函数，可以分解成频率为整数倍的正弦函数的无穷级数，最终归结为这里讨论的正弦稳态分析。正弦函数的无穷级数，最终归结为这里讨论的正弦稳态

16、分析。)(2RetjjeIe 2. 正弦量的相量正弦量的相量 )cos(2 tIi复函数复函数)tj(e2)( ItF) sin(2) cos(2 tIjtI则则由由i的有效值和初的有效值和初相角构成的复常数相角构成的复常数即即i与与 jeI构成了一一对应关系构成了一一对应关系 称称 jeI称为正弦量称为正弦量 i(t) 的的相量相量, 并记为并记为 IIeIj )(RetF 2Re)( tjIe解解：A30100o I已知已知例例1 1. .试用相量表示试用相量表示 i, u 。i =141.4cos(314t +300)Au =311.1cos(314t-600)V)cos(2)( tUt

17、u正弦量的相量表示正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位对于正弦电压对于正弦电压 V60220o - - U UU解解： A)cos(o15314250 ti例例2.试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。. 50Hz A,1550o fI已知已知总之总之, , 由正弦量与它相应相量之间的一一对应关系由正弦量与它相应相量之间的一一对应关系, , 给出一给出一个正弦量个正弦量, , 就可以写出它相应的相量就可以写出它相应的相量; ; 反之反之, , 知道一个正弦知道一个正弦量的相量量的相量, ,

18、则该正弦量也就被确定。则该正弦量也就被确定。 3. 相量图相量图iiIItosIti ) (c)(2uuUUtosUtu )(c2)( i uU I相量图相量图: 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。4. 正弦量运算转换为相应相量运算正弦量运算转换为相应相量运算 (1) 同频率正弦量的代数和同频率正弦量的代数和)2(R) cos(2)(j1111teUetUtu )()( )(21tututu )2(R)2(Rj2j1tteUeeUe )22(R j2j1tteUeUe teUUe j21)(2R而而 teUetu j2R)(所以：所以：

19、 teUe j2R teUUe j21)(2R21UUU 上对任何上对任何t 都成立，所以总有：都成立，所以总有：)2(R) cos(2)(j2222teUetUtu 拓展到拓展到n个同频率正弦量的代数和，有：个同频率正弦量的代数和，有：nuuuu 21nUUUU 21niiii 21nIIII 21即，正弦量的加减运算对应着其相应相量的加减运算。即，正弦量的加减运算对应着其相应相量的加减运算。i2i1i解：解：1）由）由KCL，有：，有：)30cos(6)45cos(22 tt )45sinsin45cos(cos22tt - - )30sinsin30cos(cos6tt - - Attt

20、)38cos(23. 5sin22. 3cos12. 4 - - 例例1：电路如图，电路如图，,)30cos(62Ati 求电流求电流i 。,)45cos(221Ati 解：解：2）由已知，有：）由已知，有：AjI224521 AjI866. 05 . 0303,2 则则 i 的相量为：的相量为：AjIII3869. 328. 291. 221 所以所以Ati)38cos(269. 3 21iii 同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。V )9 .

21、41314cos(267. 9)()()(o21 ttututuV604 V, 306o2o1 UU464. 6196. 7j 60430621 UUU464. 323196. 5jj V 9 .4167. 9o +1 +j301U602U9 .41U+1j301U9 .41U602U例例2： V )60314cos(24)(V, )30314cos(26)(o21 ttuttu求求 u = u1+ u2 。解：解：有：有：（2）正弦量的微分）正弦量的微分 证明：证明：iII tdid 的相量为：的相量为：2 iIIj) cos(2)(itIti 设设问题问题：已知正弦电流：已知正弦电流i （

22、它的相量为（它的相量为 I）, di/dt是与是与i 同频率的同频率的正弦量，求正弦量，求di/dt的相量的相量 。 结论结论： di/dt的相量为的相量为 Ij 则则dtdi2 RetjeIdtd )(2RetjeIj )2(RetjeIdtd (3) 正弦量得积分正弦量得积分证明：证明：iII )cos(2itIi 设设 idt问题问题：已知正弦电流：已知正弦电流i （它的相量为（它的相量为 I）, 正弦量，求正弦量，求是与是与i 同频率的同频率的 idt的相量的相量 。 idt 结论结论：的相量为的相量为 idt jIdte Itj 2Re )2(Re dte Itj )(2Retjej

