第二章 质点动力学

1、P.0/67第2章 质点动力学 以以“力力(F) 物体间的相物体间的相互作用互作用”为中心为中心.质点动力学的任务质点动力学的任务: 研究物体之研究物体之间间的相互作用的相互作用, ,及这种相互作用及这种相互作用引起的物体运动状态变化的规律引起的物体运动状态变化的规律.2-1 牛顿运动定律牛顿运动定律1686年，牛顿年，牛顿(Newton)在他的在他的自自然哲学的数学原理然哲学的数学原理一书中发表了一书中发表了牛顿运动三定律牛顿运动三定律.2.1.1 牛顿第一定律牛顿第一定律(惯性定律惯性定律) (Newtons First Law) 任何物体都保持任何物体都保持静止静止或或匀匀速直线运动速直

2、线运动状状态态, ,直至其它物直至其它物体所作用的体所作用的力力迫使它改变这迫使它改变这种状态为止种状态为止. .1. 惯性惯性(inertia): 物体保持其物体保持其运动状态不变的特性运动状态不变的特性. .即即: 物体保持其原运动状态物体保持其原运动状态的能力的能力.数学形式：数学形式：0F恒矢量，恒矢量，v第第2章章 质点动力学质点动力学P.1/67第2章 质点动力学引力质量引力质量(gravitation mass): 物体间相互作用物体间相互作用 “能力能力”大小的量度大小的量度.1.惯性惯性(inertia): 物体保持其物体保持其运动状态不变的特性运动状态不变的特性. .即即:

3、 物体保持其原运动物体保持其原运动状态的能力状态的能力.惯性质量惯性质量(inertial mass): 物体惯性大小的量度物体惯性大小的量度.3.惯性参考系惯性参考系(inertial reference frame)(简称惯性系简称惯性系): 牛顿第一牛顿第一定律适用的参考系定律适用的参考系.2.力力(force): 物体间的相互作用物体间的相互作用1. 物体保持静止或匀速直线物体保持静止或匀速直线运动状态相对哪个参考系？运动状态相对哪个参考系？2. 什么情况下惯性质量与引什么情况下惯性质量与引力质量相等？力质量相等？ 凡相对凡相对惯性系惯性系做匀速直线运做匀速直线运动的参考系都是动的参考

4、系都是惯性系惯性系. .地球地球近似的惯性参考系，近似的惯性参考系，地球有自转角速度：地球有自转角速度：15srad103 . 7P.2/67第2章 质点动力学2.1.2 牛顿第二定律牛顿第二定律 (Newtons Second Law)vmp 物体的动量物体的动量 1. 定律的一般表述定律的一般表述 物体所受的合外力等于物物体所受的合外力等于物体动量对时间的变化率体动量对时间的变化率.数学描述：数学描述：tmtpFd)d(ddv2. 定律的常用表述定律的常用表述 当物体的质量不变当物体的质量不变, ,且速且速度远远度远远小于光速时小于光速时tmtmtmtpFddddd)d(ddvvvamtm

5、ddv 意义意义: 物体的加速度同物体所受物体的加速度同物体所受的合外力成正比的合外力成正比, ,同物体的质量成同物体的质量成反比反比.讨论讨论(1) 牛顿第二定律是：牛顿第二定律是： 质点动力学基本方程；质点动力学基本方程；(2) 仅成立于惯性参考系；仅成立于惯性参考系；amFtmmaFddvRmmaF2nnvxxmaF yymaF zzmaF (3) 合力和加速度是瞬时关系合力和加速度是瞬时关系.P.3/67第2章 质点动力学2.1.3 牛顿第三定律牛顿第三定律 (NewtonThirdLaw)FF注：注：(1) 作用力和反作用力成作用力和反作用力成 对对, ,同时存在同时存在. (2)

6、分别作用于两个物体分别作用于两个物体 上上, ,不能抵消不能抵消. (3) 属于同一种性质的力属于同一种性质的力. (4) 物体静止或运动均适物体静止或运动均适 用用. 物体的加速度同物体所受的物体的加速度同物体所受的合外力成正比合外力成正比, ,同物体的质量同物体的质量成反比成反比.讨论讨论(1) 牛顿第二定律是质点动力牛顿第二定律是质点动力学基本方程；学基本方程；(2) 仅成立于惯性参考系；仅成立于惯性参考系；amFtmmaFddvRmmaF2nnvxxmaF yymaF zzmaF (3)合外力与加速度是瞬时关系合外力与加速度是瞬时关系. 当物体当物体A以力以力 作用在物体作用在物体B上

