本章先讨论矩阵的初等变换

1、 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念阵的秩的概念, ,并提出求秩的有效方并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大富，难度较大. . 引例引例)1(求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13

2、42分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程2 解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：于是解得于

3、是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为为任任意意常常数数其其中中c 30340111cx即即（2）小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元上述解方程组的方法称为消元法法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍ij（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）ik ij（

4、以替换）（以替换）ik i3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算算若记若记 97963422644121121112)(b

5、AB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组（程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记记作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初

6、等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或等价关系的性质：等价关系的性质：；反反身身性性）（A A 1A;B , B A 2则则若若对称性对称性）（C. AC,BB, A 3则则若若）传传递递性性（等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初

7、等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）： 97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243r

8、r 5 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c.54都都称称为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵和和矩矩阵阵BB特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；5 00000310003011040101B （

9、2）、每个）、每个台阶台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元.1 5的的其其他他元元素素都都为为零零列列，且且这这些些非非零零元元所所在在的的零零行行的的第第一一个个非非零零元元为为即即非非还还称称为为行行最最简简形形矩矩阵阵，行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵B.,A nm和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行行最

10、简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF.为为零零阵阵，其其余余元元素素全全的的左左上上角角是是一一个个单单位位矩矩F标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化

11、化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm特点：特点： 所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.AF1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相且变换类型相同同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 ;1 反身性反身性 ;2 对称性对称性 .3 传递性传递性2.2.A初等变换初等变换B. BA已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组 及另一及另一 00:4221xxxxI四元齐次方程组四元齐次方程组 的通解为的通解为 II .,1 , 2 , 2 , 10 , 1 , 1 , 02121RkkkkTT .,;,?说说明明理理由由有有若