复变函数试题库

1、1、复变函数论试题库梅一A111复变函数考试试题(一)10.若z0是f(z)的极点,则limf(z)zZ0dz|zzo11(zz0)n三.计算题(40分)：(n为自然数)2_2_2.sinzcosz3.函数sinz的周期为f-.7、3-4 .设z1,则f(z)的孤立奇点有.5 .哥级数nzn的收敛半径为.n06 .若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是什limzn7.若nlim,则nZiz2znnzeRes(=Q)8.z,其中n为自然数.sinz9.的孤立奇点为zf(z)1.设内的罗朗展式11(z1)(z2)求f(z)在Dz:0|z|1dz.2 .|z|1cosz,、3271一.3 .设

2、,c其中C(z:|z|3,试求f'(1i).z1w4 .求复数z1的实部与虚部.四.证明题.(20分)1 .函数f(z)在区域D内解析.证明：如果|f(z)|在D内为常数,那么它在D内为常数.2.试证：f(z)7z(1z)在割去线段0Rez1的z平面内能分出两个单值解析分支，并求出支割线0Rez1上岸取正值的那支在z1的值.复变函数考试试题(二)填空题.(20分)1 .设zi,则|z|,argz,z2 .设f(z)(x22xy)i(1sin(x2y2),zxiyC三.计算题.(40分)3、1 .求函数Sin(2z)的哥级数展开式.r2 .在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定

3、函数Vz在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点zi处的值.3.|zzo|dz1(zzo)n.(n为自然数)i3.计算积分：IJz|dz,积分路径为(1)单位圆(|z|1)的右半圆.4.哥级数nzn的收敛半径为n05 .若zo是f(z)的m阶零点且m>0,则zo是f'(z)的零点.6 .函数ez的周期为.537 .万程2zz3z80在单位圆内的零点个数为，1，8 .设f(z)2,则f(z)的孤立奇点有.1z9.函数f(z)|z|的不解析点之集为.4.求10.y，1)iz2sinzdz四.证明题.(20分)1 .设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)

4、在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.2 .试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题(三)二.填空题.(20分)1 一.、1 .设f(z)一，则f(z)的定义域为.z12.函数ez的周期为.3.4.5.若zn-2i(1-)n,则limZn1nnn.227sinzcosz.dz|ZZ011(zz0)n.(n为自然数)6 .哥级数nxn的收敛半径为.n0一17 .设f(z)F；,则f(z)的孤立奇点有z18 .设ez1,则z2.3.4.四.1.试求哥级数n算下列积分:r966求z2zn!zn的收敛半径.黑，其中C是|z|1.Cz2(z29)z28z20在|z|<1内根的个数.证明

5、题.(20分)函数f(z)在区域D内解析.证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在D内为常数.2.设f(z)是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数9 .若马是f(z)的极点，则limf(z)zz0z_e一10 .Res(en,0).z三.计算题.(40分)11.将函数f(z)z2ez在圆环域0z内展为Laurent级数.r及m使彳#当|z|R时|f(z)|M|z|n,证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题(四)二.填空题.(20分)1 口加1 .设z，则1 i2.若lim4,则n3.|z|2(9z2)(z一dz.i)4.一-z函数f(z)e1z有哪些奇点

6、？各属何类型(若是极点，指明它Rez,Imzlimz1z2znnn3 .函数ez的周期为.一，1，一，4 .函数f(z)r的寨级数展开式为1z25 .若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是.6 .若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的.7 .设C:|z|1,则(z1)dz.Csinz_一8 .的孤立奇点为.9 .若马是f(z)的极点，则limf(z).zz0ze10 .Res(-,0).z三.计算题.(40分)31 .解方程z10.ze2 .设f(z)，求Res(f(z),).z1的阶数).四.证明题.(20分)1 .证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f

7、(z)在下半平面解析.2 .证明z46z30方程在1|z|2内仅有3个根.复变函数考试试题(五)二.填空题.(20分)1 .设z173,则|z|,argz,zz2 .当z时，e为实数.3 .设ez1,则z.z4 .e的周期为.5 .设C:|z|1,则(z1)dz.Cez1小6 .Res(,0).z7 .若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是的。一，1，一，8 .函数f(z)2的哥级数展开式为1 z2sinz9. 的孤立奇点为.、几一E110.设C是以为a心，r为半径的圆周，则dzC(za)n(n为自然数)三.计算题.(40分)z11 .求复数的实部与虚部.z12 .计算积

8、分：IlRezdz,在这里L表示连接原点到1i的直线段.，2d3 .求积分：I,其中0<a<1.012acosa4 .应用儒歇定理求方程z(z),在|z|<1内根的个数，在这里(z)在|z|1上解析，并且|(z)|1.四.证明题.(20分)21 .证明函数f(z)|z|除去在z0外，处处不可微.2 .设f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n,以及两个数R及m,使得当|z|R时|f(z)|M|z|n,、,ix10.公式ecosxisinx称为1、limn3,试求f(1i).证明：f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.复变函数考试试题(六)1.一、填空题(20分)n21