7、时，物体上时，物体B也必定同时以也必定同时以力力 作用在物体作用在物体A上上, ,两力作两力作用在同一直线上用在同一直线上, ,大小相等大小相等, ,方方向相反向相反.FF数学形式：数学形式：P.4/67第2章 质点动力学3.弹性力弹性力(elastic force) 物体发生形变时产生的力物体发生形变时产生的力. .2)重力重力(gravity)： 重力是地球对物体万有引重力是地球对物体万有引力的一个分力力的一个分力, ,另一分力为物另一分力为物体随地球绕地轴转动提供的体随地球绕地轴转动提供的向心力向心力.kxf:大小大小2.引力引力 重力重力1)万有引力定律与宇宙速度万有引力定律与宇宙速度

8、rermmGF221第一宇宙速第一宇宙速m/s9 . 71地地地地RGMv第二宇宙速第二宇宙速km/s2 .1122地地地地RGMv万有引力万有引力mgRmMG地地地地大小：大小：方向：垂直地面向下方向：垂直地面向下.引力引力重力重力方向：恢复形变的方向方向：恢复形变的方向. .4.摩擦力摩擦力(friction force) 当两个互相接触的物体有相当两个互相接触的物体有相对运动或有相对运动的趋势时对运动或有相对运动的趋势时,就会产生一种阻碍相对运动或就会产生一种阻碍相对运动或相对运动趋势的力相对运动趋势的力.P.5/67第2章 质点动力学大小：大小：f k= kN其中：其中： k为滑动摩擦

9、系数为滑动摩擦系数1) 库仑摩擦定律库仑摩擦定律(1) 滑动摩擦力滑动摩擦力fk与正压力与正压力N 成正比成正比, ,与两物体的表观接触与两物体的表观接触面积无关面积无关.(2) 当相对速度不很大时当相对速度不很大时, ,动动摩擦力与速度无关；摩擦力与速度无关；(3) 静摩擦力静摩擦力4.摩擦力摩擦力(friction force) 当两个互相接触的物体有相当两个互相接触的物体有相对运动或有相对运动的趋势时对运动或有相对运动的趋势时,就会产生一种阻碍相对运动或就会产生一种阻碍相对运动或相对运动趋势的力相对运动趋势的力.FkfNgm 当物体与接触面存在相对滑当物体与接触面存在相对滑动趋势时动趋势

10、时, ,物体所受到接触面对物体所受到接触面对它的阻力它的阻力. .其方向与相对滑动趋其方向与相对滑动趋势方向相反势方向相反.P.6/67第2章 质点动力学2) 黏滞阻力黏滞阻力 流体流体(液体或气体液体或气体)不同层之不同层之间由于相对运动而造成的阻间由于相对运动而造成的阻力力, ,称为黏滞阻力或湿摩擦力称为黏滞阻力或湿摩擦力.2.1.6 牛顿定律的应用牛顿定律的应用解题步骤：解题步骤：(1) 确定研究对象确定研究对象, ,对于物体系对于物体系, 画出隔离图画出隔离图.(5) 解方程解方程, ,进行文字运算进行文字运算, , 再代入数据求解再代入数据求解.(3) 静摩擦力静摩擦力 当物体与接触

11、面存在相对当物体与接触面存在相对滑动趋势时滑动趋势时, ,物体所受到接触物体所受到接触面对它的阻力面对它的阻力.其方向与相对其方向与相对滑动趋势方向相反滑动趋势方向相反. 静摩擦力的大小随外力的静摩擦力的大小随外力的变化而变化变化而变化.Ff最大静摩擦力：最大静摩擦力：Nfsmax s为静摩擦系数为静摩擦系数(2) 进行受力分析进行受力分析, ,画出示力图画出示力图. (4) 对各隔离体建立牛顿运动对各隔离体建立牛顿运动 方程方程(矢量式矢量式分量式分量式) (3) 建立坐标系建立坐标系. 4 4、牛顿定律应用举例：、牛顿定律应用举例：例题1、（复习）的物体（如图所示），绳子质量不计。求物体的

