统计计算课件第二章正态分布

1、正态分布的分布函数正态分布的分布函数和分位数的计算和分位数的计算 概述概述正态分布是概率论中最重要的分布。一正态分布是概率论中最重要的分布。一方面，正态分布是自然界中最常见的一种分方面，正态分布是自然界中最常见的一种分布，例如测量的误差、炮弹弹落点的分布、布，例如测量的误差、炮弹弹落点的分布、人的身高体重、农作物的收获量、工厂产品人的身高体重、农作物的收获量、工厂产品的尺寸等都近似服从正态分布；一般来说，的尺寸等都近似服从正态分布；一般来说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个指标服从个因素所起的作用不太大，则这个指标服从正

2、态分布，这点可由概率论的极限定理证明。正态分布，这点可由概率论的极限定理证明。概述概述 另一方面，正态分布具有许多良另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布可用正态分布来近好的性质，许多分布可用正态分布来近似，另外一些分布又可以通过正态分布似，另外一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中，正态分布来导出，因此在理论研究中，正态分布十分重要十分重要 。 概述概述 由于正态分布在概率计算中的重要由于正态分布在概率计算中的重要性，利用计算机进行有关正态分布的计性，利用计算机进行有关正态分布的计算问题时，经常涉及到其分布函数或分算问题时，经常涉及到其分布函数或分位数的计算。最好的办法是

3、利用分布函位数的计算。最好的办法是利用分布函数或分位数的计算公式进行计算。数或分位数的计算公式进行计算。 正态分布分布函数和分位数计算正态分布分布函数和分位数计算n的计算方法。）和分位数标准正态分布分布函数故仅讨论分位数。标准正态分布的是分位数为：的布分布函数。）是标准正态分的分布函数为：则设ppppuxpuuxpXxxxFXNX(,();()(),(2标准正态分布分布函数的计算标准正态分布分布函数的计算n）有三种计算方法。）计算。）时，）的计算方法；当时，出）是对称函数，只需给因为xxxxxxx(1(0(0(基本公式基本公式n利用分部积分法可以得到 的两个级数展开式)(x2125312532

4、21)(!)!12() 1(111)(1)(!)!12(533)(21)(xkkkexxkxxxxxkxxxxxx一、连分式逼近法一、连分式逼近法n。其中：为：）的两个连分式展开式2)1(2)1(222121)(21)(1)() 12(5231)(21)(xexxkxxxxxxkkxxxxxxxkk一、连分式逼近法一、连分式逼近法n。时，精度可达以上近似值，当）的近似值：截有限节连分式作为122221028)3(21)(1)30() 12(5231)(21)(nxxnxxxxxxnnxxxxxxx二、利用误差函数的幂级数二、利用误差函数的幂级数近似式计算近似式计算 n为余误差函数。为误差函数；

5、称函数的定义：误差函数xtxtdtexerfxerfcxdtexerfxerf222)(1)()0(2)()(0二、利用误差函数的幂级数二、利用误差函数的幂级数近似式计算近似式计算 n0)2(1.500)2(1.50)()()(xxerfxxerfxxerfx，（，（有以下关系：与误差函数二、利用误差函数的幂级数二、利用误差函数的幂级数近似式计算近似式计算 n)2(!)!12() 1(1 1!)!12(22!)!12(2532322)()(1201212523222kkkxkkkxkkxxkxexkexkxxxexerfxerf的幂级数展开式：误差函数利用分部积分法可得出二、利用误差函数的幂级

6、数二、利用误差函数的幂级数近似式计算近似式计算 n近似值。的的关系，计算与由的值。再由以上近似值可计算项，得：取以上展开式的前)()()()()2(!)!12() 1(1 1)(122xxerfxxerfxkxexerfnnkkkx三、利用误差函数的三、利用误差函数的近似公式计算近似公式计算 n。对误差是以上近似公式的最大绝，其中算公式：下面介绍两个常用的计方法很多，算公式的导出误差函数的近似计76543211661103 . 10000430638. 00002765672. 00001520143. 00092705272. 00422820123. 0,0705230784. 0) 1

7、()1 (1)(aaaaaaxaxerfiii三、利用误差函数的三、利用误差函数的近似公式计算近似公式计算 n起来比较方便。在精度要求不高时使用公式，是最简单且实用的近似与。对误差是以上近似公式的最大绝其中)2() 1 (105 . 2,019527. 0,000344. 0,115194. 0,196854. 0)2()1 (1)2(44321441bbbbxbxerfiii标准正态分布分位数的计算标准正态分布分位数的计算n法利用分位数展开式的算法用二阶展开的迭代求根的近似计算公式用)3()2() 1 (pu标准正态分布分位数的计算标准正态分布分位数的计算n的近似计算公式。时，以下仅给出当当

8、当位数有以下关系：分位数与上侧分且的定称为上侧分位数。对给令满足：由分位数的定义，的近似计算公式用uppupppuupuuuupuuupppp5 . 001, 15 . 0,5 . 0, 0, 5 . 00, 0),5 . 0 , 0(,.)() 1 (1标准正态分布分位数的计算标准正态分布分位数的计算n。差是以上公式的最大绝对误其中年）有理近似式（的近似计算公式用4322110213120104 . 4.001308. 0,010328. 0,189269. 0,802853. 0,432788. 1,515517. 2ln2,11955) 1 (dcdcdcyydycyuHastingsu

9、iiiiiip标准正态分布分位数的计算标准正态分布分位数的计算n,102250947176. 0,108364353589. 0,103706987906. 0,101570796288. 0)1 (4ln,1967) 1 (333211021100bbbbyybyuTodauiiip其中年）近似公式（的近似计算公式用标准正态分布分位数的计算标准正态分布分位数的计算n。差是以上公式的最大绝对误年）近似公式（的近似计算公式用81281098877565554102 . 1.106936233982. 0,103657763036. 0,103231081277. 0,108360937017.

10、0,101045274970. 0,105824238515. 0,106841218299. 01967) 1 (bbbbbbbTodaup标准正态分布分位数的计算标准正态分布分位数的计算n。于以上公式的相对误差小年）山内的近似公式（的近似计算公式用4109 . 4)1 (4ln(640595.117262204. 50611786. 21965) 1 (yyyuup用二阶展开的迭代求法用二阶展开的迭代求法初始值取为初始值取为 ，用二阶展开的迭代求根公式计算，用二阶展开的迭代求根公式计算 后，用后，用 作为新的初值作为新的初值 重复迭代，重复迭代，直至达到所要求的精度。直至达到所要求的精度。 ppyyypsignu14ln640595.117262204. 50611786. 2)21(00u01uu0u利用分位数展开式的算法取初值， 其中 上式右边可表示为：, 2 , 1)()()()()(, 1)()()(!)()()(!)(00000101000010001000