9、°一1.若zni(1)n,则limzn.1nn12. 设f(z),则f(z)的定义域为z21.3. 函数sinz的周期为.一一224. sinzcosz.5. 哥级数nzn的收敛半径为.n06 .若z0是f的m阶零点且m1,则z0是f(z)的零点.7 .若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是.8 .函数f(z)z的不解析点之集为.、53.、.9 .方程2zz3z80在单位圆内的零点个数为.二、计算题(30分)3712、设f(z)cd，其中Cz:zze3、设f(z),求Res(f(z),i).z1sinz34、求函数6在0z内的罗朗展式zz1,5、求复数w的实部与虚部.z1-i6

10、、求e3的值.三、证明题(20分)1、方程z79z66z310在单位圆内的卞的个数为6.2、若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数,则f(z)在D恒等于常数13、若4是f(z)的m阶零点，则z0是的m阶极点.f二.填空题1.试卷一至十四参考答案复变函数考试试题(一)参考答案6.计算下列积分.(8分)2.1;3.2k，(kz)5.odz;(2)口一dz.zi2/、2iz4z2(z3)(z2)一，2d7.计算积分一d.(6分)053cos8.求下列哥级数的收敛半径.(6分)nn(1I)z;n1(2)(n!)2nnznin9.设f(z)my3nx2yi(x3Ix

11、y2)为复平面上的解析函数，试确定l,m,n的值.(6分)三、证明题.1 .设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数.(5分)2 .试证明azazb0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数.(5分)6.整函数;7.；8.(n1)!9.0；10.三.计算题.1.解因为0f(z)1,所以0(z1)(z2)2.解因为z一Resf(z)lim2z2cosz(f)n.limz2sinz1,Resf(z)z_2z-lim2zcosz21.lim1.z_sinz2令f(z)uiv,则f(z)2u2v2c2.两边分别对x,y求偏导数，得uuxvvx0(1)UUyWy0(

12、2)2i(Resf(z)z_2Resf(z)0.z_223.解令()371,则它在z平面解析，由柯西公式有在z3，1所以dz|z|2cosz内，f修2i.所以f(1i)2i(z)z1i2i(136i)2(613i).4.解令zabi,则因为函数在D内解析，所以uxvy,uyVx.代入(2)则上述方程组变为uuxWx022.消去ux得，(uv)vx0.vuxuvx0221) 若uv0,则f(z)0为常数.2) 若vx0,由方程(1)(2)及C.R.方程有ux0,uy0,vy0.所以uc1,vc2.(g。为常数).2(a1bi)12(a1)2b(a1)2b2(a1)2b2(a1)2b2._z1故R

13、e(-)1z12(a1)(a1)2b2Im(-z2b(a1)2b2所以f(z)Gic2为常数.四.证明题.2.证明f(z)Jz(1z)的支点为z0,1.于是割去线段0Rez1的1.证明设在D内f(z)C.z平面内变点就不可能单绕0或1转一周，故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发，连续变动到z0,1时，只有z的幅角增加.所以f(z)Jz(1z)的幅角共增加-.由已知所取分支在支割线上岸取正值于是可认为该分支在上岸之幅角为0,因而此分支在z1的幅角为一,2故f(1)、.2e2i.2i.复变函数考试试题(二)参考答案二.填空题2.3(1sin2)i；3.5.m6.2k(kz).7.

14、0;8.i；9.R；10.0.计算题3、1.解sin(2z)(1)n(2z3)2n1(1)n22n16nz0(2n1)!n0(2n1)!2.解令zreii2k则f(z)、,zre2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0.i_所以f(i)e4.3.单位圆的右半圆周为zei,-22i二ii;所以izdz2dee22i."22.4.解sinzL'|z22dz2i(sinz)(z-)2z2四.证明题.1.证明(必要性)令f(z)c12icoszz一2=0.6,则f(z)g心.(a。为实常数).令u(x,y)C1,v(x,y)C2.则Uxvyuyvx0.即u,v满足C.R.,

15、且Ux,Vy,Uy,Vx连续，故f(z)在D内解析.(充分性)令f(z)uiv,则f(z)uiv,因为f(z)与f(z)在D内解析，所以uxvy,uyvx,且ux(v)y,Hy(Y*)”.比较等式两边得uxVyuyvx0.从而在D内u,v均为常数，故f(z)在D内为常数.2.即要证任一n次方程a°znazn1anzan00)有且只有n个根证明令f(z)a0znazn1aniZan0cn2.解limlimnn!nn(n1)n1(n1)!nlim(一n)nnlim(1n1、n)e.na1anRmax-!：,1,1,a0(z)Rn1|ani|R由儒歇定理知在圆zR内,a°zn0有