23、I 2 - - iIjIdti相相量量为为的的即：即： 小结小结 正弦量正弦量相量相量时域时域 复数域复数域 同频正弦量的运算转化为相应相量的运算同频正弦量的运算转化为相应相量的运算iII ) cos(2)(itIti uUU ) cos(2)(utUtu nnIIIIiiii 2121 di/dt 的相量为的相量为 Ij 的相量为的相量为 jI idt例例3：已知：已知：Ati)45314cos(2301 Ati)45314cos(2302- - 求电流求电流 i 。解：解：由由KCL: i = i1 + i2 ，故，故AI01453 AI02453- - 45345321- - III23

24、223223223 - - jjAti314cos6 ii2i1LCR1I2II+j+10平行四边形法则平行四边形法则8. 4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式1. KCL、KVL的相量形式的相量形式 0)(ti2. R、L、C 电路元件电压电流关系的相量形式电路元件电压电流关系的相量形式 电阻元件电阻元件)cos(2)()(itRItRitu )cos(2)(itIti 已知：已知：则则iII 故故IRRIUUiu 0U 0I 0)(tuU u+- -u(t)i(t)R即即IRU RIU iu 电阻的电压与电流同相位电阻的电压与电流同相位相量模形相量模形Iiu U+- -RUI 电感元件

25、电感元件)90cos(2d)(d)(o itILttiLtu )cos(2)(itIti iII uUU LIU 90 iu 电压超前电流电压超前电流90 UI相量图相量图i ILjU Uu 90 i LI i(t)u (t)L+- -时域模型时域模型+- -相量模型相量模型j LUI)90(cos2d)(d)(o utCUttuCti 电容元件电容元件)(cos2)(utUtu uUU iII ICjU 1- - 90- - iu U=I / C电压滞后电流电压滞后电流90 i IIU相量图相量图u UCjI CU 90 u - -时域模型时域模型i (t)u(t)C+- -+相量模型相量模

26、型IUCj 1线性受控源亦可用相量法处理线性受控源亦可用相量法处理 时域：时域：uk = uj相量形式：相量形式：jkUU 小结小结：在在关联关联参考方向下参考方向下相量形式的欧姆定律相量形式的欧姆定律以以VCVS为例为例电压与电流同相位电压与电流同相位电压超前电流电压超前电流90 电压滞后电流电压滞后电流90 R: L: C: IRU Riu ILjU dtdiLu ICjU 1- - idtCu1例例1. 电路如图，已知电路如图，已知 求稳态解求稳态解 i 。 ,)cos(2VtUuus 解：解：由由KVL，有，有CLRSuuuu idtcdtdiLRi1从数学方法上，可用待定系数法求它的

27、特解，即稳态解从数学方法上，可用待定系数法求它的特解，即稳态解i。现用相量法：现用相量法：对上面的方程取相量，有对上面的方程取相量，有 ICjILjIRUS 1- - iSICjLjRUI - - 1则则 )cos(2itIi L+ iRCus+uR + uc uL + + R+j L Cj 1- -LURUCUsU+ + I解：解：AIS05 CLRUUU 例例2. 电路如图，已知电路如图，已知 R=3 ，L=1H，C=1 F， =314 rad/s， 求求uad、ubd 。,cos25Atis A015 cdbcabadUUUU s ICjs ILjs IR 1- - s ICjLjR)1

28、( - - Vs ICLj0)1( - - CLbdUUU s ICjs ILj 1- - 0,)1000(cos215 bdaduVtui+buLLaisRcd+ C+ uR uc b+aRcd+ + j LSIRUCj 1- -ILUCU例例3. 电路如图，各电流表的读数（有效值）分别为电路如图，各电流表的读数（有效值）分别为 A1：5 A、 A2：20 A、A3：25 A，求电流表，求电流表A、A4 的读数。的读数。令令VUssU0 则则AI051 AjI2090202- - - - AjI2590253 由由 KCLAjjjIII52520324 - - A.jIII450775541 所以，所以，A 的读数是的读数是7.07A，A4 的读数是的读数是5A 解解:+- -RIsU1I3I4I2ICj 1- -AA1A2A4A3j L例例4. 电路如图，已知电压表的读数（有效值）分别是电路如图，已知电压表的读数（有效值）分别是 V2：60 V、 V3：20 V， Us=50 V，求电压表，求电压表V1 的读数。的读数。令令AII0 则则V0 RRUUV9060