曾谨言量子力学教程第3版知识点总结笔记课后答案

1、第1章波函数与Schr?dinger方程1.1复习笔记一、波函数的统计诠释1.实物粒子的波动性deBroglie(1923)提出了实物粒子(静质量M0的粒子,如电子)也具有波粒二象性(wave-particleduality)的假设,即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长活口频率必弁称之为物质波(matterwave).2.波粒二象性的分析(1)包括波动力学创始人Schr?dinger,deBroglie等在内的一些人,他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构,即看成三维空间中连续分布的某种物质波包.物质波包的观点显然夸大了波动性一面,而实质上抹杀了粒子性一面,是带有片面性的.(2)与物质

2、波包相反的另一种看法是：波动性是由于有大量电子分布于空间而形成的疏密波.它夸大了粒子性一面,而实质上抹杀了粒子的波动性一面,也带有片面性.然而,电子究竟是什么东西是粒子还是波电子既是粒子,也是波,它是粒子和波动两重性矛盾的统一.但这个波不再是经典概念下的波,粒子也不再是经典概念中的粒子.3 .概率波,多粒子体系的波函数把粒子性与波动性统一起来.更确切地说,把微观粒子的原子性与波的相干叠加性统一起来的是M.Born1926提出的概率波.3I,232表征在r点处的体积元3&心工中找到粒子的概率.这就是Born提出的波函数的概率诠释.它是量子力学的根本原理之一.根据波函数的统计诠释,很自然要

3、求该粒子不产生,不湮没在空间各点的概率之总和为1,即要求波函数小r满足以下条件1必)|工1(dVdrdydr)这称为波函数的归一化normalization条件.归一化条件就可以简单表示为4 .动量分布概率f6P>=两/司中动量分布概率密度即卜p.5 .不确定性原理与不确定度关系Ar*M衣A/2不管粒子处于什么量子态下,它的位置坐标和动量不能同时具有完全确定的值,这就是Heisenberg的不确定性原理,上式是它的数学表示式,它是波粒二象性的反映.6,力学量的平均值与算符的引进令称为动量算符.7=断"九f-VEC动罪算符*J犷5他"/-rXp知动lit算符.l是一个矢

4、量算符.它的三个分量可以表示为L亚访卅二一值卜六一之h=通一通=一诺卜/一才於L=丁¥一面."一话卜奈/芝一般说来,粒子的力学量A的平均值可如下求出A工,小,r为,d,?曲丽A是与力学量A相应的算符.如波函数未归一化,那么A年海/帆/与经典HamiltonitH=T+V相应的算符表示为M/+Vgdm7 .统计诠释对波函数提出的要求统计诠释赋予了波函数确切的物理含义.根据统计诠释,究竟应对波函数小r提出哪些要求1根据统计诠释,要求|小r|2取有限值似乎是必要的,即要求小r取有限值.2根据统计诠释,一个真实的波函数需要满足归一化条件平方可积但概率描述中实质的问题是相对概率.因此

5、,在量子力学中弁不排除使用某些不能归一化的理想的波函数.3根据统计诠释,要求|小r|2单值.是否由此可得出要求小r单值否.4波函数小r及其各阶微商的连续性.二、Schr?dinger方程8 .Schr?dinger方程的弓I进谓V1+在势场Vr中的粒子的波函数满足的微分方程,称为Schr?dinger波动方程,它揭示了微观世界中物质运动的根本规律.2.Schr?dinger方程的讨论(1)定域的概率守恒对于一个粒子来说,在全空间中找到它的概率之总和应不随时间改变.即IHr=0(1)式为概率守恒的微分表达式,其形式与流体力学中的连续性方程相同.(2)初值问题,传播子Schr?dinger方程给出

6、了波函数(量子态)随时间演化的因果关系,取初始时刻为t；那么t时刻波函数可以表示为d-山/>H>/)称为传播子(propagator,).可以证实HrpGC,*.,/)=Sir/)力就是t时刻在r点找到粒子的概率波幅.3,能量本征方程以下讨论一个极为重要的特殊情况一一假设势能V不显含t(经典力学中,在这种势场中的粒子的机械能是守恒量).其中小E(r)满足以下方程：I"一受V'+V(热=如(2)在有的条件下,特别是束缚态边条件,只有某些离散的E值所对应的解才是物理上可以接受的.这些E值称为体系的能量本征值(energyeigenvalue),而相应的解小(r)称为能

7、量本征函数(energyeigenunction).方程(2)就是势场V(r)中粒子的能量本征方程,也称为不含时(time-independent)Schr?dinger方程.不同的能量本征值相应的本征函数是正交归一化的(设E取离散值),即(强,也"")=Schr?dinger方程的更普遍的表示是3方是体系的Hampton算符.当门不显含t时,体系的能量是守恒量,方程3可以别离变量.此时,不含时Schr?dinger方程,即能量本征方程,为HJj=4.定态与非定态假设在初始时刻t=0体系处于某一个能量本征态小r,0=归,那么中=#(d、(4)形式如式4的波函数所描述的态,称

8、为定态stationarystate.处于定态下的粒子具有如下特征:1粒子在空间的概率密度pr=|小r|2以及概率流密度j显然不随时间改变2任何不显含t的力学量的平均值不随时间改变.3任何不显含t的力学量的测量概率分布也不随时间改变.由假设干个能量不同的本征态的叠加所形成的态,称为非定态nonstationarystate.设体系由N个粒子组成,粒子质量分别为mi(i=1,2,3,N).体系的波函数表示为小(r1,rN,t).设第i个粒子受到的外势场为Ui(ri),粒子之间相互作用为V(r1,¥7),那么Schr?dinger方程表示为其中IT+音+言而不含时Schr?dinger方

9、程表示为与卜Y:+5(n)+V(n.,rG=勒g,心)E为多粒子体系的能量.三、量子态叠加原理1 .量子态及其表象当.(r)给定后,三维空间中一个粒子所有力学量的测值概率分布就确定了.从这个意义上来讲,小(r)完全描述了一个三维空间中粒子的量子态.所以波函数也称为态函数.2 .量子态叠加原理,测量与波函数坍缩(1)设体系处于时苗述的态下,测量力学量A所得结果是一个确切直a1即也称为A的本征态,A的本征值为a1.又假设在必态下,测量A得的结果是另一个确切值a2电也是A的一个本征态,本征值为%.那么在电C*+-所描述的状态下,测量A所得结果,既可能为a1,也可能为a2但不会是另外的值,而测得结果为2或22的相对概率是完全确定的.我们满意是G态和6态的相干叠加态.2根据vonNeumann的看法,量子态坍缩collapse即在测量过程中,粒子的状态从叠加态坍缩成为某一能量本征态61,2课后习题详解1.1设质量为m的粒子在势场Vr中运动.a证实粒子的能量平均值为e-印下一式中w工方2I-1能