12、加速度和绳子的张力。用一与水平方向成角的力拉动质量为和FAmBm已知地面与物体间的滑动摩擦因数为ABF解：运动情况：两物体以相同加速度运动列方程：建立图示坐标oxyBTFBNFBFBPAFTFANFAFAP受力图示：受力图AmBm画出和研究对象：AmBm和oyxgmmFmmaBABAsincos1FmmmgamFBABBTsincosANAFF0sinANPFFAamFFFAATcosAmx方向y方向解得：AFTFANFAFAPBTFBNFBFBPBmamFFBBTBNPFBx方向y方向BBNNFF讨论:的影响 （1）F的倾角对加速度由得，当时， 加速度最大022dad0ddatg和量,以同样

13、的力作用于（2）题中将Am和Bm互换质BmBAF即在相同的F作用下，质量大大的物体拖动质量小小的物体，张力较小小质量小小的物体拖动质量大大的物体，张力较大大* 火车起动时，一些现象的讨论火车起动时，一些现象的讨论FmmmFBAATsincos与前比较：FmmmFBABTsincos则绳中张力若ABmmTTFF则P.12/67第2章 质点动力学2.1.4 国际单位制国际单位制(SI) 量纲量纲1. 七个基本物理量七个基本物理量长度长度(length) L 米米 m时间时间(time) T 秒秒 s质量质量(mass) M 千克千克 kg电流电流(electricity) I安培安培 A热力学温度

14、热力学温度 T 开尔文开尔文 K(thermodynamic temperature)物质的量物质的量 N 摩尔摩尔 mol(amount of substance)发光强度发光强度 J 坎德拉坎德拉 cd(luminous intensity)2. 导出量导出量: 基本物理量构成基本物理量构成 1960年年, ,第十一届国际计量大第十一届国际计量大会通过了国际单位制会通过了国际单位制 不考虑数字因素时不考虑数字因素时, ,导出量导出量(derived)与基本量与基本量(base)之间的关之间的关系可以用量纲系可以用量纲(dimension)来表示来表示. 用用L、M和和T分别表示长度、分别表

15、示长度、质量和时间三个基本量的量纲质量和时间三个基本量的量纲, ,其他力学量其他力学量Q的量纲与基本量量的量纲与基本量量纲之间的关系可按下列形式表纲之间的关系可按下列形式表达出来：达出来：sqpQTML其中其中p, q, s为量纲指数为量纲指数.如速度如速度Q = L T-1.P.13/67第2章 质点动力学2-2 动量动量 和动量守恒定律和动量守恒定律 有机械运动量转换时有机械运动量转换时, ,同时考同时考虑质量与速度两个因素虑质量与速度两个因素, ,才能全才能全面地表达物体的运动状态面地表达物体的运动状态. .2.2.1 质点和质点系的质点和质点系的 动量定理动量定理1. 冲量冲量 质点的

16、动量定理质点的动量定理车辆超速车辆超速容易引发容易引发交通事故交通事故车辆超载车辆超载容易引发容易引发交通事故交通事故(1) 冲量冲量(impulse)动量：动量：运动质点的质量运动质点的质量与速度的乘积与速度的乘积.vmp 单位：单位：kg m s-1冲量：冲量：作用力与作用时间作用力与作用时间的乘积的乘积. 单位：单位：Ns 冲量是反映力对时间的冲量是反映力对时间的累积效应累积效应.恒力的冲量：恒力的冲量：)(12ttFIP.14/67第2章 质点动力学牛顿运动定律牛顿运动定律tptmFddd)(dv则则tFpdd2.2.1 质点和质点系的质点和质点系的 动量定理动量定理1. 冲量冲量 质

17、点的动量定理质点的动量定理(1) 冲量冲量(impulse)动量：动量：运动质点的质量运动质点的质量与速度的乘积与速度的乘积.vmp 单位单位: kg m s-1冲量：冲量：作用力与作用时间作用力与作用时间的乘积的乘积. 单位：单位：Ns 冲量是反映力对时间的冲量是反映力对时间的累积效应累积效应.恒力的冲量：恒力的冲量：)(12ttFI变力的冲量：变力的冲量：21d)(ttttFI动量与冲量有何关系？动量与冲量有何关系？(2) 质点动量定理质点动量定理 (theorem of momentum) 质点动量的时间变化率是质质点动量的时间变化率是质点所受的合力点所受的合力.如果力的作用时间从如果力