16、相当z在C:zR上时anI(ai|an)Rn1忖0Rnf(z).方程a0zna1zn1an1zan所以收敛半径为e.3.解令故原式4.解令f(z)z2(z29)2iFze0sff(z)z92z6同个数的根.而a0zn0在zR内有一个n重根z0.因此n次方程在zR内有n个根.则在C:z由儒歇定理有N(f,C)四.证明题.1上f(z)与N(f,C)复变函数考试试题(三)参考答案1.证明证明二.填空题.1.zzi,2.2k(kz);3.1ei；4.1;5.6.1;7.8.z(2k1)i;9.10.(n1)!.计算题.1.2二1.解zezz2(112!z2n2z0n!耳臂f(z)2,(z)(z)均解析

17、，1.即在设在D内f(z)令f(z)uiv,则f(z)2两边分别对x,y求偏导数，得因为函数在uuxVUxD内解析，所以uxVVxUVx0.消去Ux得，(u0C.UUxUUyVy,Uy22、V)Vxzez298z.且f(z)vvy(z)8,故内，方程只有一个根.Vx.代入0.(2)则上述方程组变1)u2v20,则f(z)0为常数.2)若Vx0,由方程(1)(2)及C.R.方程有Ux0,Uy0,Vy0.所以UC1,VC2.(Ci,C2为常数).所以f(z)GiC2为常数.2.证明f(k)(0)取k!2lzl于是由r的任意性知对一切则对一切正整数k!Mrnk.rkn均有f(k)(0)0.n故f(z

18、)Cnzn,即f(z)是一个至多n次多项式或常数k0复变函数考试试题(四)参考答案.二.填空题.,111.,;2.;3.2ki(kz);4.22(1)nz2n(z1);5.整函数；n06.亚纯函数；7.0;8.z0;9.;10.1(n1)!.计算题.1.z2z32.3.4.kz31cos3cos5cos一32kzcos一isin一3isin5isin解Resf(z)故原式2原式21ez11,2,.1lim(z0ez13zez1i(Resf(z)z1iResf(z)zi3、3一i22kisine万，Resf(z)Resf(z)z=z(ez1)1)zezezezzez0,1,2i(ezi29z2令

19、z(ez1)z(ezez11)zlimz0eze1).zezze0,zz0为可去奇点2ki,当z2ki时，(k0),zez10(ez1)zez1zez而z2kiz2ki一阶极点.四.证明题.z2ki为1.证明设F(z)f(z),在下半平面内任取一点4,z是下半平面内异于zo的点，考虑.F(z)F(zo)f(z)f(£)fG)f(£)limlimlim.zzozz0zz0zz0zz0zz0而z0,z在上半平面内，已知f(z)在上半平面解析，因此F()f(z0),从而F(z)f(z)在下半平面内解析.42.证明令f(z)6z3,(z)z,则f(z)与(z)在全平面解析，且在C1

20、：z2上，f(z)15(z)16,故在z2内N(f,C1)N(,C1)4.在C2：|z1上，|f3|(z)1,故在z1内N(f,C2)N(f,C2)1.所以f在1z2内仅有三个零点，即原方程在1z2内仅有三个根.复变函数考试试题(五)参考答案1 .判断题.1 .，2.，3.><4.，5.><6.X7.X8.，9.，10.，.2 .填空题.1.2,-,1.3i;2.a2ki(kz,a为任意实数);33.(2k1)i,(kz);4.2ki,(kz);5.0;6.0;7.亚纯函数；8.(1)nz2n(z1);9.0;10.n02in1.0n1三.计算题.1 .解令zabi,则

21、212(a1bi)z1(a1)2b2故Re(-z-)1z12.解连接原点及12(a1)22(a1)b故Rezdzc2(a1)(a1)2b22b(a1)2b2Im)z12b22(a1)bi的直线段的参数方程为z(1i)t0t1,Re(1i)t(1i)dt(1dz.当a0时iz11ii)tdt022acos2/1、2(za)(1az)a1a(zz)adz1(za)(1az)1内f(z)只以复变函数考试试题(六)参考答案(za)(1az)无奇点，二、填空题：1.1ei2.3.24.15.Resf(z)za1azi4.解(Z)-2iResf(z),za令f(z)z,1f(z),所以在一个根.四.1.Ux1-2,(0a1a2-,(0af(z),1),由残数定理有1).(z)在z1内解析，且在C:z1上,1内，N(f,C)N(f,C)即原方程在1内只有6.10.欧拉公式三、计算题：办2i1.斛：因为I62故lim(一n2.解：1i119367.整函数1,68.9.证明题.证明因2x,Uy2y,VxVyu(x,y)y2,v(x,y)f(z)这四个偏导数在故f(z)只在除了z平面上处处连续，但只在z0外处