利用空间向量解立体几何

1、向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。基本思路与方法一、基本工具1 .数量积：ababcos2 .射影公式：向量a在b上的射影为加b3 .直线AxByC0的法向量为A,B

2、,方向向量为B,A4 .平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系1 .平行关系线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2 .垂直关系线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直线与面的法向量平行面面垂直两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离1 .点点距离点PXi,yi,Zi与QX2,y2,z2的距离为PQJ(X2Xi)2(y2yi)2匕1)22 .点线距离求点PXo,yo到直线l:AxByC0的距离:方法：在直线上取一点Qx,y,则向量PQ在法向量nA,B上的射影PQnAXoByoC|lnlJA2B2即为点P到l的距离.3 .点面距离求点P

3、Xo，yo到平面的距离：方法：在平面上去一点QX,y,得向量由计算平面的法向量n,计算与在上的射影，即为点P到面的距离.四、用向量法解空间角i.线线夹角（共面与异面）线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角4 .线面夹角求线面夹角的步骤:先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.5 .面面夹角(二面角)若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a,b所成角0,只要在两条异面直线a,b上各任取一个向量AABB',则角&

4、lt;M',BB'>=0或兀-0,因为0是锐角，所以cos0=产可，AA'BB'1、运用法向量求直线和平面所成角设平面的法向里为n=(x,y,线AB和平面0c所成的角0的正弦值为sin0=cos(j-0)=|cos<abAB?n向相2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向号为n,不需要用法向量。A1),则直/tn,n>1=/:n2，则<n1,n2>或兀-<nn,1>是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<”2>是所求，还是兀-<n1,n2>是所求角。:、运用法向量求空间距离

5、1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为n在a、b上任取一点A、B,则异面直线a、d=ABcos/BAA=|AB?n|n|，、，一一，一一一/，一，一，略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a为过F与a平行的直线，在a、b上任取一点A、B,过A作AA=EF,交a于A,贝UAFn,所以/BAA=<BA,n>（或其补角）1-I-异面直线a、b的距离d=ABcos/BAA=|AB?n|*|n|n?a0n?b0其中，n的坐标可利用a、b上的任一向量a,b（或图中的AE,BF）,及n的定义得解方程组可得n2、求点到面的距离求A点到平面口的距离，设平面口的法向量法为n（x，y，1

6、）,在口，-I-内任取一点B,则A点到平面口的距离为d=理组，n的坐标由n与|n|平面口内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述，若方程组无解，则法向量与XOYf面平行，此时可改设n(i,y,0),下同)。3、求直线到与直线平行的平面的距离距离d=0!|n|求直线a到平面0c的距离，设平面0c的法向量法为n(x,y,1),在直线a上任取一点A,在平面0c内任取一点B,则直线a到平面口的|n|a/n1/n24、求两平行平面的距离设两个平行设平面%、(3的公共法向量法为n(x,y,1),在平面、，I-B内各任取一点AB,则平面0c到平面B的距离d=幽生1三、证明线面、面面的平行、垂

7、直关系设平面外的直线a和平面口、B,两个面口、B的法向量为R,n2,a/n四、应用举例：例1:如右下图，在长方体ABCD-AiBGD中，已知AB=4,AD=3,AAi=2.E、F分别是线段ABBC上的点，且EB=FB=1.(1)求二面角C-DE-C的正切值；(2)求直线EC与FD所成的余弦值.解：(I)以A为原点，AB,AD,AA1分别为X轴，y轴,Z轴的正向建立空间直角坐标系，|则D(0,3,0)、D(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、叩C(4,3,2)_于是，DE(3,3,0),ECi(1,3,2),FDi(4,2,2)(x,y,2)与平面CiDE垂直，则有nDE3x3y0

8、nEC1x3y2z0设法向量n1,1,2),二向量AAi(0,0,2)与平面CDE垂直n-1所成的角为二面角CDE。1的平面角cosn?AA1tan|n|AAi|,22101022，114004E°x(II)设EC与FD所成角为(3,则cos1(4)3222|ECi|FDi|23222.(4)22222,2114例2:如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABC虑菱形，/DAB=60,PDL平面ABCDPD=AD点E为AB中点，点F为PD中点。(1)证明平面PEDL平面PAB(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：(1)面ABC虚菱形，/DAB=6&.ABD等边三角形，又E

9、是AB中点，连结BD./EDB=30,/BDC=60/EDC=90如图建立坐标系D-ECP设AD=AB=1贝UPF=FD1，ED=,P(0,0,1),E(J,0,0),B(於2，0).PB=(0，-1)，平面PED的一个法向量为DC=（0,1,0）,设平面PAB的法向量为n=(x,y,1)nPBnPE、31(x,y,1)?(,1)22c、万(x,y,1)?(,0,1)2.3x2.3x212y1230,0,1)vDCn=0即Den.平面PEDL平面PAB解：由（1）知：平面pab的法向量为n=23,0,1),设平面FAB的法向量为n1=(x,y,-1)由（1）知:一，1、F(0,0,；)FB=F

10、En1FB(x,y,n1FE(x,y,311)?(,-,22、.31)?(,0,21).3x2.3x212yP-AB-F的平面角的余弦值cos=|cos<n,n1>|5.714例3:在棱长为4的正方体ABCD-AiCD中，O是正方形ABGDi的中DC>|=43333心，点放棱CG上，且CC=4CP.(I)求直线APW平面BCGB所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；(H)设Q电在平面DA吐的射影是H,求证：Dhl±AP;(田)求点PIU平面AB前距离.解：(I)如图建立坐标系D-ACD丁棱长为4.A(4,0,0),B(4,4,0),P(0,4,1)/.AP=(-

11、4,4,1),显然DC=(0,4,0)为平面BCCB的一个法向量直线APW平面BCCBi所成的角0的正弦值sin0=|cos<AP,e为锐角,二直线A府平面BCCB所成的角e为arcsin4333(m)设平面ABD的法向量为n=(x,y,1),;AB=(0,4,0),ADi=(-4,0,4)t一,f一,-一y0由n，AB,n，AD得yn=(1,0,1),4x40点PiU平面ABD勺距离d=3%?2例4:在长、宽、高分别为2,2,3的长方体ABCD-A1C1D中，O是底面中心，求AO与BC的距离解：如图,建立坐标系D-ACD,则O（1,1,(2,2,3),C(0,2,0)二AO(1,1,3

12、)BiC(2,0,设AO与BC的公共法向量为n(x,y,l),3)ABi(0,2,0)nAO(x,y,1)?(1,1,3)03而(x,y,1)?(2,0,3)0xy302x30y|帝).A1O与BC的距离为-0,2,0?,1jd=|AB?n|2233/22丁32321有干例5:在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，求A到面BDFE勺距离。解：如图，建立坐标系D-ACD,则B(1,1,0),A(1,0,1),1-BD(1,1,0)BE(,0,1)A1B(0,1,1)2设面BDFE勺法向量为3(x,y,1),则(x,y,1)?(1,1,0)0nBD1nBE(x,y,1)?(,0,1)02xy01x102n(2,2,1).A1到面BDFEE勺距离为d=|A1B?n|0,1,1?2,2,1二1|n|,222213五、课后练习：1、如图，已知正四棱柱ABCD-ABGD,AB=1,AAi=2，点E为CC中点,点F为BD中点.（1）证明EF为BD与CC的公垂线