18、的作用时间从 , ,质质点动量从点动量从 tt 0pp0P.15/67第2章 质点动力学牛顿运动定律牛顿运动定律tptmFddd)(dv则则tFpddpppptFpptt000dd则则(2) 质点动量定理质点动量定理 (theorem of momentum) 质点在运动过程中质点在运动过程中, ,所受合外所受合外力的冲量等于质点动量的增量力的冲量等于质点动量的增量. . 质点动量的时间变化率是质质点动量的时间变化率是质点所受的合力点所受的合力.如果力的作用时间从如果力的作用时间从 ，质点动量从质点动量从 tt 0pp0000dvvmmpptFItt讨论：讨论：(1) 冲量冲量 的方向与动量增

19、量的方向与动量增量 的方向一致的方向一致.Ip(2) 动量定理中的动量和冲量动量定理中的动量和冲量都是矢量都是矢量, ,符合矢量叠加原理符合矢量叠加原理. 计算时可采用平行四边形法则计算时可采用平行四边形法则,或把动量和冲量投影在坐标轴或把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式进行计算上以分量形式进行计算.ttzzzzttyyyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI000000dddvvvvvvP.16/67第2章 质点动力学ttzzzzttyyyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI000000dddvvvvvv平均冲力平均冲力0000d1ttpptFttFtt00dpptFtFIt

20、t3. 冲力冲力(impulsive force) 当两个物体碰撞时当两个物体碰撞时, ,它们相它们相互作用的时间很短互作用的时间很短, ,相互作用相互作用的力很大的力很大, ,而且变化非常迅速而且变化非常迅速,这种力称为这种力称为冲力冲力.Ftot0tF分量式：分量式：000000zzzzyyyyxxxxmmttFImmttFImmttFIvvvvvvP.17/67第2章 质点动力学平均冲力平均冲力0000d1ttpptFttFtt00dpptFtFIttFtot0tF分量式：分量式：000000zzzzyyyyxxxxmmttFImmttFImmttFIvvvvvv结论结论: 物体动量变化

21、一定的情况物体动量变化一定的情况下下, ,作用时间越长作用时间越长, ,物体受到的平物体受到的平均冲力越小均冲力越小; 反之则越大反之则越大. . 海绵垫子可以延长运动员下海绵垫子可以延长运动员下落时与其接触的时间落时与其接触的时间, ,这样就减这样就减小了地面对人的冲击力小了地面对人的冲击力. . P.18/67第2章 质点动力学根据牛顿第三定律根据牛顿第三定律 0内内iFniiiniiittniimmtF10101dvv外外合外力合外力的冲量的冲量系统末系统末动量动量系统初系统初动量动量质点系的动量定理：质点系的动量定理：ppptFtti00d即即: 合外力的冲量等于系统总合外力的冲量等于

22、系统总动量的增量动量的增量内力的冲量起什么作用？内力的冲量起什么作用？对第对第 i个质点写出动量定理：个质点写出动量定理：00diiiittiimmtfFvv内内外外niiiniiittniniiimmtFF101011dvv内内外外2. 质点系的动量定理质点系的动量定理1m2mimnm1r2rirnrxyzO设设n个质点构成一个系统个质点构成一个系统P.19/67第2章 质点动力学 系统所受合外力为零时系统所受合外力为零时, ,系统的总动量保持不变系统的总动量保持不变.0iF常常矢矢量量iimpv 动量的矢量性动量的矢量性: :系统的总系统的总动量不变是指系统内各物体动量不变是指系统内各物体

23、动量的矢量和不变动量的矢量和不变, ,而不是而不是指其中某一个物体的动量不指其中某一个物体的动量不变变. .系统动量守恒系统动量守恒, ,但每个质但每个质点的动量可能变化点的动量可能变化. .2.几点说明：几点说明：(2) 系统动量守恒的条件：系统动量守恒的条件： 系统不受外力；或系统不受外力；或 合外力合外力=0 (1) 动量守恒定律只适用于惯性系动量守恒定律只适用于惯性系.2.2.2 动量守恒定律动量守恒定律(law of momentum conservation)1.动量守恒定律动量守恒定律(5) 动量守恒定律是物理学中最普动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一遍、最基本的定律

24、之一(3) 若系统所受外力的矢量和若系统所受外力的矢量和 , ,但合外力在某个坐但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零标轴上的分矢量为零, ,动量守恒动量守恒可在某一方向上成立可在某一方向上成立.(4) 内力内力外力外力. .在碰撞、打击、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程爆炸等相互作用时间极短的过程中中, ,内力内力外力外力, ,可略去外力可略去外力, ,认认为系统动量守恒为系统动量守恒0iFP.20/67第2章 质点动力学动量守恒的分量式：动量守恒的分量式：常量常量常量常量常量常量iziziyiyixixmPmPmPvvv 动量守恒定律是物理动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的学中最

25、重要、最普遍的规律之一规律之一, ,它不仅适合它不仅适合宏观物体宏观物体, ,同样也适合同样也适合微观领域微观领域. .P.21/67第2章 质点动力学 质量质量m=1kg的质点从的质点从O点开始沿半径点开始沿半径R=2m的圆周运动的圆周运动.以以O点为自然坐标原点点为自然坐标原点.已知质已知质点的运动方程为点的运动方程为s =0.5t 2 m.试试求从求从 到到t2=2s这段时间内这段时间内质点所受合外力的冲量质点所受合外力的冲量.s21tO22121s211Rs222122s22Rs解：解：ttsddv)sm(211v)sm(212v)(12vvvmmmI)smkg(211imv)smkg

26、(212jmv12vvmmI)smkg(221ijP.22/67第2章 质点动力学 一颗子弹在枪筒里前进一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为时所受的合力大小为 F=400-4 105t/3 (SI)子弹从枪口射出时速率为子弹从枪口射出时速率为300m s-1. .设子弹离开枪口处合力刚好为零设子弹离开枪口处合力刚好为零. .求求: (1)子弹走完枪筒全长所用的时子弹走完枪筒全长所用的时间间t.(2)子弹在枪筒中所受力的冲量子弹在枪筒中所受力的冲量I.(3)子弹的质量子弹的质量.(1)031044005tFs003.010440035t(2)tFId(3)0vmIg2kg002. 03006

27、. 0vIm003.002532104400ttsN6 . 0tt d3104400003.005例题3、质量为 的人手中拿着一质量为 的物体。此人用与水平面成 角的速率 向前跳去，当他到达最高点时，他将物体以相对于人为 的水平速率向后抛出，问由于抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？Mm0vu解：分析在最高位置时，系统水平方向的动量守恒以地面为参考系，取图示坐标0vuxyo0vcosv0uxyoxxmuMvvMmcos0设人向后抛出物体后水平速率为 ，则（哪一式是正确的？）（哪一式是正确的？）vuvmMvvMm00cosuvmMvvMmcos0umMmvvcos0umMmvtvxugmMmvgv

28、vsinsin00则P.25/67第2章 质点动力学2-3 功、机械能和机械能守恒定律功、机械能和机械能守恒定律2.3.1 功功率功功率1. 功功(work): 功是度量能量转换功是度量能量转换的基本物理量的基本物理量, ,它描写了力对空它描写了力对空间积累作用间积累作用.1)恒力的功恒力的功2)变力的功变力的功rFFrFFrWcos 在力在力 的作用下的作用下, ,物体发生了物体发生了位移位移 , ,则把力在位移方向的分则把力在位移方向的分力与位移力与位移 的乘积称为功的乘积称为功.FrrABOFrdsdrrrFrFWddcosd单位单位: 焦耳焦耳(J)元功元功(elementary wo

29、rk)直角坐标系中直角坐标系中zFyFxFrFWzyxdddddkFjFiFFzyxkzj yi xrddddP.26/67第2章 质点动力学2)变力的功变力的功ABOFrdsdrrrFrFWddcosd元功元功(elementary work)直角坐标系中直角坐标系中zFyFxFrFWzyxdddddkFjFiFFzyxkzj yi xrdddd：rFWWbabadcosdbazyxbazFyFxFrFdddd合力作功合力作功 =各力作功的代数和各力作功的代数和21d)(21rrNrFFFWbanbabarFrFrFddd21nWWWW21 结论：结论： 合力对质点所作的功等于每合力对质点所

30、作的功等于每个分力对质点作功之代数和个分力对质点作功之代数和. .P.27/67第2章 质点动力学bazyxbazFyFxFrFWdddd合力作功合力作功 =各力作功的代数和各力作功的代数和21d)(21rrNrFFFWbanbabarFrFrFddd21nWWWW21结论：结论： 合力对质点所作的功等于每合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和个分力对质点作功之代数和. .示功图示功图( 假设物体沿假设物体沿 x 轴运动轴运动, ,外力外力在该方向的分力所做的功可用在该方向的分力所做的功可用右图中曲线下面的面积表示右图中曲线下面的面积表示.OxFaxbxxFWd 力力 位移曲线下的面

31、积表位移曲线下的面积表示力示力F所作的功的大小所作的功的大小.一质点做圆周运动一质点做圆周运动, ,有有一力一力作用于质点作用于质点, ,求求在质点由原点运在质点由原点运动至动至P(0，2R)点过程中点过程中, ,力力 做做的功的功.j yi xFF0FP.28/67第2章 质点动力学C .xyOPrRmF解：解：j yFixFF00jyixrj yi xrdddrFWdRyyFxxF200000dd202RFO21x /mF /NF一质点做圆周运动一质点做圆周运动, ,有有一力一力作用于质点作用于质点, ,求求在质点由原点运在质点由原点运动至动至P(0，2R)点过程中点过程中, ,力力 做做

32、的功的功.j yi xFF0FP.29/67第2章 质点动力学示功面积求解示功面积求解由图写出作用力由图写出作用力F与位与位移移x的数值关系的数值关系, ,积分求解积分求解. .J1N1m221W 1J4d2d20220 xxxxFWbaO21x /mF /NF 功是标量功是标量(代数量代数量)W 0 力对物体做功力对物体做功W 0 力对物体做功力对物体做功W 0 物体反抗阻力做功物体反抗阻力做功W= 0 力作用点无位移力作用点无位移 力与位移相互垂直力与位移相互垂直 功是过程量功是过程量与力作用点的与力作用点的位移位移相关相关与参考系的选择相关与参考系的选择相关 以车厢为参考系以车厢为参考系

33、, ,摩擦力不摩擦力不作功作功. .以地面为参考系以地面为参考系, ,摩擦力摩擦力作功作功. .一般情况下一般情况下, ,通常约定以通常约定以地面为参考系地面为参考系. .(power) 反映作功反映作功快慢程度的物理量快慢程度的物理量(1) 平均功率平均功率tWP(2) 瞬时功率瞬时功率vFtrFtWtWPtddddlim0fP.31/67第2章 质点动力学 瞬瞬11sJ1W1秒秒焦焦耳耳瓦瓦特特2. 常见力的作功常见力的作功 重力重力(gravity)的功的功rGWdd(power) 反映作功快反映作功快慢程度的物理量慢程度的物理量(1) 平均功率平均功率tWP(2) 瞬时功率瞬时功率vF

34、trFtWPtddlim0zmg d物体从物体从M1到到M2重力作的总功：重力作的总功：)ddd(dkzj yi xkmgW122121ddmgzmgzzzmgymgWWMM2z1zxyzO1Mrgm2MP.32/67第2章 质点动力学2) 弹性力弹性力(elastic work)的功的功XOxfab1x2x弹性力弹性力ikxfx弹性力的功为弹性力的功为2121ddxxxxxi xikxxfW22212121kxkx 2. 常见力的作功常见力的作功 重力重力(gravity)的功的功rGWddzmg d物体从物体从M1到到M2重力作的总功：重力作的总功：)ddd(dkzj yi xkmgW12

35、2121ddmgzmgzzzmgymgWWMM2z1zxyzO1Mrgm2M21222121kxkxP.33/67第2章 质点动力学2) 弹性力弹性力(elastic work)的功的功XOxfab1x2x弹性力弹性力ikxfx弹性力的功为弹性力的功为2121ddxxxxxi xikxxfW22212121kxkx 21222121kxkx3) 万有引力万有引力(gravitation)的功的功OMmFr1r2r1P2PrdrrrrddrrMmGF321d3rrrrrMmGW21d2rrrrMmG万有引力作功与路径无万有引力作功与路径无关只与始末位置有关关只与始末位置有关, ,)11(21rr

36、GMmP.34/67第2章 质点动力学万有引力作功与路径万有引力作功与路径无关只与始末位置有关无关只与始末位置有关, ,)11(21rrGMm3) 万有引力万有引力(gravitation)的功的功OMmFr1r2r1P2PrdrrrrddrrMmGF321d3rrrrrMmGW21d2rrrrMmG 重力、弹力、万有引力的共重力、弹力、万有引力的共同特点：同特点： 做功与路径无关做功与路径无关, ,只与起、只与起、末点位置有关末点位置有关. 做功与相互作用物体的相对做功与相互作用物体的相对位置有关等于某函数在始末位位置有关等于某函数在始末位置的值之差置的值之差.保守力保守力(conserva

37、tive force)FrFWL, 0d 为保守力为保守力. 物体沿闭合路径绕行一周物体沿闭合路径绕行一周, ,这些力所做的功恒为零这些力所做的功恒为零, ,具有具有这种特性的力统称为这种特性的力统称为保守力保守力.P.35/67第2章 质点动力学 重力、重力、弹性力、万有引力、弹性力、万有引力、静电力为静电力为保守力保守力.4)摩擦力的功摩擦力的功mgFsmgsFWddcosd保守力保守力(conservative force)FrFWL, 0d 为保守力为保守力. 物体沿闭合路径绕行一周，物体沿闭合路径绕行一周，这些力所做的功恒为零这些力所做的功恒为零, ,具有这具有这种特性的力统称为种特

38、性的力统称为保守力保守力.1M2MsmgWMMd21mgs 摩擦力的功与质点运动摩擦力的功与质点运动的路径有关的路径有关.摩擦力为非保守力摩擦力为非保守力FrFWL, 0d 为保守力为保守力. .若若FrFWL, 0d 为非保守力为非保守力. .若若P.36/67第2章 质点动力学摩擦力为非保守力摩擦力为非保守力FrFWL, 0d 为保守力为保守力. .若若FrFWL, 0d 为非保守力为非保守力. .若若2.3.2 动能动能 质点的动能定理质点的动能定理1. 动能动能(kinetic energy) 质点因有速度而具有的作质点因有速度而具有的作功本领功本领.2k21vmE 单位单位: 焦耳焦

39、耳(J)外力对物体作功外力对物体作功, ,对对物体运动状态的改变带来什物体运动状态的改变带来什么结果？么结果？2. 质点动能定理质点动能定理(theorem of kinetic energy)2v11v2vFrd 合外力对质点所做的功等合外力对质点所做的功等于质点动能的增量于质点动能的增量1k2k21222121EEmmWvvP.37/67第2章 质点动力学2121tddddstmsFWv(1) 动能是标量动能是标量, ,是状态量是状态量v的单的单值函数值函数, ,也是状态量；也是状态量；2. 质点的动能定理质点的动能定理(theorem of kinetic energy)2v11v2vF

40、rd 合外力对质点所做的合外力对质点所做的功等于质点动能的增量功等于质点动能的增量1k2k21222121EEmmWvv21222121d21vvvvvvmmm(2) 功与动能的本质区别功与动能的本质区别: 它们它们的单位和量纲相同的单位和量纲相同, ,但功是过程但功是过程量量, ,动能是状态量动能是状态量. .功是能量变功是能量变化的量度；化的量度；(3) 动能定理由牛顿第二定律导动能定理由牛顿第二定律导出出, ,只适用于惯性参考系只适用于惯性参考系, ,动能动能也与参考系有关也与参考系有关. .P.38/67第2章 质点动力学(1) 动能是标量动能是标量, ,是状态量是状态量v的单的单值函

41、数值函数, ,也是状态量；也是状态量；(2) 功与动能的本质区别功与动能的本质区别: 它们它们的单位和量纲相同的单位和量纲相同, ,但功是过程但功是过程量量, ,动能是状态量动能是状态量. .功是能量变功是能量变化的量度；化的量度；(3 )动能定理由牛顿第二定律动能定理由牛顿第二定律导出导出, ,只适用于惯性参考系只适用于惯性参考系, ,动动能也与参考系有关能也与参考系有关. .2.3.3 质点系动能定理质点系动能定理 把质点动能定理应用于质点把质点动能定理应用于质点系内所有质点并把所得方程相系内所有质点并把所得方程相加有加有: iiiiiiiimmW21222121vviiiWWWiii内内

42、外外1m1v2m2v3m3v4m4v1k2kEEWW内内外外 质点系动能的增量等于作质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力用于系统的所有外力和内力作功之代数和作功之代数和.P.39/67第2章 质点动力学(1) 内力和为零内力和为零, ,内力功的和是否为内力功的和是否为零？零？ 不一定为零不一定为零, 21ff0fLfW11sfW22)(1sLfWAB1f2fABiiiiiiiimmW21222121vviiiWWWiii内内外外1m1v2m2v3m3v4m4v1k2kEEWW内内外外 质点系动能的增量等于作质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力用于系统的所有外力和内力作功之代

43、数和作功之代数和.如：如：(2) 内力的功也能改变系统的内力的功也能改变系统的 动能动能LsP.40/67第2章 质点动力学 例例: : 炸弹爆炸过程内力和炸弹爆炸过程内力和为零为零, ,但内力所做的功转化为但内力所做的功转化为弹片的动能弹片的动能. .(1) 内力和为零内力和为零, ,内力功的和是否为内力功的和是否为零？零？ 不一定为零不一定为零, 21ff0fLfW11sfW22)(1sLfWAB1f2fAB如：如：(2) 内力的功也能改变系统的内力的功也能改变系统的 动能动能LsP.41/67第2章 质点动力学 已知小球质量为已知小球质量为m、绳绳长为长为l, ,小球静止下落小球静止下落

44、, ,求下落求下落 角角时时, ,小球的速率及绳中张力小球的速率及绳中张力.mgT解：解：小球小球受力如图所示受力如图所示rTd不作功不作功重力作功重力作功sinmglW 1k2kEEW22k1k21, 0vmEEsin2glvrd2.3.4 势能势能 势能差势能差1. 保守力和保守力场保守力和保守力场 作功作功0d LrFWP.42/67第2章 质点动力学 若质点在某一部分空间内若质点在某一部分空间内的任何位置的任何位置, ,都受到一个大小都受到一个大小和方向完全确定的保守力的和方向完全确定的保守力的作用作用, ,我们称这部分空间存在我们称这部分空间存在着着保守力场保守力场. .2. 势能势

45、能2.3.4 势能势能 势能差势能差1. 保守力和保守力场保守力和保守力场 作功作功0d LrFW 由物体的相对位置所确定由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能的系统能量称为势能(Ep).保守力作功和位置有关保守力作功和位置有关作功是能量变化的量度作功是能量变化的量度 势能势能(势能函数势能函数)是由物体是由物体的相对位置决定的函数的相对位置决定的函数, ,与与保守力作功有关保守力作功有关, ,是状态函是状态函数数.P.43/67第2章 质点动力学2. 势能势能 由物体的相对位置所确定由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能的系统能量称为势能(Ep).保守力作功和位置有关保守力作功和位置有关

46、作功是能量变化的量度作功是能量变化的量度 势能势能(势能函数势能函数)是由物体是由物体的相对位置决定的函数的相对位置决定的函数, ,与与保守力作功有关保守力作功有关, ,是状态函是状态函数数.保守力的功与势能的关系：保守力的功与势能的关系： 物体在保守力场中物体在保守力场中a、b两点两点的势能的势能Epa与与 Epb之差之差, ,等于质等于质点由点由a点移动到点移动到b点过程中保守点过程中保守力所做的功力所做的功WababbabaWrFEEdpp 保守力做的功等于势能增量保守力做的功等于势能增量的负值的负值.pppEEEWab）（保保(1) 势能是一个系统的属性势能是一个系统的属性.(3) 势

47、能的零点可以任意选取势能的零点可以任意选取.几种势能几种势能(1) 重力势能重力势能P.44/67第2章 质点动力学xzy0),(zyxPmg0pdzzmgEmgzE p),(00, 00zyxp设地面为设地面为势能零点势能零点，P点的重力势能点的重力势能势能零点为弹簧原长势能零点为弹簧原长O处处0pdxxkxEMOXkx2p21kxE(2) 弹性势能弹性势能(3)万有引力势能万有引力势能rrMmGErd)(2pr为势能零点为势能零点rGMmEp(1)势能是一个系统的属性势能是一个系统的属性.(3)势能的零点可以任意选取势能的零点可以任意选取.几种势能几种势能(1)重力势能重力势能P.45/6

48、7第2章 质点动力学(3) 万有引力势能万有引力势能rrMmGErd)(2pr为势能零点为势能零点rGMmEp3. 势能曲线势能曲线保守力保守力势能曲线势能曲线势能零点势能零点势能势能(Ep)221kxrmMG重力重力弹力弹力xEpO引力引力rx=0z=0质点质点mgzrEpOOzEp跳跳高高采采用用那那种种方方式式最最好好,为为什什么？么？P.46/67第2章 质点动力学2.3.5 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律1. 质点系的动能定理质点系的动能定理EEEWWpk非非保保内内外外质点系的质点系的功能原理功能原理:1k2kEE外外内内WW非非保保内内保保内内内内WWW其中其中1p2pEEW保保内内1k2kEEWWW非非保保内内保保内内外外1p1k2p2kEEEEWW非保内非保内外外机械能机械能pkEEE 质点系机械能的增量等于质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力所有外力和所有非保守内力所作功的代数和所作功的代